Matrici reale 2 × 2

Algebra asociativă a matricelor reale 2 × 2 se notează cu . Cele două matrice p și q în au o sumă determinată prin adunarea matricei . Produsul matricelor p q este format din produsul scalar al rândurilor și o coloană de factori prin operația de înmulțire a matricei . Pentru $M(2,\mathbb {R} )$ $M(2,\mathbb {R} )$ $p+q$

q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}),

lăsa

\quad q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.

Atunci , unde este matricea de identitate 2 × 2 . Numărul real se numește determinantul matricei q . Dacă , q este o matrice nesingulară , caz în care $qq^{*}=q^{*}q=(ad-bc)E$ $E$ $ad-bc$ $ad-bc\neq 0$

q^{-1}=q^{*}\,/\,(ad-bc).

Mulțimea tuturor acestor matrici inversabile formează întregul grup liniar . În ceea ce privește algebrei abstracte , operațiile de adunare și înmulțire formează un inel și este grupul său de unități . este un spațiu vectorial cu patru dimensiuni , deci această algebră este considerată asociativă . Este izomorfă (ca un inel) la coquaternioni , dar cu o structură diferită. $GL(2,\mathbb {R} )$ $M(2,\mathbb {R} )$ $GL(2,\mathbb {R} )$ $M(2,\mathbb {R} )$

Matricele reale 2 × 2 sunt în corespondență unu-la-unu cu mapările liniare ale unui sistem de coordonate dreptunghiular bidimensional în sine, după regula

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}.

Structura

Pe plan intern , multiplicarea cu numere reale a matricei de identitate E poate fi considerată drept reală . Această linie reală este locul în care se reunesc toate subringele comutative : $M(2,\mathbb {R} )$

Lasă unde . Atunci este un subinel comutativ și , unde uniunea se realizează peste tot m astfel încât . $P_{m}=\{xE+ym:x,y\in \mathbb {R} \)$ $m^{2}\in \{-E,0,E\)$ $P_{m)$ $M(2,\mathbb {R} )=\cup P_{m)$ $m^{2}\in \{-E,0,E\)$

Pentru a identifica astfel de matrici m , mai întâi pătratăm o matrice de forma generală:

{\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}

Dacă a + d = 0, această matrice devine diagonală . Atunci presupunem d = − a când căutăm matrice m care formează subinele comutative. Dacă , atunci obținem ecuația unui paraboloid hiperbolic în spațiul parametrilor . O astfel de matrice m acţionează ca o unitate imaginară . În acest caz, subinelul este izomorf cu câmpul numerelor complexe (obișnuite) . $mm=-E$ $bc=-1-aa$ $(a,b,c)$ $P_{m)$

Dacă , matricea m este o matrice involutivă . Atunci ecuația dă și un paraboloid hiperbolic. Dacă matricea este idempotentă , aceasta trebuie să fie în Pm , caz în care subinelul Pm este izomorf cu inelul dublelor . $mm=+E$ $bc=+1-aa$

În cazul unei matrice nilpotente, mm = 0 se obține atunci când numai una dintre valorile b sau c nu este egală cu zero, iar subcercul comutativ P m este atunci o copie a planului numerelor duale .

Dacă este transformată printr-o schimbare de bază , această structură se schimbă într -o structură cuaternion divizat în care seturile de rădăcini pătrate ale lui E și -E iau aceeași formă ca hiperboloizii . $M(2,\mathbb {R} )$

Cartografierea pentru conservarea zonei

Prima mapare mapează un vector diferențial la altul:

{\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{pmatrix}}.

Suprafețele sunt măsurate cu densitate , o formă diferențială de 2 care folosește o algebră exterioară . Densitatea convertită este $dx\wedge dy$

{\begin{aligned}du\wedge dv&{}=0+ps\ dx\wedge dy+qr\dy\wedge dx+0\\&{}=(ps-qr)\ dx\wedge dy= (\det g)\ dx\wedge dy.\end{aligned}}

Apoi mapările care păstrează zona sunt un grup , un grup liniar special . Având în vedere structura de mai sus, orice astfel de g se află într-un subcerc comutativ P m , care este un fel de plan complex corespunzător pătratului m . Din moment ce , există trei opțiuni: $SL(2,\mathbb {R} )$ $=\{g\in M(2,\mathbb {R}):det(g)=1\)$ $gg^{*}=E$

$mm=-E$ iar g se află pe cercul de rotații euclidiene
$mm=E$ și g se află pe hiperbola de cartografiere a contracției
$mm=0$ și g se află pe linia hărților cu schimbare

Discutând mapările afine planare , Rafael Artzi a făcut o împărțire similară a cazurilor de cartografiere liniară plană în cartea sa Linear Geometry (1965).

Funcții pe matrici reale 2×2

Subinelele comutative ale unei algebre definesc teoria funcțiilor. În special, cele trei tipuri de subplanuri au propriile lor structuri algebrice care determină semnificația expresiilor algebrice. Convențiile pentru funcțiile „rădăcină pătrată” și „funcție log” ajută la ilustrarea limitărilor care decurg din proprietățile fiecărui tip de subplan P m descris mai sus. Conceptul de componentă de identitate a grupului de unități al subinelului P m duce la o descompunere polară a elementelor grupului de unități: $M(2,\mathbb {R} )$

Dacă , atunci . $mm=-E$ $z=\rho \exp({\theta}m)$
Dacă , atunci sau . $mm=0$ $z=\rho \exp(sm)$ $z=-\rho \exp(sm)$
Dacă , atunci , sau sau sau . $mm=E$ $z=\rho \exp(am)$ $z=-\rho \exp(am)$ $z=m\rho \exp(am)$ $z=-m\rho \exp(am)$

In primul caz . În cazul numerelor duale . În cele din urmă, în cazul numerelor complexe împărțite, există patru componente în grupul celor. Componenta unitară este parametrizată de variabilele ρ și . $\exp(\theta m)=\cos(\theta)+m\sin(\theta)$ $\exp(sm)=1+sm$ $\exp(am)=\mathrm {ch} \,a+m\mathrm {sh} \,a$

Acum , indiferent de subplanul P m , dar argumentele funcției trebuie luate din componenta de identitate a grupului său de cele . Jumătate din plan se pierde în cazul structurii numerelor duale. Trei sferturi din plan trebuie excluse în cazul unei structuri de numere duble. ${\sqrt {\rho \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\exp(am/2)$

În mod similar, dacă este un element al componentei de identitate a grupului de unități ale planului asociat cu matricea 2 × 2 m , atunci valoarea funcției logaritmice este . Aceleași restricții sunt impuse domeniului de definire a funcției logaritmice ca și asupra funcției „rădăcină pătrată” descrisă mai sus – jumătate sau trei sferturi din P m trebuie excluse în cazurile mm = 0 sau . $\rho \exp(am)$ $\log \rho+am$ $mm=E$

O descriere suplimentară a teoriei structurii poate fi găsită în articolul " Funcții complexe ", iar pentru structura numerelor complexe divizate - în articolul Variabila motor . $\mathbb {C}$

2×2 matrici reale ca numere complexe

Orice matrice reală 2 × 2 poate fi interpretată ca unul dintre cele trei tipuri de numere complexe (generalizate [1] ) - numere complexe standard , numere duale și numere complexe divizate . Mai sus, algebra matricelor 2 × 2 este structurată ca uniunea de planuri complexe care împart aceeași axă reală. Aceste plane sunt reprezentate ca subinele comutative ale lui P m . Putem determina cărui plan complex îi aparține o matrice 2 × 2 dată și putem clasifica ce fel de numere complexe reprezintă un plan dat .

Luați în considerare o matrice 2 × 2

z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.

Căutăm un plan complex P m care să conţină matricea z .

După cum s-a menționat mai sus, pătratul unei matrice z este diagonal dacă a + d = 0. Matricea z trebuie exprimată ca suma dintre matricea de identitate E cu coeficient și matricea pe hiperplanul a + d = 0. Proiectarea z pe toate aceste subspații , obținem $\R^4$

z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2)),\quad n=z-xI.

În plus,

n^{2}=pi

, unde .

p={\frac {(ad)^{2}}{4}}+bc

Atunci z aparține unuia dintre cele trei tipuri de numere complexe:

Dacă p < 0, atunci este un număr complex obișnuit :

Lasă . Apoi .

q=1/{\sqrt {-p)),\quad m=qn

m^{2}=-I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p)}

Dacă p = 0, atunci este un număr dual :

z=xI+n

Dacă p > 0, atunci z este un dublu :

Lasă . Apoi .

q=1/{\sqrt {p)),\quad m=qn

m^{2}=+I,\quad z=xI+m{\sqrt {p))

În mod similar, 2 × 2 poate fi exprimat în coordonate polare , având în vedere că există două componente conexe ale grupului celor în planul numerelor duale și patru componente în planul numerelor duble.

Note

↑ Harkin, Harkin, 2004 , p. 118–29.

Literatură

Rafael Artzy. Capitolul 2-6 Subgrupuri ale grupului afin plan peste câmpul real // Geometrie liniară . - Addison-Wesley , 1965. - S. 94 .
Helmut Karzel, Gunter Kist. Algebre cinematice și geometriile lor // Inele și geometrie / R. Kaya, P. Plaumann, K. Strambach editori. - D. Reidel , 1985. - S. 437-509 (449-50). — ISBN 90-277-2112-2 .
Svetlana Katok. grupuri fuchsiane. - University of Chicago Press , 1992. - S. 113ff. — ISBN 0-226-42582-7 .
Garret Sobczyk. Capitolul 2: Numere complexe și hiperbolice // Noi baze în matematică: Conceptul geometric de număr. - Birkhäuser, 2012. - ISBN 978-0-8176-8384-9 .
Anthony A. Harkin, Joseph B. Harkin. Geometria numerelor complexe generalizate // Revista de matematică . - 2004. - T. 77 , nr. 2 .