Mecanica hamiltoniană

Mecanica hamiltoniană este una dintre formulările mecanicii clasice . Propus în 1833 de William Hamilton . Ea provine din mecanica lagrangiană , o altă formulare a mecanicii clasice introdusă de Lagrange în 1788 . Mecanica hamiltoniană poate fi formulată fără a folosi mecanica lagrangiană folosind varietăți simplectice și varietăți Poisson [1] .

În ciuda echivalenței formale dintre mecanica lagrangiană și hamiltoniană, aceasta din urmă, pe lângă completările tehnice utile pe care le-a introdus, a jucat un rol esențial pentru o înțelegere mai profundă atât a structurii matematice a mecanicii clasice, cât și a semnificației sale fizice, inclusiv a conexiunii cu mecanica cuantică. (Hamilton a vrut inițial pentru a formula mecanica clasică ca limită de undă scurtă a unei teorii a undelor, care corespunde aproape în totalitate viziunii moderne).

Există un punct de vedere conform căruia formalismul lui Hamilton este în general mai fundamental și mai organic, inclusiv și mai ales pentru mecanica cuantică ( Dirac ), deși acest punct de vedere nu a devenit general acceptat, în principal, aparent, datorită faptului că o parte semnificativă a astfel de interpretări își pierd covarianța explicită (doar explicită) Lorentz și, de asemenea, pentru că acest punct de vedere nu a oferit o ieșire atât de practică care să convingă pe toată lumea de importanța sa. Cu toate acestea, trebuie remarcat că, din punct de vedere euristic, probabil că nu a fost ultimul dintre motivele care au condus la descoperirea ecuației Dirac , una dintre cele mai fundamentale ecuații ale teoriei cuantice.

Reformularea mecanicii lagrangiene

În mecanica lagrangiană , un sistem mecanic este caracterizat de un lagrangian : - o funcție de coordonate generalizate și viteze corespunzătoare și, eventual, timp . În mecanica hamiltoniană, este introdus conceptul de momente generalizate , care sunt conjugate la coordonate generalizate și sunt definite în termenii lagrangianului după cum urmează: $L(q,\;{\punct {q)],\;t)$ $q$ ${\punct {q}}$ $t$

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))

În coordonatele carteziene, momentele generalizate sunt momente liniare fizice . În coordonatele polare, momentul generalizat corespunzător vitezei unghiulare este momentul unghiular fizic . Pentru o alegere arbitrară a coordonatelor generalizate, este dificil să se obțină o interpretare intuitivă a impulsurilor conjugate la aceste coordonate sau să se ghicească expresia lor fără a utiliza direct formula de mai sus.

Ecuația vectorială Euler-Lagrange ia apoi forma

{\punct {p}}={\frac {\partial L}{\partial q}}

Din aceasta, în special, rezultă că, dacă o anumită coordonată s-a dovedit a fi ciclică , adică dacă funcția Lagrange nu depinde de ea, ci depinde numai de derivata sa în timp, atunci pentru momentul conjugă cu ea , adică, este integrala de mişcare (conservată în timp), care clarifică oarecum sensul impulsurilor generalizate. ${\punct {p}}=0$

În această formulare, care depinde de alegerea sistemului de coordonate, nu este prea evident că diferitele coordonate generalizate nu sunt de fapt altceva decât coordonări diferite ale aceleiași varietăți simplectice .

Cu ajutorul transformării Legendre a Lagrangianului , funcția Hamilton, Hamiltonianul, este determinată:

H\left(q,\;p,\;t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\dot {q }},\;t)

Dacă ecuațiile de transformare care definesc coordonatele generalizate nu depind de , se poate arăta că este egală cu energia totală: $t$ $H$

E=T+V

Diferenţialul total al hamiltonianului poate fi scris ca:

dH =\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i-\frac{\partial L}{ \partial\dot{q}_i}\,d\dot{q}_i\right]-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)\,dt=\sum_i\left[\ punct{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\dot{p}_i\,dq_i-p_i\,d\dot{q}_i\right]-\frac{\partial L }{\partial t}\,dt =

=\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i-\dot{p}_i\,dq_i\right]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt

Ținând cont de faptul că diferența totală a hamiltonianului este și ea egală cu

dH=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\,dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i} }}\,dp_{i}\right]+\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt

obținem ecuațiile de mișcare ale mecanicii hamiltoniene, cunoscute sub numele de ecuații canonice ale lui Hamilton :

{\frac {\partial H}{\partial q_{j))}=-{\dot {p))_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial p_{j))} ={\punct {q))_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial t))=-{\frac {\partial L}{\partial t))

Ecuațiile lui Hamilton sunt ecuații diferențiale de ordinul întâi și, prin urmare, sunt mai ușor de rezolvat decât ecuațiile lui Lagrange , care sunt ecuații diferențiale de ordinul doi. Totuși, pașii care conduc la ecuațiile de mișcare sunt mai laborioase decât în mecanica lagrangiană - începând cu coordonatele generalizate și funcția Lagrange, trebuie să calculăm hamiltonianul, să exprimăm fiecare viteză generalizată în termeni de momente conjugate și să înlocuim vitezele generalizate în Hamiltonian cu momente conjugate. În general, există puțin câștig de performanță din rezolvarea problemei în hamiltonian, mai degrabă decât în formalismul lagrangian, deși acest lucru duce în cele din urmă la aceleași soluții ca mecanica lagrangiană și legile mișcării lui Newton .

Scopul principal al abordării hamiltoniene este că oferă o bază pentru rezultate mai fundamentale în mecanica clasică.

Pentru o funcție arbitrară a variabilelor canonice , avem $f(q,\;p,\;t)$

{\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i} }}{\punct {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t))\,+\,\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i))}{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i))}{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\right)={\frac {\ parțial f}{\partial t}}\,+\,\{H,\;f\},

unde este paranteza Poisson . Această ecuație este ecuația de bază a mecanicii hamiltoniene. Se poate verifica direct că este valabil și pentru variabilele canonice în sine sau . $\{H,\;f\}$ $f=q$ $f=p$

Din această ecuație rezultă că, dacă o variabilă dinamică nu este o funcție directă a timpului, atunci este o integrală a mișcării dacă și numai dacă paranteza lui Poisson este egală cu zero.

Derivarea ecuațiilor lui Hamilton direct din principiul acțiunii staționare

O derivare directă simplă a formei hamiltoniene a mecanicii provine din notația hamiltoniană a acțiunii:

S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j} p_{j}{\punct {q}}_{j}-H(p,\;q)\dreapta)\,dt,

care poate fi considerat un postulat fundamental al mecanicii în această formulare [2] . (Prin și fără indici aici înțelegem întregul set de momente și coordonate generalizate). $p$ $q$

Condiție de staționaritate pentru acțiune

\deltaS=0

face posibilă obținerea ecuațiilor canonice ale lui Hamilton, iar variația aici este efectuată independent în și . Deci obținem (din nou, dar acum fără a folosi metoda Lagrangiană) ecuațiile canonice ale lui Hamilton: $\delta p_{j}$ $\delta q_{j}$

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}.

Folosind a doua, se poate exprima totul în termeni de mulțime și , după care expresia sub integrală va deveni evident doar o funcție Lagrange. Astfel, obținem formularea lagrangiană a principiului acțiunii staționare (cel mai puțin) din Hamiltonian. $pijamale}$ $q_{i}$ $\dot{q_i}$

Formalism matematic

Orice funcție netedă pe o varietate simplectică poate fi utilizată pentru a defini un sistem hamiltonian. Funcția este cunoscută sub numele de hamiltoniană sau funcție energetică . O varietate simplectică se numește spațiu de fază . Hamiltonianul generează un câmp vectorial special pe o varietate simplectică cunoscută sub numele de câmp vectorial simplectic . $H\colon M\la \mathbb{R}$ $M$ $H$

Un câmp vectorial simplectic (numit și un câmp vectorial hamiltonian) generează un flux hamiltonian pe varietate. Curbele integrale de câmp vectorial sunt o familie cu un parametru de transformări multiple cu un parametru numit timp . Evoluţia în timp este dată de simplectomorfisme . Din teorema lui Liouville rezultă că fiecare simplectomorfism păstrează forma de volum în spațiul fazelor. Setul de simplectomorfisme generate de un flux hamiltonian este de obicei numit mecanica hamiltoniană a unui sistem hamiltonian.

Un câmp vectorial hamiltonian generează, de asemenea, o operație specială, paranteza Poisson . Paranteza Poisson acționează asupra funcțiilor dintr-o varietate simplectică, dând astfel spațiului funcțiilor de pe varietate structura unei algebre Lie .

Dacă avem o distribuție de probabilitate , atunci putem arăta că derivata sa convectivă este egală cu zero, deoarece viteza spațială a fazelor ( ) are divergență zero , iar probabilitatea este conservată. obține $\rho$ ${{\punct p}_{i)),\;{{\punct q}_{i))$

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\rho ,\;H\}.

Această expresie se numește ecuația Liouville . Fiecare funcție netedă peste o varietate simplectică definește o familie de simplectomorfisme cu un parametru și, dacă , atunci este păstrată de fluxul de fază. $G$ $\{G,\;H\}=0$ $G$

Integrabilitatea câmpurilor vectoriale hamiltoniene este o problemă nerezolvată. În general, sistemele hamiltoniene sunt haotice ; noțiunile de măsură , completitudine , integrabilitate și stabilitate sunt slab definite pentru ei. În prezent, studiile sistemelor dinamice sunt dedicate în principal studiului proprietăților calitative ale sistemelor și modificărilor acestora.

Note

↑ A.V. Borisov, I.S. Mamaev. Structuri Poisson și algebre Lie în mecanica hamiltoniană. M.: RHD, 1999. - 464 p.
↑ Aceasta este (până la un factor constant, care poate fi omis cu o alegere adecvată de unități) poate cea mai directă expresie scrisă pentru fază $\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right )}$ în mecanica cuantică (din punct de vedere al integralei de cale Feynman sau într-o simplă considerație semiclasică a mișcării unui pachet de undă), unde impulsul și energia sunt, până la același factor constant (constantele lui Planck), vectorul de undă și frecvență $\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$ (aici, pentru simplitate, se folosesc coordonatele carteziene). Metoda fazei staționare , pe de altă parte, oferă aproximarea clasică, care este complet analogă cu metoda hamiltoniană descrisă, cu alte cuvinte, pur și simplu o repetă. De asemenea, remarcăm că, în general, aceasta este una dintre modalitățile cele mai directe de a stabili o analogie între propagarea pachetelor de unde „punct” ale perturbațiilor într-o clasă largă de medii și mișcarea unui punct material în mecanică. Această analogie, în special, permite obținerea unui alt punct de vedere util asupra naturii și proprietăților impulsurilor generalizate. $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$

Vezi și

Link -uri

Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vilazi G. Dinamica hamiltoniană. — Traducere din engleză. - M. : IKI și RHD, 2006. - 432 p. - ISBN 5-93972-444-2 .
ter Haar, D. Fundamentele mecanicii hamiltoniene . — M .: Nauka, 1974.
Vinogradov A. M., Dyer I. S. Ce este formalismul hamiltonian? // Progrese în științe matematice. - 1975. - V. 30, numărul 1 (181), - p. 173–198.
Vinogradov A. M., Kupershmidt B. A. Structura mecanicii hamiltoniene // Progrese în științe matematice. - 1977. - T. 32. - p. 175-236.
Abraham R., Marsden JE Fundamentele mecanicii. - Londra: Benjamin-Cummings, 1978. - ISBN 0-8053-0102-X .
Rychlik M. Mecanica lagrangiană și hamiltoniană — O scurtă introducere. (link indisponibil din 18-05-2013 [3449 zile] - istoric )
Binney J. Mecanica clasică . — Prelegeri în format PDF .
Tong D. Dinamica clasică . — Prelegeri la Universitatea din Cambridge.

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc
În cataloagele bibliografice	GND : 4376155-0