Serie armonică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 iunie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Seria armonică - suma unui număr infinit de termeni reciprocă a numerelor consecutive ale seriei naturale :

\sum _{k=1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

Seria se numește armonică deoarece este alcătuită din „armonici” : armonica a treia extrasă din coarda viorii este tonul fundamental produs de o coardă cu o lungime egală cu lungimea coardei originale [1] . În plus, fiecare termen al seriei, începând cu al doilea, este media armonică a doi termeni învecinați. $k$ ${\frac {1}{k))$

Sumele primilor n termeni ai unei serii (sume parțiale)

Termenii individuali ai seriei tind spre zero, dar suma sa diverge. Suma parțială a primilor n termeni ai seriei armonice se numește numărul armonic al n -lea :

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2)}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

Diferența dintre numărul armonic al-lea și logaritmul natural converge către constanta Euler-Mascheroni . $n$ $n$ $\gamma =0{,}5772...$

Diferența dintre diferitele numere armonice nu este niciodată un număr întreg și niciun număr armonic altul decât , nu este un număr întreg: [2] . $H_{1}=1$ $\forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N}$

Câteva valori ale sumelor parțiale

{\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{ 3}&=&{\frac {11}{6}}&\aproximativ &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\aproximativ &2{, }083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\aproximativ &2{,}283\end{matrice}}

{\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363} {140}}&\aproximativ &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\aproximativ &2{,}718\\\\H_{10^{ 3}}&\aproximativ &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\aproximativ &14{,}393\end{matrice}}

Formula lui Euler

În 1740, Euler a obținut o expresie asimptotică pentru suma primilor termeni ai seriei: $n$

H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n)

unde este constanta Euler-Mascheroni și este logaritmul natural . $\gamma =0{,}5772...$ $\ln$

La valoare , prin urmare, pentru mare $n\rightarrow \infty$ $\varepsilon _{n}\rightarrow 0,$ $n$

H_{n}\aproximativ \ln n+\gamma

- Formula lui Euler pentru suma primilor termeni ai seriei armonice.

n

Un exemplu de utilizare a formulei lui Euler

$n$	$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k)}$	$\ln n+\gamma$	$\varepsilon_{n}$ , (%)
zece	2,93	2,88	1.7
25	3,82	3,80	0,5

O formulă asimptotică mai precisă pentru suma parțială a seriei armonice:

H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^ {4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{ \infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},

unde sunt numerele Bernoulli .

B_{{2k}}

Această serie diverge, dar eroarea de calcul a acesteia nu depășește niciodată jumătate din primul termen aruncat .

Divergența seriei

Seria armonică diverge : dar foarte lent (pentru ca suma parțială să depășească 100, sunt necesare aproximativ 10 43 de elemente ale seriei). $s_{n}\rightarrow \infty$ $n\rightarrow \infty ,$

Divergența seriei armonice poate fi demonstrată comparând -o cu următoarea serie telescopică , care se obține din luarea unui logaritm : $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e$

v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)<{\frac {1}{n} }.

Suma parțială a acestei serii este în mod evident egală cu Secvența acestor sume parțiale diverge; prin urmare, prin definiție, seria telescopică diverge, dar apoi din criteriul de comparare a seriilor rezultă că și seria armonică diverge. $\sum _{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).$

Dovada din punct de vedere al limitei unei succesiuni de sume parțiale [3]

Luați în considerare șirul Să arătăm că această secvență nu este fundamentală , adică că Să estimăm diferența Fie Atunci Prin urmare, această secvență nu este fundamentală și diverge după criteriul Cauchy. Apoi, prin definiție, și seria diverge. $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2)}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$ $\exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_ {n}\right\vert \geq \varepsilon .$ $\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p} }\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.$ $p\doteq n.$ $\forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2)).$

Dovada lui Oresme

O dovadă a divergenței poate fi construită prin compararea seriei armonice cu o altă serie divergentă în care numitorii sunt completați la puterea a doi. Această serie este grupată și se obține o a treia serie, care diverge:

{\begin{aliniat}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}} \right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac { 1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\stânga[{\frac {1}{9}}+\cdots \right ]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{ 8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1} {2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}

(O grupare de serii convergente dă întotdeauna o serie convergentă, ceea ce înseamnă că dacă după grupare seria este divergentă, atunci seria originală diverge și ea.)

Această dovadă îi aparține savantului medieval Nicholas Orem (c. 1350).

Serii înrudite

Serii armonice generalizate

Seria armonică generalizată (un caz special al seriei Dirichlet ) se numește seria [4]

\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{ \frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+ \cdots

Această serie diverge la și converge la [4] . $\alpha \leqslant 1$ $\alpha >1$

Suma seriei de ordine armonică generalizată este egală cu valoarea funcției zeta Riemann : $\alfa$

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )

Pentru numerele pare, această valoare este exprimată în mod explicit în termeni de pi - de exemplu, suma unei serii de pătrate inverse . Dar deja pentru α =3 valoarea sa ( constanta Apéry ) este necunoscută analitic. $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

O altă ilustrare a divergenței seriei armonice poate fi relația $\zeta (1+{\frac {1}{n)})\sim n.$

Serii alternante

Spre deosebire de seria armonică, în care toți termenii sunt luați cu semnul „+”, seria

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5 }}\,-\,\cdots

converge conform testului Leibniz . Prin urmare, se spune că o astfel de serie are convergență condiționată . Suma sa este egală cu logaritmul natural de 2:

1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\ ,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.

Această formulă este un caz special al seriei Mercator , adică seria Taylor pentru logaritmul natural.

O serie similară poate fi derivată din seria Taylor pentru arc tangente :

\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\ ,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \; \;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.

Această relație este cunoscută sub numele de seria Leibniz .

Serii armonice aleatorii

În 2003, [5] [6] au studiat proprietățile unei serii aleatoare

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n)),

unde sunt variabile aleatoare independente , distribuite identic, care iau valorile +1 și −1 cu aceeași probabilitate ½. Se arată că această serie converge cu probabilitatea 1 , iar suma seriei este o variabilă aleatorie cu proprietăți interesante. De exemplu, funcția de densitate de probabilitate , calculată în punctele +2 sau -2, are valoarea: $s_{n}$

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …,

diferă de ⅛ cu mai puțin de 10 −42 .

Seria armonică „diluată”

Vezi seria Kempner

Dacă luăm în considerare o serie armonică în care au rămas doar termeni, ai căror numitori nu conțin numărul 9, atunci rezultă că seria rămasă converge, iar suma ei este mai mică de 80 [7] . Ulterior, a fost găsită o estimare mai precisă, seria Kempner converge către (secvența A082838 în OEIS ). Mai mult, se dovedește că dacă lăsăm termenii care nu conțin nicio secvență preselectată de cifre, atunci seria rezultată va converge. Din aceasta, se poate trage o concluzie eronată despre convergența seriei armonice inițiale, ceea ce nu este adevărat, deoarece cu cifre crescânde în număr, se iau din ce în ce mai puțini termeni pentru suma seriei „subțiate”. Adică, în final, marea majoritate a termenilor care formează suma seriei armonice sunt aruncați pentru a nu depăși progresia geometrică limitând de sus. $22{,}92067661926415034816$ $n$

Note

↑ Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. Fundatia informaticii. — M.: Mir; BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2006. - S. 47. - 703 p. ISBN 5-03-003773-X
↑ Numărul armonic - de la Wolfram MathWorld . Preluat la 6 martie 2010. Arhivat din original la 16 mai 2013. (nedefinit)
↑ Kudryavtsev N.L. Prelegeri despre analiză matematică. - 2013. - S. 35.
↑ 1 2 Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior. M.: Știință. Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1981, 718 p.
↑ „Random Harmonic Series”, American Mathematical Monthly 110, 407-416, mai 2003
↑ Seria armonică aleatorie a lui Schmuland . Preluat la 6 martie 2010. Arhivat din original la 8 iunie 2011. (nedefinit)
↑ Puzzle-urile matematice ale lui Nick: Soluția 72 . Data accesului: 6 martie 2010. Arhivat din original la 28 septembrie 2010. (nedefinit)

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux