Holonomie

Holonomia este unul dintre invarianții de conexiune dintr-un pachet peste o varietate netedă , combinând proprietățile curburii și monodromiei și este importantă atât în geometrie, cât și în domeniile geometrizate ale științelor naturale, cum ar fi teoria relativității și teoria corzilor . De obicei, se vorbește despre holonomia conexiunilor într-un pachet vectorial , deși este la fel de logic să vorbim despre holonomia unei conexiuni într-un pachet principal sau chiar despre holonomia unei conexiuni Ehresmann într-un pachet topologic local trivial.

Reamintim că o conexiune dintr-un pachet vectorial este un operator care atribuie fiecărei căi o transformare de translație . Totuși, spre deosebire de situația des întâlnită în topologie, transformarea de translație paralelă se modifică dacă calea în sine este schimbată, chiar dacă capetele acesteia sunt neschimbate (nu depinde de mici modificări ale căii doar într-un caz foarte special, deși foarte important). de conexiuni plate ). Holonomia este o măsură a modului în care translația paralelă poate depinde de micile perturbări ale căii. Și anume, o cale compusă parcursă de la la de- a lungul și apoi înapoi de-a lungul variației sale poate fi percepută ca o cale închisă de la un punct la sine. Setul tuturor transformărilor de straturi obținute prin translații de-a lungul căilor închise care încep și se termină la , formează un grup numit grup de holonomie într-un punct și este notat cu . Dacă luăm în considerare doar translațiile paralele de-a lungul acelor căi care sunt contractibile până la un punct, obținem subgrupul său normal , numit grup local , sau holonomie restricționată , notat cu . Grupurile de holonomie din diferite puncte pot fi identificate prin conectarea acestor puncte cu o cale, dar această identificare va depinde, în general, de alegerea căii. Cu toate acestea, toate aceste grupuri sunt izomorfe, ceea ce ne permite să vorbim pur și simplu despre grupul de holonomie și despre grupul de holonomie local, indiferent de alegerea punctului. Grupul de holonomie într-un punct are, prin construcția sa, o reprezentare naturală în spațiu numită reprezentare holonomică . $E\la X$ $\gamma \colon [0;1]\la X$ $p_{\gamma}\colon E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1))$ $\gamma (0)$ $\gamma (1)$ $\gamma$ $\gamma '$ $\gamma (0)=x$ $E_{x)$ $X$ $X$ $\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )$ $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ $\operatorname {Hol} (\nabla )$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ $X$ $E_{x)$

Pentru o conexiune plată, grupul de holonomie locală este, prin definiție, banal, iar grupul de holonomie este grupul de monodrom al acestei conexiuni plate. În cazul general, monodromia unei conexiuni neplate este definită în termeni de holonomie, ca un grup de coeficient . $\operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$

Cel mai simplu exemplu: suma unghiurilor unui triunghi sferic

Luați în considerare cazul vectorilor tangenți la o sferă bidimensională. Conectivitatea ( Levi-Civita ) în acest caz poate fi determinată elementar. Și anume, orice cale netedă pe bucăți poate fi bine aproximată în mod arbitrar printr-o linie întreruptă ale cărei legături sunt geodezice (adică mici arce de cercuri mari). Să definim translația paralelă de-a lungul geodezicei cu condiția ca vectorul tangent să se transforme în vector , în timp ce unghiurile și orientarea în planul tangent sunt păstrate. $p_{\gamma}\colon T_{\gamma (0)}S^{2}\to T_{\gamma (1)}S^{2)$ $\gamma \colon [0;1]\to S^{2)$ ${\frac {\partial \gamma {\partial t))(0)\in T_{\gamma (0)}S^{2)$ ${\frac {\partial \gamma }{\partial t))(1)\in T_{\gamma (1)}S^{2)$

Figura prezintă procesul de deplasare a unui vector tangent de-a lungul unei geodezice de la un punct la altul , de la un punct la altul și de la un punct la altul . Rețineți că atunci când vă deplasați de-a lungul unei laturi, unghiul format de vectorul transferat cu vectorul tangent la această latură nu se modifică, iar la vârf i se adaugă valoarea unghiului extern de la acest vârf. Astfel, unghiul se acumulează în total cu , unde denotă un defect sferic (abaterea sumei unghiurilor unui triunghi sferic de la ), iar din moment ce vectorul tangent la graniță defilează și cu , abaterea cumulativă a vectorului tangent închis de la vectorul său tangent inițial este . După cum se știe, defectul sferic este proporțional cu aria triunghiului, astfel încât grupul de holonomie în acest caz va fi pur și simplu un grup de rotații prin toate unghiurile posibile. $A$ $N$ $N$ $B$ $B$ $A$ $\pi -\alpha _{i)$ $3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi -\delta$ $\delta$ $\pi$ $2\pi$ $\delta$

Acest efect poate fi observat în viața reală, de exemplu, atunci când giroscoapele se abat de la poziția lor după ce trec pe o cale care include o zonă suficient de mare a suprafeței pământului. Alte manifestări mai mult sau mai puțin clasice ale fenomenului holonomiei sunt faza Berry și efectul Aharonov-Bohm .

Holonomie și curbură

În cazul unei dimensiuni superioare, desigur, transformarea holonomiei de-a lungul căii nu poate fi descrisă printr-un singur număr, deoarece rotațiile ortogonale ale spațiului -dimensional necesită coeficienți pentru atribuirea lor unică. Cu toate acestea, ei încă formează un grup. În cazul unei conexiuni Levi-Civita (sau a unei conexiuni metrice în general) pe o varietate orientabilă, acesta va fi un subgrup de , de obicei întregul ei. Se numește grupul de holonomie Riemannian . $n$ $n(n-1)/2$ $G=\mathrm {SO} (n)$

Dacă calea este contractată la un punct , atunci transformarea holonomiei tinde spre transformarea identică . Dacă avem tendința către un paralelogram infinit mic cu laturile , atunci transformarea holonomiei tinde către o transformare care este infinit aproape de identitate. Dar, prin definiție, dacă , unde este neglijabilă (sau, formal vorbind, peste un inel nilpotent ), atunci , unde este algebra Lie a grupului . În acest caz, această algebră se numește algebră holonomică și se notează cu . Pe de altă parte, operatorul „încărcare paralelă în jurul unui paralelogram infinit mic” , care arată cât de departe operatorii de transfer paralel nu fac naveta de-a lungul a doi vectori, este pur și simplu curbură . $\gamma$ $X$ $p_{\gamma }$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}$ $\gamma$ $u,v\in T_{x}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}\în G$ $\varepsilon$ $\mathbb {R} [\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ $\Theta _{u,v}\in {\mathfrak {g)}$ $\mathfrak{g}$ $G$ ${\mathfrak {hol}}(\nabla )$ $\Theta _{u,v)$

Teorema ( Ambrose , Singer ): Algebra holonomiei este generată de valorile tensorului de curbură pe toate perechile posibile de vectori tangenți.

Principiul holonomiei

Dacă există un pachet vectorial cu conexiune și un anumit tensor definit în punct , atunci se poate încerca să-l extindă la toate celelalte puncte ale varietatii prin translație paralelă folosind conexiunea de la . Câmpul tensorului rezultat va fi automat paralel în raport cu conexiunea . Totuși, pentru ca această operație să fie corectă, trebuie să fie independentă de alegerea căii; cu alte cuvinte, indiferent de calea închisă pe care o luăm în noi înșine, un transfer paralel de-a lungul ei trebuie să revină la sine. Aceasta înseamnă că există un vector invariant în reprezentarea tensorală a grupului de holonomie. $E\la X$ $\nabla$ $\eta _{x}\in E_{x}^{\otimes k}\otimes (E_{x}^{*})^{\otimes l)$ $X$ $\nabla$ $X$ $\nabla$ $X$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}$

Principiul holonomiei : câmpurile tensorale paralele în ceea ce privește conectivitatea corespund unu-la-unu invarianților în puterea tensorală a reprezentării holonomiei $\nabla$ $\nabla$

De exemplu, luați în considerare subgrupul de matrici unitare . Acest grup are un tensor invariant în , și anume operatorul de înmulțire cu în ( aceasta este o rotație de 90°). Prin urmare, dacă o varietate riemanniană -dimensională are un grup de holonomie riemanniană în , ea admite un câmp de rotații cu 90° (adică un endomorfism de mănunchi tangent cu proprietatea ), care poate fi perceput ca o structură aproape complexă . Mai mult, întrucât conexiunea Levi-Civita este fără torsiune , din teorema Newlander-Nirenberg rezultă că această structură este integrabilă, adică admite hărți holomorfe locale în . În mod similar, reprezentarea grupului are un vector fix, partea oblică-simetrică a produsului scalar Hermitian . Astfel, pe o varietate Riemanniană -dimensională cu holonomie conținută în , există o paralelă de 2 forme degenerată nicăieri în raport cu conexiunea Levi-Civita (care poate fi exprimată în termeni de metrică și operator descris mai sus de formula standard pentru Spații hermitiene Formele diferențiale paralele față de conexiunea fără torsiune sunt închise, astfel încât , și o astfel de varietate este simplectică . Varietățile cu trei structuri consistente - o metrică riemanniană, o formă simplectică și o structură complexă, se numesc Kählerian. Cea mai scurtă cale de a defini o varietate Kähleriană este să spunem că este o varietate riemanniană dimensională, un grup riemannian a cărui holonomie este conținută în .Toate structurile geometrice sunt obținute din aceasta folosind principiul holonomiei. $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $\mathbb {R} ^{2n}\otimes (\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ ${\sqrt {-1}}$ $\mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n)$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$ $eu$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ $\mathbb{C} ^{n}$ $\Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $\omega$ $g$ $eu$ $\omega (x,y)=g(x,Iy)$ $d\omega =0$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$

Principiul holonomiei are o altă aplicație importantă. Și anume, să presupunem că reprezentarea holonomiei riemanniene este reductibilă . Apoi se poate extinde împărțirea corespunzătoare a spațiului tangent la toate celelalte puncte. Obținem două subbundle care sunt reciproc perpendiculare unul pe celălalt. Mai mult, deoarece aceste subbundle sunt păstrate printr-o conexiune fără torsiune, ele admit foi integrale, adică local colectorul se descompune într-un produs direct ortogonal. Două foliații dese reciproc perpendiculare peste tot pe torus arată clar că, în general, nu există o astfel de descompunere la nivel global; cu toate acestea, următoarele $T_{x}=T'_{x}\oplus T''_{x}$ $T',T''\subset T$

Teorema ( J. de Ram ). Pe o varietate pur și simplu conectată cu o reprezentare reductibilă de holonomie riemanniană, foliațiile paralele definesc o descompunere într-un produs cartezian ortogonal.

masa lui Berge

În virtutea teoremei de descompunere a lui de Rham, orice metrică dintr-o varietate compactă pur și simplu conectată este combinată din metrici cu o reprezentare ireductibilă a holonomiei riemanniene, deci sunt de interes pentru geometri.

Metricile invariante pe spații omogene fac posibilă organizarea multor grupuri diferite de holonomie. Descrierea unor astfel de metrici este o problemă netrivială în teoria algebrelor Lie. Cu toate acestea, dacă suntem interesați de probleme de geometrie care nu sunt reductibile la algebră, este important pentru noi ca pentru o metrică care nu este omogenă, avem $G/H$

Alternativa lui Simons . Un grup de Lie cu reprezentarea sa ortogonală poate apărea ca un grup de holonomie riemanniană și o reprezentare de holonomie riemanniană pentru o metrică care nu este simetrică local , atâta timp cât acel grup acționează tranzitiv asupra vectorilor de lungime unitară.

Astfel, grupul de holonomie Riemannian al unei metrici nesimetrice acționează tranzitiv asupra sferei. Astfel de grupuri sunt complet clasificate. Nu toate pot fi realizate ca un grup de holonomie al unei metrici nesimetrice: de exemplu, o metrică cu holonomie , așa cum arată D.V. Alekseevskii , trebuie să aibă un tensor de curbură constant covariant, iar o metrică cu această proprietate este simetrică local prin teorema Cartan-Ambrose-Hicks . Grupul nu poate apărea deloc ca grup de holonomie. Grupurile rămase sunt rezumate într-un tabel descris mai întâi de M. Berger : $\mathrm {Spin} (9)\subset \mathrm {SO} (16)$ $T\cdot \mathrm {Sp} (n)\subset \mathrm {SO} (4n)$

$\mathrm {Hol}$	$\dim$	geometrie	note
${\mathrm {SO}}(n)$	$n$	varietate generală riemanniană
$\mathrm {U} (n)$	$2n$	Varietatea Kähler	Riemannian, simplectic, complex
${\mathrm {SU}}(n)$	$2n$	Varietatea Calabi-Yau	ricci-flat , kähler
$\mathrm {Sp} (1)\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	varietatea cuaternion-Kähleriană	Einsteinian , dar nu Kählerian
$\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	varietate hiperkähler	Ricci-plat, Kählerian (pentru trei structuri complexe diferite)
$\mathrm {G} _{2)$	7	$\mathrm {G} _{2)$ -colectivă	ricci-plat
$\mathrm {Rotire} (7)$	opt	Spin(7)-colectivă	ricci-plat

Informațiile enumerate în ultima coloană rezultă și din principiul holonomiei și dispariția invarianților unor puteri tensoare ale reprezentărilor holonomiei corespunzătoare. Nu este posibil să excludem varietățile cuaternion-Kähler din acest tabel în același spirit în care Alekseevsky a exclus -soiurile (care erau în versiunea timpurie a tabelului lui Berger); totuși, ipotetic, toate sunt simetrice local. Pentru toate celelalte cazuri, există exemple de metrici non-simetrice local. $\mathrm {Rotire} (9)$

Relația dintre holonomia conexiunilor și sistemele cu conexiuni nonholonomice

În geometrie, cuvântul „holonomie” a fost folosit pentru prima dată de Eli Cartan în 1926, când a clasificat spațiile simetrice. Cu toate acestea, cuvântul în sine este mult mai vechi și, în sensul său inițial, a supraviețuit până în zilele noastre în termenul de „ mecanică nonholonomică ”. A fost introdus de Poinsot pentru a descrie sisteme mecanice în care ecuațiile pentru derivatele mărimilor pot fi reduse la ecuații pentru mărimile în sine - sau, reducând mecanica la geometrie, distribuțiile planurilor tangente în spațiul fazelor, pentru care suprafețele nivelate ale funcțiilor pot fi constatat care au aceeasi dimensiune . Acum astfel de distribuții sunt numite integrabile (ambele rădăcini întregi și ὅλος înseamnă „întreg”). În consecință, sistemele nonholonomice sunt acelea în care, deplasându-se de-a lungul câmpurilor vectoriale admisibile, se poate deplasa în cele din urmă într-o direcție care nu satisface ecuația pentru modificările instantanee ale cantităților. Conexiunile care au curbură diferită de zero (și, prin urmare, holonomie) determină exact o astfel de distribuție pe spațiul total al fasciculelor în care sunt date: o cale închisă pe varietate se ridică la o cale orizontală în spațiul total începând de la punctul și terminând în punctul . Aceasta este tocmai deplasarea în direcția transversală atunci când grupul de holonomie este netrivial; dacă este trivial (adică sistemul este holonomic), atunci ascensiunea tuturor căilor posibile determină peste subvarietatea integrală în spațiul total pentru fiecare valoare inițială; aceste subvariete (mai precis, funcțiile ale căror suprafețe de nivel sunt) corespund în mecanică legilor de conservare pentru sistemele holonomice. $\gamma$ $v\in E_{x}$ $p_{\gamma}(v)\in E_{x}$

Interesant este că, la fel cum din punct de vedere istoric termenul „monodromie” se referea la o situație în care ceea ce numim acum grupul monodromiei a dispărut (și ar fi mai corect din punct de vedere etimologic să folosim cuvântul alodromie ), termenul „holonomie” însemna inițial o situație în care holonomia este banala. Aceasta este însă o nedreptate generală în matematică: de exemplu, caracteristica lui Euler pentru Euler a fost întotdeauna egală cu doi și nu a caracterizat nimic; ca invariant topologic, ar trebui numit pe bună dreptate caracteristica Lhuillier .

Link -uri

Pachete de vectori, prelegerea 8: grup de holonomie , Misha Verbitsky , 18 noiembrie 2013
Golwala, S. (2007), Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab , < http://www.astro.caltech.edu/~golwala/ph106ab/ph106ab_notes.pdf >