Operator diferential

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 27 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un operator diferențial (în general vorbind, nu continuu, nemărginit și nu liniar) este un operator definit printr-o expresie diferențială și care acționează în spații (în general vorbind, cu valori vectoriale) de funcții (sau secțiuni de mănunchiuri diferențiabile ) pe varietăți diferențiabile , sau în spații se conjugă cu spații de acest tip.

O expresie diferențială este o astfel de mapare a unei mulțimi în spațiul de secțiuni ale unui pachet cu o bază în spațiul de secțiuni ale unui pachet cu aceeași bază, astfel încât pentru orice punct și orice secțiune , coincidența -jeturilor lor la punctul implică o coincidență în același punct; cel mai mic dintre numerele care satisfac această condiție pentru toate se numește ordinea expresiei diferențiale și ordinea operatorului diferențial definit de această expresie. $\lambda$ ${\mathfrak P}$ $\xi$ $M$ $\eta$ $p\în M$ $f,\;g\in {\mathfrak P}$ $k$ $p$ $\lambda f$ $g$ $k$ $p\în M$

Pe o varietate fără graniță, un operator diferențial este adesea o extensie a unui operator definit în mod natural printr-o expresie diferențială fixă pe o mulțime (deschisă într-o topologie adecvată) de secțiuni diferențiabile la infinit (sau suficient de multe ori) ale unui pachet vectorial dat cu bază . , și admite astfel o generalizare firească în cazul germenilor de snopi ai secțiunilor de mănunchiuri diferențiabile. Pe o varietate cu graniță, un operator diferențial este adesea definit ca o extensie a unui operator analog definit în mod natural printr-o expresie diferențială pe mulțimea acelor funcții diferențiabile (sau secțiuni ale pachetului) ale căror restricții se află în nucleul unui operator diferențial. pe (sau să satisfacă alte condiții determinate de acele sau alte cerințe pentru gama operatorului privind restricțiile de funcții din domeniul operatorului , de exemplu, inegalități); operatorul diferenţial se numeşte definirea condiţiilor la limită pentru operatorul diferenţial . Operatorii diferențiali liniari din spații conjugați cu spații de funcții (sau secțiuni) sunt definiți ca operatori conjugați cu operatori diferențiați de forma indicată mai sus în aceste spații. $M$ $\xi$ $M$ $M$ $\partial M$ $L$ $\partial M$ $l$ $\partial M$ $l$ $L$ $l$ $L$

Exemple

Operatori diferenţiali obişnuiţi

Fie o funcție reală a variabilelor , definită într-un dreptunghi ; expresie diferentiala $F$ $k+2$ $x,\;y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $\Delta =I\times J_{0}\times J_{1}\times \ldots \times J_{k}$

Du\,{\stackrel {{\mathrm {def))}{=}}F\left(x,\;u,\;{\frac {du}{dx)),\;\ldots ,\;{ \frac {d^{k}u}{dx^{k}}}\dreapta)

(unde funcția îndeplinește de obicei anumite condiții de regularitate — măsurabilitatea, continuitatea, diferențiabilitatea etc.) definește un operator diferențial pe varietatea al cărui domeniu de definiție constă din toate funcțiile care îndeplinesc condiția pentru ; dacă este continuu, atunci poate fi considerat ca un operator în domeniul . Un astfel de operator diferențial se numește operator diferențial obișnuit general . $F$ $D$ $\Delta$ $\Omega$ $u\in C^{k}(\Delta )$ $u^{{(i)}}(x)\în J_{i}$ $i=0,\;1,\;\ldots ,\;k$ $F$ $D$ $C(I)$ $\Omega$ $D$

Dacă depinde de , atunci ordinea este . Un operator diferenţial se numeşte cvasiliniar dacă depinde liniar de ; liniar dacă depinde liniar de ; liniar cu coeficienți constanți dacă nu depinde de și este un operator diferențial liniar. Operatorii diferenţiali rămaşi se numesc neliniari . Un operator diferențial cvasi-liniar, în anumite condiții de regularitate pentru o funcție , poate fi extins la un operator diferențial de la un spațiu Sobolev la altul. $F$ $y_{k}$ $D$ $k$ $D$ $F$ $y_{k}$ $F$ $y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $F$ $X$ $D$ $F$

De fapt, orice derivată poate fi reprezentată prin acțiunea unui operator. De exemplu, operatorul

$L=\left({\frac {d}{dt)}+\gamma \right)$

când este scris duce la ecuația . $Lx=\phi (t)$ ${\dot {x}}(t)+\gamma x(t)=\phi (t)$

Acest operator poate fi generalizat la cazul multidimensional:

${\hat {L}}=\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right)$

Operatori diferențiați parțiali

Fie domeniul rulat în este o expresie diferențială definită de o funcție reală pe produsul domeniului și un dreptunghi deschis , aici este un set de derivate parțiale de forma , unde , iar funcția satisface anumite condiții de regularitate. Operatorul diferențial definit de această expresie pe spațiul funcțiilor suficient de diferențiabile pe se numește operator diferențial parțial general . În mod similar 1) se definesc operatori diferenţiali neliniari, cvasiliniari şi liniari cu derivate parţiale şi ordinea operatorului diferenţial; se spune că un operator diferențial este eliptic , hiperbolic sau parabolic dacă este definit printr-o expresie diferențială de tipul adecvat. Uneori sunt considerate funcții care depind de derivate de toate ordinele (de exemplu, sub forma unei combinații liniare formale a acestora); astfel de expresii diferențiale, care nu definesc un operator diferențial în sensul obișnuit, cu toate acestea, unii operatori pot fi asociați (de exemplu, în spații de germeni de funcții analitice), se numesc operator diferențial de ordin infinit . $x=(x^{1},\;\ldots ,\;x^{N})$ ${\mathfrak S}$ $\mathbb{R} ^{N}$ $F=F(x,\;u,\;\ldots ,\;D^{n}(u))$ $F$ ${\mathfrak S}$ $\omega$ $D^{{(n)}}(u)$ $D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{N)))){(\partial x^{1})^{{\ alfa _{1))}\ldots (\partial x^{N})^{{\alpha _{N))))}$ $a_{1}+\ldots +a_{N}\leqslant n$ $F$ ${\mathfrak {S}}\times \omega$ $F$

Exemple sunt operatorul Laplace și operatorul d'Alembert similar cu acesta în spațiul Minkowski .

Operatori multidimensionali

Sistemele de expresii diferențiale definesc operatori diferențiali în spațiile funcțiilor vectoriale.

În fizică, un rol important în formularea și soluționarea ecuațiilor diferențiale în derivate parțiale îl joacă operatorul Nabla , care permite să noteze gradientul , divergența , curl ; precum şi laplacianul indicat.

În plus, de exemplu, operatorul diferențial Cauchy-Riemann, definit printr-o expresie diferențială, transformă spațiul perechilor de funcții armonice de pe plan în sine. $\left\{{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y)),\;{\frac {\partial u}{\partial y}} +{\frac {\partial v}{\partial x}}\right\}$

Notă

Exemplele anterioare pot fi transferate în cazul unui câmp complex, a unui câmp local compact complet deconectat și (cel puțin în cazul operatorilor diferențiali liniari) chiar și la o situație mai generală.

Generalizări

În definiția unui operator diferențial și generalizările acestuia (pe lângă derivatele obișnuite), nu numai derivatele generalizate (care apar în mod natural atunci când se iau în considerare extensiile operatorilor diferențiați definiți pe funcții diferențiabile) și derivatele slabe (asociate cu trecerea la operatorul adjunct) sunt adesea folosite, dar și derivate ale ordinelor fracționale și negative . Mai mult, diferențierea în sine este înlocuită cu o transformată Fourier (sau altă transformare integrală) aplicată domeniului și valorii unui astfel de operator diferențial generalizat în așa fel încât să se obțină cea mai simplă reprezentare posibilă a funcției corespunzătoare operatorului diferențial și să se realizeze o generalitate rezonabilă a enunțului problemei și proprietăți bune ale obiectelor luate în considerare și, de asemenea, construiți un calcul funcțional sau operațional (continuând corespondența dintre operatorul de diferențiere și operatorul de înmulțire cu o variabilă independentă, realizată de transformata Fourier) . $F$

Asemenea întrebări ale teoriei ecuațiilor diferențiale precum existența, unicitatea, regularitatea, dependența continuă a soluțiilor de datele inițiale sau partea dreaptă, forma explicită a soluției unei ecuații diferențiale definite printr-o expresie diferențială dată, sunt interpretate în mod natural. din punct de vedere al teoriei operatorilor ca problemă a unui operator diferențial definit printr-o expresie diferențială dată în spații funcționale adecvate, și anume ca probleme ale nucleului, imaginea, studiul structurii domeniului unui operator diferențial dat sau extinderea acestuia, continuitatea acestuia a operatorului invers față de operatorul diferențial dat și construcția explicită a acestui operator invers. Întrebările de aproximare a soluțiilor și construcția de soluții aproximative de ecuații diferențiale găsesc, de asemenea, o generalizare naturală și o îmbunătățire a problemelor privind operatorii diferențiali corespunzători, și anume, cu privire la selecția unor astfel de topologii naturale în domeniul definiției și domeniului de valori, astfel încât operatorul (în condiția unicității soluțiilor) realizează un homeomorfism al domeniului de definiție și intervale în aceste topologii (această teorie este legată de teoria interpolării și scalelor spațiilor funcționale, în special în cazurile operatorilor diferențiali liniari și cvasiliniari). ), sau în selectarea operatorilor diferenţiali apropiaţi de cel dat într-un sens sau altul (ceea ce permite, folosind diferite topologii în mulţimea operatorilor diferenţiali, să justifice metode de aproximare a ecuaţiilor, inclusiv metoda regularizării, metoda penalizării, şi unele metode de regularizare iterativă). Teoria operatorilor diferenţiali face posibilă aplicarea metodelor clasice ale teoriei operatorilor, de exemplu, teoria operatorilor complet continui, metoda mapărilor de contracţie în diverse teoreme de existenţă şi unicitate pentru soluţii la ecuaţii diferenţiale, în teoria bifurcaţiei soluţiilor. , și în probleme neliniare cu valori proprii. De multe ori se dovedește a fi posibil să se utilizeze prezența în spațiile funcționale, unde este definit un operator diferențial, a unei structuri de ordine naturală (în special, pentru a aplica teoria operatorilor monotoni), să se utilizeze metodele de analiză liniară (teoria a dualității, teoria mulțimilor convexe, teoria operatorilor adjuncți, teoria operatorilor disipativi), metode variaționale și teoria problemelor extreme, precum și prezența unor structuri suplimentare în domeniul definirii domeniului valorilor. (de exemplu, complex, simplectic etc.) pentru a clarifica structura domeniului de valori și nucleul operatorului diferențial, adică pentru a obține informații despre clasa de soluții a ecuațiilor corespunzătoare. O serie de probleme legate de expresiile diferențiale duc la necesitatea studierii inegalităților diferențiale legate în mod natural de operatorii diferențiali multivalori. $L$ $L$

Astfel, teoria operatorilor diferențiali ne permite să rezolvăm o serie de dificultăți în teoria clasică a ecuațiilor diferențiale. Utilizarea diferitelor extensii ale operatorilor diferenţiali obişnuiţi conduce la conceptul de soluţie generalizată a ecuaţiei diferenţiale corespunzătoare (care, în unele cazuri, legată, de exemplu, de probleme eliptice, se dovedeşte a fi în mod necesar clasică) şi utilizarea unei structura liniară ne permite să introducem conceptul de soluții slabe ale ecuațiilor diferențiale. Atunci când se alege o extensie adecvată a unui operator diferențial definit printr-o expresie diferențială, un rol important îl joacă estimările a priori pentru soluțiile legate de forma specifică a acestuia din urmă, care permit să se indice astfel de spații funcționale care în aceste spații ale operatorilor diferențiali. este continuă sau mărginită.

Dar teoria operatorilor diferențiali va face posibilă formularea și rezolvarea unui număr de probleme fundamental noi în comparație cu problemele clasice ale teoriei ecuațiilor diferențiale. Astfel, pentru operatorii neliniari, este de interes să se studieze structura mulțimii punctelor sale fixe și acțiunea operatorului în vecinătatea lor, precum și clasificarea acestor puncte singulare și problema stabilității punctului singular. tip sub perturbarea unui operator diferenţial dat; pentru operatorii diferențiali liniari, pe lângă problemele de mai sus, prezintă interes și problemele de descriere și studiere a spectrului operatorilor diferențiali, construirea rezoluției acestuia, calcularea indicelui, descrierea structurii subspațiilor invariante ale unui operator diferențial dat, construirea unei armonice. analiza asociată cu un operator diferențial dat (în special, expansiuni în termeni de valori proprii).funcții, care necesită un studiu preliminar al completității sistemului de funcții proprii și funcții asociate), studiul perturbațiilor liniare și neliniare ale unui operator diferențial dat. . Aceste probleme prezintă un interes deosebit pentru operatorii diferențiali eliptici generați de expresii diferențiale simetrice în legătură cu teoria operatorilor autoadjuncți într-un spațiu Hilbert (în special, cu teorema spectrală pentru astfel de operatori și teoria extensiilor operatorilor simetrici). Teoria unui număr de probleme de operatori diferențiali hiperbolici și parabolici (nu neapărat liniari) este legată de teoria grupurilor de transformare și semigrupurilor de spații local convexe.

Poate cea mai studiată clasă (în afară de liniari) de operatori diferențiali, care are și o largă aplicație practică, sunt operatorii diferențiali care nu se modifică deloc sau se modifică după o lege bine definită atunci când acționează asupra domeniului lor de definire și, în consecință, asupra expresiei diferenţiale a unor transformări care alcătuiesc grupul (sau un semigrup). Astfel, de exemplu, sunt operatorii diferenţiali invarianţi strâns legaţi de reprezentările grupului ; derivata covariantă sau, mai general, pulverizarea este un operator diferențial pe spații de câmpuri tensoriale diferențiabile (aici, grupul tuturor difeomorfismelor), o serie lungă de operatori în fizica teoretică, etc. Metodele geometrice funcționale sunt utile și în studiul operatorilor diferenţiali cu aşa-numita simetrie ascunsă. $G$ $G$ $G$

Teoria operatorilor diferențiali, care este parte integrantă a teoriei generale a operatorilor, a jucat recent un rol din ce în ce mai important nu numai în teoria ecuațiilor diferențiale, ci și în analiza modernă în general, și nu doar ca un exemplu concret important. de operatori nemărginiți (aceasta este valabil mai ales pentru teoria ecuațiilor diferențiale liniare). operatori), dar și ca aparat de reprezentare și mijloc de studiere a obiectelor de natură variată: de exemplu, orice funcție generalizată (și chiar hiperfuncție) se obține prin actiunea unui operator diferential generalizat asupra unei functii continue. În cele din urmă, rolul și influența teoriei operatorilor diferențiali în alte ramuri ale matematicii este în continuă creștere - de exemplu, una dintre soluțiile la așa-numita problemă a indicilor conectează caracteristicile topologice ale unei varietăți cu prezența unei anumite clase de operatori diferențiali pe acesta, ceea ce permite să trageți o concluzie despre proprietățile complexelor eliptice pe această varietate.

Exemple

În geometria diferențială , operatorii derivatei exterioare și derivatei Lie au o semnificație geometrică și sunt definiți intern.
În algebra generală, ideea de diferențiere face posibilă generalizarea operatorilor diferențiali fără a recurge la analiză matematică. Astfel de construcții sunt adesea folosite în geometria algebrică și algebra comutativă (de exemplu, când se introduc jeturi ).

Vezi și

Diferenţial integral

Literatură

Dunford N., Schwartz J. Operatori liniari.
- Volumul 1. Teoria generală. — M.: IL, 1962.
- Volumul 2. Teoria spectrală. Operatori autoadjuncți într-un spațiu Hilbert. — M.: Mir, 1966.
- Volumul 3. Operatori spectrale. — M.: Mir, 1974.
Naimark M. A. Operatori diferenţiali liniari. - Ed. a II-a. — M.: Nauka, 1969.
Palamodov VP Operatori diferenţiali liniari cu coeficienţi constanţi. — M.: Nauka, 1967.

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare