Vânat șoimi și porumbei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 aprilie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Jocul șoimilor și porumbeilor este unul dintre cele mai simple modele de teorie a jocurilor care descrie relațiile concurente într-o anumită populație de animale și dezvoltarea unei strategii stabile din punct de vedere evolutiv .

Regulile jocului

Imaginați-vă o populație de animale în care indivizii individuali concurează între ei pentru o anumită resursă. În cel mai simplu caz, acestea pot fi turnee de împerechere ale masculilor pentru dreptul de a se împerechea cu o femelă. Deoarece doi masculi participă la turneul de împerechere, turneul poate fi gândit ca un joc de doi participanți. Să presupunem că, după temperament, masculii se împart în două grupuri - să le numim condiționat „Porumbei” și „Șoimi”. Aceste nume nu sunt legate de un anumit tip de animal, ci sunt înțelese într-un sens figurat: șoimii ca simbol al agresivității și porumbeii ca simbol al liniștii. În realitate, aceste nume nu au nimic de-a face cu realitatea: în natură, porumbeii (ca și orice alte animale) sunt destul de agresivi.

Indivizii fiecărui grup au următoarele caracteristici. Hawks luptă întotdeauna pentru a câștiga și se retrag doar dacă sunt grav răniți. Porumbeii se limitează la amenințări și demonstrații de agresivitate, încercând să suprime psihologic adversarul, dar dacă este vorba de o luptă adevărată, se retrag.

Astfel, dacă un porumbel luptă cu un șoim, victoria îi revine șoimului, dar porumbelul care se retrage nu primește nicio pagubă în luptă și, în principiu, nu pierde nimic. Dacă doi porumbei se luptă, atunci victoria revine unuia dintre ei (cel cu nervii mai puternici), niciunul dintre ei nu se rănește, dar ambii cheltuiesc puțină energie într-o confruntare psihologică lungă. Dacă doi șoimi se luptă, atunci unul dintre ei câștigă, iar pentru celălalt, lupta se termină cu răni grave.

Formulare matematică

Pentru a traduce jocul în limbajul matematicii, să evaluăm rezultatele turneului sub formă de unități convenționale (puncte) câștigate sau pierdute de către participanți. O victorie într-un turneu (abilitatea de a lăsa urmași) este evaluată la V = 50 de puncte, o pierdere la L = 0 puncte, o accidentare gravă la W = -100 de puncte și costurile de energie pentru o confruntare lungă la E = -10 puncte.

Apoi, într-o luptă între doi porumbei, unul dintre ei primește 50 de puncte câștigătoare și, în plus, ambii cheltuiesc 10 puncte în procesul unei lungi confruntări. Presupunând că probabilitatea de victorie pentru fiecare este aceeași (adică 0,5), obținem că câștigul mediu al unui porumbel într-o luptă cu un alt porumbel va fi S(Г, Г) = 50∙0,5 – 10 = 15 puncte.

Într-o luptă între doi șoimi, fiecare cu o probabilitate de 0,5 primește un câștig de 50 de puncte și cu aceeași probabilitate o accidentare, pe care am estimat-o la -100 de puncte. Câștigul mediu va fi S(I, I) = (50–100)∙0,5 = –25 puncte.

Într-o luptă între un porumbel și un șoim, porumbelul pierde și primește S(R, R) = 0 puncte, șoimul câștigă și primește S(R, R) = 50 de puncte.

Rezultatele turneului pot fi vizualizate sub forma așa-numitei matrice a plăților:

	Porumbel	Şoim
Porumbel	cincisprezece	0
Şoim	cincizeci	-25

Să notăm z proporția de șoimi din populație, atunci proporția de porumbei va fi 1–z. Dacă doi masculi sunt implicați aleatoriu într-o luptă, atunci cu probabilitatea z 2 aceștia sunt doi șoimi, cu probabilitatea (1-z) 2 - doi porumbei și cu probabilitatea 2z(1-z) - un porumbel împotriva unui șoim.

Să aflăm numărul mediu de puncte pe care le primesc adversarii în urma luptei.

Un șoim cu probabilitatea z se luptă cu un alt șoim și obține în medie -25 de puncte, iar cu o probabilitate 1-z se luptă cu un porumbel și obține 50 de puncte. În medie, asta va fi

S I (z) = –25∙z + 50∙(1–z) = –25z + 50 – 50z = 50 – 75z.

În mod similar, pentru porumbel primim

S Г (z) = 0∙z + 15∙(1–z) = 15 – 15z.

Să trasăm graficele acestor ecuații în axele de coordonate S – z.

După cum puteți vedea din grafic, liniile de plată pentru porumbei și șoimi se intersectează la un moment dat, definite de relația: 50 - 75z = 15 - 15z 60z = 35

z = 35/60 = 0,583...

În dreapta acestui punct (adică, cu o creștere a proporției de șoim), porumbeii au un avantaj, astfel încât numărul lor relativ va crește, reducând astfel z. În stânga acestui punct (cu o scădere a numărului de șoimi), șoimii au un avantaj, astfel încât numărul lor va crește, crescând astfel z. Astfel, orice schimbare în z de la punctul de câștiguri egale pentru porumbei și șoimi declanșează procese care tind să readucă populația la punctul de echilibru. Starea populației corespunzătoare punctului de echilibru se numește strategie stabilă evolutiv.

Formulare generală

Să notăm câștigul în cazul câștigării turneului V, pierderea L, prejudiciul cauzat de o accidentare gravă W și costul energetic al unei confruntări lungi E.

Atunci elementele matricei de plăți pot fi exprimate prin următoarele relații:

S(D,D)={\frac {VL}{2}}-E;

S(H,H)={\frac {VW}{2));

S(D,H)=-L;

S(H,D)=V.

Matricea plăților va arăta astfel:

	Porumbel	Şoim
Porumbel	${\frac {VL}{2}}-E$	$-L$
Şoim	$V$	${\frac {VW}{2}}$

Valoarea medie a șoimilor cu ponderea lor în populația z va fi

S_{H}(z)={\frac {(VW)z}{2}}+V(1-z)=V-{\frac {(V+W)z}{2}}) ;

și câștigul mediu al porumbeilor

S_{D}(z)=-Lz+\left({\frac {VL}{2}}-E\right)(1-z)={\frac {VL}{2}}-E- \left({\frac {V+L}{2}}-E\right)z;

Punctul de echilibru al populației va fi atins la următoarea proporție de șoimi:

V-{\frac {(V+W)z}{2}}={\frac {VL}{2}}-E-\left({\frac {V+L}{2}}- E\dreapta)z;

\left({\frac {WL}{2}}+E\right)z={\frac {V+L}{2}}+E;

z={\frac {V+L+2E}{W-L+2E)).

Teoria jocului
Noțiuni de bază	Cunoaștere comună și comună Jucător Ierarhia credințelor Amplificare irațională Strategie ( dominanță ) Inductie inversa
Tipuri de jocuri	Simultan , secvenţial şi repetitiv Non -cooperativ și cooperant Cu informații complete , incomplete , perfecte și imperfecte În formă normală și extinsă Antagonist Diferenţial Stochastic Bătălia sexelor Vânătoarea de căprioare
Concepte de soluție	Dominanța riscului Echilibrul corelat Echilibrul unei mâini tremurânde Echilibru Nash Echilibru perfect sub-joc Raționalizare Echilibrul secvenţial echilibru puternic Echilibrul propriu Strategie stabilă evolutiv Epsilon-echilibru Eficiența Pareto Nucleu
Exemple de jocuri	Dilema prizonierului Sarcina barului „El Farol” modelul Bertrand Modelul Cournot Modelul Stackelberg Orlyanka Tragedia resurselor partajate șoimi și porumbei
Teoria jocurilor epistemice Proiectarea mecanismului Diviziune corectă