Problemă izoperimetrică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Inegalitatea izoperimetrică este o inegalitate geometrică care raportează perimetrul unei curbe închise pe un plan și aria unei secțiuni a planului delimitată de această curbă. Termenul este folosit și pentru diferite generalizări ale acestei inegalități.

Izoperimetric înseamnă literal „având același perimetru ”. În special, inegalitatea izoperimetrică afirmă că, având în vedere lungimea L a unei curbe închise și aria A a regiunii plane delimitate de această curbă,

4\pi A\leqslant L^{2},

iar această inegalitate devine o egalitate dacă și numai dacă curba este un cerc.

Scopul problemei izoperimetrice este de a găsi figura celei mai mari zone posibile, a cărei limită are o lungime dată [1] .

Problema izoperimetrică a fost generalizată în multe feluri la alte inegalități între caracteristicile figurilor, mulțimilor și varietăților. Problema izoperimetrică include și estimări ale cantităților de origine fizică (momente de inerție, rigiditatea la torsiune a unei grinzi elastice, frecvența fundamentală a membranei, capacitatea electrostatică etc.) prin caracteristici geometrice. De exemplu, există generalizări pentru curbele pe suprafețe și pentru domeniile din spații de dimensiuni superioare.

Poate cea mai cunoscută manifestare fizică a inegalității izoperimetrice 3D este forma unei picături de apă. Și anume, picătura ia o formă în general rotundă. Deoarece cantitatea de apă dintr-o picătură este fixă, tensiunea superficială face ca picătura să capete o formă care minimizează suprafața picăturii, suprafața minimă fiind o sferă.

Istorie

În problema lui Dido , care este apropiată în conținut , este necesar să se găsească o regiune de suprafață maximă delimitată de o linie dreaptă și un arc curbiliniu, ale căror capete se află pe această linie dreaptă. Sarcina este legată de legenda antică despre întemeierea Cartaginei de către Dido , sora regelui orașului fenician Tir.

Soluția problemei izoperimetrice este un cerc , iar acest lucru era deja cunoscut în Grecia Antică . În tratatul său „Despre figurile izoperimetrice” ( greaca veche Περὶ ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ) Zenodor ( sec. II î.Hr. ) rezolvă problema izoperimetrică pe plan și obține rezultate parțiale în spațiu. Prima demonstrație riguroasă din punct de vedere matematic a inegalității izoperimetrice în spațiu a fost obținută în 1884 de Hermann Schwartz . De atunci, au apărut mult mai multe dovezi.

Problemă izoperimetrică în plan

Problema clasică izoperimetrică datează din cele mai vechi timpuri. Problema poate fi formulată după cum urmează: Dintre toate curbele închise dintr-un plan cu un perimetru dat, care curbă (dacă există) maximizează aria ariei delimitate de aceasta? Această întrebare poate fi demonstrată a fi echivalentă cu următoarea problemă: Dintre toate curbele închise din planul care delimitează o regiune a unei zone date, care dintre ele (dacă există) minimizează perimetrul?

Problema este legată conceptual de principiul celei mai mici acțiuni în fizică și poate fi reformulată după acest principiu: ce acțiuni includ o suprafață mare cu economie maximă de sprijin? Filosoful și om de știință din secolul al XV-lea, Cardinalul Nicolae de Cușa , a discutat despre rotație , procesul în care sunt generate cercurile , ca fiind cea mai directă reflectare a proceselor în care a fost creat universul. Astrologul și astrologul german Johannes Kepler a folosit principiul izoperimetric atunci când a discutat despre structura sistemului solar în Secretul Universului (1596).

Deși cercul este o soluție evidentă a problemei, demonstrarea acestui fapt nu este o sarcină ușoară. Primul progres pe calea demonstrației a fost făcut de geometrul elvețian Jakob Steiner în 1838 folosind o metodă geometrică numită mai târziu simetrizarea Steiner [2] . Steiner a arătat că, dacă există o soluție, trebuie să fie un cerc. Dovada lui Steiner a fost completată mai târziu de alți matematicieni.

Steiner începe cu câteva construcții geometrice ușor de înțeles. De exemplu, se poate demonstra că orice curbă închisă care cuprinde o regiune care nu este complet convexă poate fi modificată pentru a avea o zonă mai mare prin „reflectarea” porțiunilor concave pentru a deveni convexe. Se poate arăta apoi că orice curbă închisă care nu este perfect simetrică poate fi „înclinată” în așa fel încât să înglobeze o zonă mai mare. Singura figură complet convexă și simetrică este cercul, deși acest raționament nu prezintă o demonstrație riguroasă (vezi referințele externe).

Inegalitate izoperimetrică

Rezolvarea unei probleme izoperimetrice este de obicei exprimată ca o inegalitate care raportează lungimea L a unei curbe închise și aria A a planului mărginit de această curbă. Inegalitatea izoperimetrică afirmă că

4\pi A\leqslant L^{2},

și că această inegalitate devine o egalitate dacă și numai dacă curba este un cerc. Într-adevăr, aria unui cerc cu raza R este π R 2 , iar circumferința este 2π R , deci ambele părți ale inegalității devin 4π 2 R 2 .

Se pot găsi zeci de dovezi ale inegalității izoperimetrice. În 1902 , Hurwitz a publicat o scurtă dovadă folosind seria Fourier , care este aplicabilă curbelor rectificabile arbitrare (nu neapărat netede). O demonstrație directă elegantă bazată pe o comparație a unei curbe netede și simple închise cu un cerc potrivit a fost oferită de E. Schmidt în 1938 . Demonstrarea folosește numai formula lungimii curbei , formula zonei plate din teorema lui Green și inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky .

Pentru o curbă închisă dată , coeficientul izoperimetric este definit ca raportul dintre aria unei figuri și aria unui cerc având același perimetru. Acesta este

Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}},

iar inegalitatea izoperimetrică spune că Q ⩽ 1.

Coeficientul izoperimetric al unui n - gon regulat este

Q_{n}={\frac {\pi }{n\operatorname {tg} {\frac {\pi {n}))).

Inegalitatea izoperimetrică pe sferă

Fie C o curbă simplă închisă pe o sferă de rază 1. Notăm cu L lungimea curbei C și cu A aria regiunii delimitate de curba C . Inegalitatea izoperimetrică sferică afirmă că

L^{2}\geqslant A(4\pi -A),

iar această inegalitate devine o egalitate dacă și numai dacă curba este un cerc. Există de fapt două moduri de a măsura aria unei regiuni sferice, dar inegalitatea este simetrică pentru alegerea complementului.

Această inegalitate a fost descoperită de Paul Levy (1919), care a generalizat-o la dimensiuni mai mari și suprafețe mai generale. .

Pentru cazul unei raze arbitrare R , se știe [3] că

L^{2}\geqslant 4\pi AA^{2}/R^{2}.

Inegalitatea izoperimetrică în spații de dimensiuni mai mari

Teorema izoperimetrică este generalizată la suprafețe din spațiul euclidian tridimensional . Dintre toate suprafețele simple închise cu o suprafață dată, sfera conține regiunea volumului maxim . Afirmații similare sunt valabile în spațiile euclidiene de orice dimensiune.

În forma generală [4] , inegalitatea izoperimetrică afirmă că pentru orice mulțime S ⊂ R n a cărei închidere are măsură Lebesgue finită ,

n\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S)))^{(n-1)/n}\leqslant M_{*}^{n- 1}(\partialS),

unde M * n −1 este capacitatea Minkowski ( n − 1)-dimensională , L n este măsura Lebesgue n - dimensională și ω n este volumul bilei unității în R n . Dacă limita S este rectificabilă , atunci capacitatea Minkowski este egală cu măsura Hausdorff ( n − 1)-dimensională .

O inegalitate izoperimetrică în dimensiunea n poate fi demonstrată rapid folosind inegalitatea Brunn-Minkowski [3] [4] .

Inegalitatea izoperimetrică în spațiul n - dimensional este echivalentă (pentru domenii suficient de netede) cu inegalitatea Sobolev în R n cu o constantă optimă:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n }}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

pentru toate u ∈ W 1,1 ( R n ).

Inegalitatea izoperimetrică în spațiile de măsură

Cea mai mare parte a lucrărilor privind problema izoperimetrică se realizează în contextul domeniilor netede în spații euclidiene , sau pentru varietăți riemanniene mai generale . Cu toate acestea, problema izoperimetrică poate fi generalizată în esență folosind conceptul de capacitate Minkowski . Fie un spațiu metric cu măsură : X este un spațiu metric cu metrica d și μ ca măsură Borel pe X. Măsura limită , sau capacitatea Minkowski , a unei submulțimi măsurabile A a lui X este definită ca lim inf : $(X,\,\mu,\,d)$

\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon})-\mu (A)}{\varepsilon )),

Unde

A_{\varepsilon}=\{x\in X\mid d(x,A)\leqslant \varepsilon \)

este o extensie ε a mulțimii A .

Problema izoperimetrică din X întreabă cât de mică poate fi pentru o cantitate dată μ( A ). Dacă X este un plan euclidian cu distanța obișnuită și măsura Lebesgue , atunci această întrebare generalizează problema clasică izoperimetrică la regiuni ale planului ale căror limite nu sunt neapărat netede, deși răspunsul este același. $\mu ^{+}(A)$

Funcţie

I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)\mid \mu (A)=a\)

se numește profilul izoperimetric al unui spațiu metric măsurabil . Profilele izoperimetrice au fost studiate pentru graficele Cayley de grupuri discrete și clase speciale de varietăți riemanniene (unde sunt de obicei considerate domeniile A cu limite obișnuite). $(X,\,\mu,\,d)$

Inegalitatea izoperimetrică pentru grafice

În teoria grafurilor, inegalitățile izoperimetrice sunt în centrul studiului expansoarelor , grafice rare care au conectivitate puternică. Construcția expansoarelor a dat naștere cercetărilor în matematică pură și aplicată cu aplicații în teoria complexității computaționale , proiectarea rețelelor de calculatoare robuste și teoria codurilor corective [5] .

Inegalitățile izoperimetrice pentru grafice relaționează dimensiunea submulților de vârfuri de mărimea limitelor acestor submulțimi, care este de obicei înțeleasă ca numărul de muchii care părăsesc submulțimea sau numărul de vârfuri învecinate. Pentru un grafic și un număr, există doi parametri izoperimetrici de grafic standard [6] . $G$ $k$

Parametru izoperimetric de margine:

\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|E(S,{\overline {S))}|:|S|=k {\mare \))).

Parametru izoperimetric de vârf:

\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k{\big \ }}.

Aici denotă setul de muchii care pleacă și denotă setul de vârfuri care au vecini în . Problema izoperimetrică este de a înțelege cum se comportă parametrii în familii de grafice. $E(S,{\overline {S))}$ $S$ $\Gamma (S)$ $S$ $\Phi _{E}$ $\Phi _{V}$

Exemplu: Inegalitatea izoperimetrică pentru hipercuburi

$d$ hipercubul -dimensional este un grafic ale cărui vârfuri sunt vectori booleeni de lungime , adică un set de . Doi astfel de vectori sunt conectați printr-o muchie dacă diferă într-o singură poziție, adică distanța Hamming dintre ei este exact una. $Q_{d)$ $d$ $\{0,1\}^{d)$ $Q_{d)$

Mai jos sunt două inegalități izoperimetrice pentru hipercubul boolean [7] .

Inegalitatea izoperimetrică pentru muchii

Inegalitatea izoperimetrică pentru muchiile unui hipercub arată: . $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geqslant k(d-\log _{2}k)$

Inegalitate izoperimetrică pentru vârfuri

Teorema lui Harper [8] afirmă că bile Hamming au cea mai mică limită de vârf dintre toate seturile de o dimensiune dată. Bilele Hamming sunt seturi care conțin toate punctele cu greutatea Hamming care nu depășește pentru un număr întreg . Din teoremă rezultă că orice mulțime cu satisface [9] $r$ $r$ $S\subseteq V$ $|S|\geqslant \sum _{i=0}^{r}{\binom {n}{i))$ $|S\cup \Gamma (S)|\geqslant \sum _{i=0}^{r+1}{\binom {n}{i)).$

În cazul special când mărimea mulțimii are forma pentru un număr întreg , rezultă din cele de mai sus că parametrul izoperimetric al vârfului exact este [5] . $k=|S|$ $k={\binom {d}{0}}+{\binom {d}{1}}+\dots +{\binom {d}{r}}$ $r$ $\Phi _{V}(Q_{d},k)={\binom {d}{r+1}}$

Inegalitatea izoperimetrică pentru triunghiuri

Inegalitatea izoperimetrică pentru triunghiuri în ceea ce privește perimetrul p și aria T afirmă că [10]

p^{2}\geqslant 12{\sqrt {3}}\cdot T,

cu egalitate în cazul unui triunghi regulat .

Note

↑ Blåsjö, 2005 , p. 526-566.
↑ Steiner, 1838 , p. 281-296.
↑ 12 Osserman , 1978 .
↑ 1 2 Federer, 1987 .
↑ 1 2 Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Definițiile 4.2 și 4.3 în Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Vezi Bollobás, 1986 și secțiunea 4 din Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Vezi Calabro, 2004 sau Bollobás, 1986 .
↑ Leader, 1991 .
↑ Chakerian, 1979 .

Literatură

Viktor Blasjö. Evoluția problemei izoperimetrice (engleză) // Amer. Matematică. Lunar. - 2005. - Vol. 112 .
Blaschke , Leichtweiss. Elementare Differentialgeometrie (germană) . - al 5-lea, complet revizuit de K. Leichtweiß. - New York Heidelberg Berlin: Springer-Verlag , 1973. - Bd. 1. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-05889-3 .
Blaschke . Cercul și mingea . - M .: Știință. — 1967.
Bela Bollobas. Combinatorică: sisteme de mulțimi, hipergrafe, familii de vectori și probabilitate combinatorie . - Cambridge University Press, 1986. - ISBN 978-0-521-33703-8 .
Burago. Enciclopedia de matematică / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Chris Calabro. Teorema lui Harper . — 2004.
Luca Capogna, Donatella Danielli, Scott Pauls, Jeremy Tyson. O introducere în grupul Heisenberg și problema izoperimetrică sub-riemanniană . - Birkhäuser Verlag , 2007. - ISBN 3-7643-8132-9 .
GD Chakerian. Prune matematice (engleză) / R. Honsberger. — Washington, DC: Asociația de matematică din America, 1979.
T. Bonnesen, W. Fenchel. Teoria corpurilor convexe. - 2002. - (Biblioteca studentului la Matematică).
Protasov V. Yu. Maxime și minime în geometrie . — M .: MTsNMO. — 56 p. - (Biblioteca „Educația matematică”, numărul 31).
G. Federer. Teoria măsurii geometrice. — M .: Nauka, 1987.
M. Gromov . Inegalitatea izoperimetrică a lui Paul Levy . - Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., 1999. - Vol. 152. - (Progres în matematică).
J. Steiner. Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze (germană) . - J. reine angew Math.. - 1838. Lucrări adunate, vol. 2, Reimer, Berlin, (1882).
G. Hadwiger. Prelegeri despre volum, suprafață și izoperimetrie. — M .: Nauka, 1966.
Shlomo Hoory, Nathan Linial, Avi Widgerson. Grafice de expansiune și aplicațiile acestora // Buletin (serie nouă) al Societății Americane de Matematică . - 2006. - Vol. 43 , iss. 4 . - doi : 10.1090/S0273-0979-06-01126-8 .
Imre Leader. Proceedings of Symposias in Applied Mathematics . - 1991. - Vol. 44. - P. 57-80.
Robert Osserman. Inegalitatea izoperimetrică // Bull . amer. Matematică. Soc.. - 1978. - Vol. 84 , iss. 6 . - P. 1182-1238 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 .