Invariant de tip finit
Un invariant de tip finit (sau invariant Vasiliev ) este o clasă de invarianți de tip nod caracterizat printr-o anumită relație cu toate rezoluțiile ale unui nod singular cu un număr dat de auto-intersecții.
Definiție
Fie un invariant de noduri cu valori în numere reale, adică există un număr real definit pentru fiecare nod , astfel încât dacă nodurile și sunt izotopice.
Luați în considerare o diagramă cu nod plat și alegeți un subset al intersecțiilor sale, constând din elemente. Să numărăm aceste intersecții de la 1 la .
Pentru mulțimea , unde considerăm diagrama obținută din modificarea intersecțiilor după următoarea regulă: dacă , atunci intersecția -a nu se modifică, iar dacă , atunci se schimbă în cea opusă.
![{\displaystyle D[\varepsilon _{1},\dots,\varepsilon _{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28424e0dd1fdbb29a0253eafd175ded60634aa2)
Fie un întreg nenegativ. Dacă pentru orice diagramă și orice alegere de intersecții identitatea
![{\displaystyle \sum _{(\varepsilon _{1},\dots,\varepsilon _{m})}\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{m}\cdot f(D[\varepsilon _{ 1},\dots ,\varepsilon _{m}])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a8a1b150af793d899f6cfc983299091357200)
apoi spun că are un grad nu mai mare decât .
Invarianții de grad finit sunt numiți invarianți de tip finit .
Exemple
- Toate invarianții nodului polinomial cunoscuți sunt exprimați în termeni de invarianți de tip finit.
- Coeficientul termenului pătratic din polinomul Alexander este un invariant de tip finit de gradul doi.
- Orice coeficient din integrala Kontsevich este un invariant de tip finit.
Proprietăți
- Invarianții de grad nu mai mare formează un spațiu vectorial . în care
- și sunt unidimensionale, adică invarianții de grad nu mai mare sunt doar constante.
Întrebări deschise
- Invarianții de tip finit formează un sistem complet de invarianți? Adică, este adevărat că, dacă două noduri și nu sunt izotopice, atunci există un invariant de tip finit astfel încât ?
Istorie
Invarianții nodurilor de tip finit au fost propuși independent de Vasiliev și Gusarov [1] la sfârșitul anilor 1980. Vasiliev deține primele publicații pe această temă (1990), [1] Gusarov, a vorbit la seminarul lui Rohlin în 1987, iar prima publicație a fost publicată abia în 1991 [2] .
În 1992, Arnold a ținut o discuție pe această temă la Congresul European de Matematică . [3] De atunci, termenul „invarianți Vassiliev” a fost fixat.
Note
- ↑ V.A.Vassiliev. Coomologia spațiilor nodurilor // Progrese în matematica sovietică .. - 1990. - T. 1 . — S. 23–69 .
- ↑ M. N. Gusarov. O nouă formă a polinomului Conway-Jones de legături orientate // Note ale seminariilor științifice POMI. - 1991. - T. 193 .
- ↑ VI Arnold. Teoria discriminanților și nodurilor a lui Vassiliev // Primul Congres European al Matematicienilor. - 1992. - T. 1 . — pp. 3–29 .
Literatură
- S. V. Dujin , S. V. Chmutov Nodurile și invarianții lor // Matem. iluminare, ser. 3 . - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .