Logodna dantela

În teoria nodurilor, o legătură de dantelă (sau legătură de covrig ) este un tip special de legătură . Un cârlig de dantelă care este, de asemenea, un nod (adică un cârlig monocomponent) se numește nod de dantelă, nod de covrig sau pur și simplu covrig .

În proiecția standard, angrenajul dantelă [1] are răsuciri pe partea stângă în prima țesătură [2] , în a doua și, în general, în a n- a . $(p_{1},\,p_{2},\dots,\,p_{n})$ $p_{1}$ $p_{2}$ $p_n$

O legătură de dantelă poate fi descrisă ca o legătură Montezinos cu un număr întreg de țesături.

Câteva rezultate de bază

O legătură de dantelă este un nod dacă și numai dacă și , și sunt toate impare sau exact unul dintre numere este par [3] . $(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})$ $n$ $p_{i}$ $p_{i}$

O legătură de dantelă este reductibilă dacă cel puțin două sunt egale cu zero. Cu toate acestea, inversul nu este adevărat. $(p_{1},\,p_{2},\dots,\,p_{n})$ $p_{i}$

Angajamentul cu dantela este o reflectare a angajamentului cu dantela . $(-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{n})$ $(p_{1},\,p_{2},\dots,\,p_{n})$

O legătură de dantelă este echivalentă (adică echivalent homotopic pe S3 ) cu o legătură de dantelă . Atunci, de asemenea, o legătură de dantelă este echivalentă cu o legătură de dantelă [3] . $(p_{1},\,p_{2},\dots,\,p_{n})$ $(p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})$ $(p_{1},\,p_{2},\dots,\,p_{n})$ $(p_{k},\,p_{k+1},\dots,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots,\,p_{k -unu})$

Angajamentul cu dantela este echivalent cu angajamentul cu dantela . Totuși, dacă orientăm legătura în forma canonică, aceste două legături au orientări opuse. $(p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})$ $(p_{n},\,p_{n-1},\dots,\,p_{2},\,p_{1})$

Exemple

Nodul de dantelă (1, 1, 1) este trifoiul (pe dreapta) , iar nodul (−1, −1, −1) este imaginea lui în oglindă.

Nodul de dantelă (5, −1, −1) este nodul de stivuitor (6 1 ).

Dacă p , q și r sunt numere impare distincte mai mari decât 1, atunci nodul de dantelă ( p , q , r ) este ireversibil .

O verigă de dantelă (2 p , 2 q , 2 r ) este o legătură formată din trei noduri banale conectate .

Nodul de dantelă (−3, 0, −3) ( nodul drept ) este suma conexă a două trifoi .

O legătură de dantelă (0, q , 0)) este o legătură reductibilă a unui nod banal cu un alt nod.

Link-ul Montesinos

O legătură Montesinos este un tip special de legătură care generalizează legăturile de dantelă (o legătură de dantelă poate fi considerată o legătură Montesinos cu țesături întregi). O legătură Montesinos care este, de asemenea, un nod (adică o legătură cu o singură componentă) este un nod Montesinos .

Legătura Montesinos constă din mai multe încurcături raționale . Una dintre notațiile pentru legătura Montesinos este [4] . $K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots,\alpha _{n}/\beta _{n })$

În această notație , și toate și sunt numere întregi. O legătură Montesinos dată de această notație constă din suma încurcături raționale date de întregul și încurcături raționale $e$ $\alpha_i$ $\beta _{i}$ $e$ $\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots,\alpha _{n}/\beta _{n)$

Utilizare

Legăturile Lacy (−2, 3, 2 n + 1) sunt utile în special atunci când se studiază 3-varietăți . În special, pentru aceste varietăți, multe rezultate au fost stabilite pe baza operației lui Dehn asupra nodului de dantelă (−2,3,7) .

Volumul hiperbolic al complementului legăturii de dantelă (−2,3,8) este egal cu de patru ori constanta lui Catalan , aproximativ 3,66 . Această legătură de dantelă este una dintre cele două colectoare hiperbolice cu cupe duble, cu cele mai mici volume posibile, cealaltă variantă fiind completarea legăturii Whitehead din 2010 .

Note

↑ A folosit notația Conway pentru noduri, cu paranteze adăugate pentru comoditate.
↑ În loc de „țesut”, se mai spune „încurcă” sau „mănunchi”.
↑ 12 Kawauchi , 1996 .
↑ Zieschang, 1984 , p. 378–389.

Literatură

Ian Agol . Varietățile hiperbolice cu 2 cupe și 3 orientabile cu volum minim // Proceedings of the American Mathematical Society . - 2010. - T. 138 , nr. 10 . - doi : 10.1090/S0002-9939-10-10364-5 .

Lectură pentru lecturi suplimentare

Hale F. Trotter. topologie. - Pergamon Press, 1963. - V. 2. - S. 272-280.
Akio Kawauchi. Un studiu al teoriei nodurilor. - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-5124-1 .
Heiner Zieschang. Clasificarea nodurilor Montesinos // Topologie / A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D. Faddeev, Arkadii A. Mal'cev. Topologie generală și algebrică și aplicații. Procesul Conferinței Internaționale de Topologie desfășurată la Leningrad, 23-27 august 1982. - Berlin Heidelberg: Springer, 1984. - Vol. 1060. - (Lecture Notes in Mathematics/URSS). — ISBN 3-540-13337-2 . — ISBN 0-387-13337-2 .

Teoria nodurilor și legăturilor
Hiperbolic	Opt (4 1 ) Trei jumătăți de ture (5 2 ) Stocare (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Pereche de Percos (10 161 ) Dantela (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Inele borromee (63 2) L10a140
satelit	Compus ( Bebeluş ) Drept Suma de noduri
toric	Trivial (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentila (5 1 ) Cu șapte foi (7 1 ) Deconectat (02 1) Hopf (22 1) Solomon (42 1)
Invariante	alternativ Arfa invariant Număr de poduri ( 2-punți ) link brunnian Chiralitate ( reversibilă ) Numărul de filme Numărul de intersecții Vasiliev invariant Volum hiperbolic omologia lui Khovanov Gen Grup de noduri Grup de viteze Raport de transmisie Polinoame ( Alexandre Suport Kauffman HOMFLY Jones Kaufman ) Logodna dantela Nod simplu ( listă ) Numărul de segmente Număr de coloranți tricolori Numărul și sarcina dezlegarii
Notație și operații	Notație Alexander–Briggs Notație Conway Notație Docker Mutaţie Mișcarea Reidemeister Raportul Skene
Alte	teorema lui Alexandru nod Berge teoria împletiturii Sfera Conway Finalizarea nodului Nod dublu torus Nod stratificat Bandă A tăia Suma de noduri ipotezele lui Tate Răsucit Sălbatic Numărul de răsucire Suprafata Seifert