Link Hopf

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 decembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Legătura Hopf este cea mai simplă legătură  netrivială cu două sau mai multe componente [1] , este formată din două cercuri legate o dată [2] și poartă numele lui Heinz Hopf [3] .

Reprezentare geometrică

Modelul specific constă din două cercuri unitare în planuri perpendiculare, astfel încât fiecare să treacă prin centrul celuilalt [2] . Acest model minimizează lungimea frânghiei (lungimea frânghiei este un invariant al teoriei nodului) a legăturii, iar până în 2002 legătura Hopf a fost singura pentru care era cunoscută lungimea frânghiei [4] . Corpul convex al acestor două cercuri formează un corp numit oloid [5] .

Proprietăți

În funcție de orientarea relativă a celor două componente , coeficientul de legătură Hopf este ±1 [6] .

Legătura Hopf este o legătură (2,2) -torică [7] cu un cuvânt descriptiv [8] .

Complementul legăturii Hopf este, un cilindru peste un tor [9] . Acest spațiu are o geometrie local euclidiană , deci legătura Hopf nu este hiperbolică . Grupul de noduri de legătură Hopf ( grupul fundamental al complementului său) este( un grup abelian liber pe doi generatori) și distinge legătura Hopf de două cercuri nelegate, care corespund grupului liber pe doi generatori [10] .

Legătura Hopf nu poate fi tricoloră . Acest lucru decurge direct din faptul că o legătură poate fi colorată doar cu două culori, ceea ce contrazice a doua parte a definiției colorării. Fiecare intersecție va avea maximum 2 culori, așa că la colorare vom încălca cerința de a avea 1 sau 3 culori în fiecare intersecție, sau vom încălca cerința de a avea mai mult de 1 culoare.

Pachetul Hopf

Pachetul Hopf  este o mapare continuă de la o 3-sferă (o suprafață tridimensională în spațiul euclidian cu patru dimensiuni ) la cea mai cunoscută 2-sferă , astfel încât imaginea inversă a fiecărui punct de pe 2-sferă să fie un cerc. Astfel, se obține o descompunere a 3-sferei într-o familie continuă de cercuri și fiecare două cercuri diferite din această familie formează o legătură Hopf. Acest fapt l-a determinat pe Hopf să studieze legăturile Hopf - deoarece oricare două straturi sunt legate , pachetul Hopf este un pachet non-trivial [ . Acesta a fost începutul studiului grupurilor de sfere de homotopie [11] .

Istorie

Legătura este numită după topologul Heinz Hopf , care a studiat-o în 1931 în lucrarea sa despre fibrarea Hopf [12] . Totuși, o astfel de legătură a fost folosită de Gauss [3] , iar în afara matematicii a fost întâlnită cu mult înainte, de exemplu, ca emblemă a sectei budiste japoneze Buzan-ha , fondată în secolul al XVI-lea.

Vezi și

Note

  1. ↑ Adams, 2004 , p. 151.
  2. ↑ 1 2 Kusner și Sullivan 1998 , p. 67–78.
  3. ↑ 1 2 Prasolov, Sosinsky, 1997 , p. 12.
  4. ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002 , p. 257–286.
  5. ↑ Dirnböck, Stachel, 1997 , p. 105–118.
  6. ↑ Adams, 2004 .
  7. ↑ Kauffman, 1987 , p. 373.
  8. ↑ Adams, 2004 , p. 133, Exercițiul 5.22.
  9. ↑ Turaev, 2010 , p. 194.
  10. ↑ Hatcher, 2002 , p. 24.
  11. ↑ Shastri, 2013 , p. 368.
  12. ↑ Hopf, 1931 , p. 637–665.

Literatură

Link -uri