Daniel integral

Integrala Daniel  este una dintre generalizările integralei Riemann , o alternativă la conceptul de integrală Lebesgue .

În comparație cu integrala Lebesgue, integrala Daniell nu necesită dezvoltarea preliminară a unei teorii a măsurătorii adecvate , datorită căreia are anumite avantaje, în special în analiza funcțională atunci când este generalizată la spații de dimensiuni mai mari și generalizări ulterioare (de exemplu, în forma integralei Stieltjes ). Construcțiile lui Lebesgue și Daniel sunt echivalente dacă luăm în considerare funcțiile pas ca elementare , totuși, la generalizarea conceptului de integrală la obiecte mai complexe (de exemplu, funcționale liniare ), apar dificultăți semnificative în construirea integralei conform Lebesgue, în timp ce Integrala Daniel este construită în aceste cazuri relativ simplu.

Propus de matematicianul englez Percy John Daniel în 1918 [1] .

Definiție

Ideea principală este de a generaliza conceptul de integrală, bazată pe ideea acesteia ca funcțională. Să considerăm o familie de funcții cu valori reale mărginite (numite funcții elementare ) definite pe spațiul , care satisfac următoarele axiome:

1. Dacă , atunci .
2. Dacă , atunci , unde  este un număr real .
3. Dacă , atunci și .

Clasei i se dă o funcție funcțională care are următoarele proprietăți:

1. .
2. .
3. Dacă și , atunci (proprietatea Lebesgue).
4. dacă [2]

În acești termeni se pot defini seturi de măsură zero. O mulțime care este o submulțime de are măsura zero dacă pentru oricare există o secvență nedescrescătoare de funcții elementare nenegative, astfel încât și pe .

Dacă o anumită condiție este satisfăcută peste tot, cu excepția poate pentru o submulțime de măsură zero, atunci se spune că este îndeplinită aproape peste tot .

Luați în considerare mulțimea formată din toate funcțiile care sunt limita șirurilor nedescrescătoare de funcții elementare aproape peste tot, iar mulțimea integralelor este mărginită. Integrala unei funcții prin definiție este:

Se poate demonstra că această definiție este corectă, adică nu depinde de alegerea secvenței .

Proprietăți

Aproape toate teoremele teoriei integrale Lebesgue pot fi demonstrate cu această construcție, cum ar fi teorema de convergență dominată de Lebesgue , teorema Tonelli–Fubini , lema Fatou și teorema Rees–Fischer . Proprietățile sale sunt aceleași cu cele ale integralei Lebesgue obișnuite.

Măsuri bazate pe integrala Daniel

Datorită corespondenței naturale dintre mulțimi și funcții, este posibil să se construiască o teorie a măsurii bazată pe integrala Daniell. Dacă luăm funcția caracteristică a unei mulțimi, atunci integrala ei poate fi luată ca măsură a acestei mulțimi. Se poate arăta că această definiție este echivalentă cu definiția clasică a măsurii Lebesgue .

Vezi și

• Lebesgue-Stieltjes integral

Note

1. ↑ Daniell PJ A General Form of Integral // Annals of Mathematics . - 1918. - T. 19 , nr 4 . — S. 279–294 . — ISSN 0003-486X . — .
2. ↑ Dezvoltarea conceptului de integrală, 1966 , p. 190.

Literatură

• Daniell, PJ , 1919, „Integrale într-un număr infinit de dimensiuni”, Annals of Mathematics 20 : 281-88.
• Daniell, PJ , 1919, „Funcții de variație limitată într-un număr infinit de dimensiuni”, Analele matematicii 21 : 30-38.
• Daniell, PJ , 1920, „Proprietăți suplimentare ale integralei generale”, Annals of Mathematics 21 : 203-20.
• Daniell, PJ , 1921, „Produse integrate și probabilitate”, American Journal of Mathematics 43 : 143-62.
• Royden, H.L. , 1988. Real Analysis , 3rd. ed. Prentice Hall.
• Pesin I. N. Dezvoltarea conceptului de integrală. — M .: Nauka, 1966. — 202 p.
• Shilov G. E., Gurevich B. L. Integrală, măsură, derivată. - M .: Nauka, 1967.