Integrală Kurzweil-Henstock

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 iunie 2014; verificările necesită 15 modificări .

Integrala Kurzweil-Henstock , o generalizare a integralei Riemann , vă permite să rezolvați complet problema restabilirii unei funcții diferențiabile din derivata ei . Nici integrala Riemann (inclusiv cea improprie ) și nici integrala Lebesgue nu oferă o soluție la această problemă în cazul general.

Istorie

Prima definiție a unei integrale care permite rezolvarea unei probleme în cazul general a fost dată de Arnaud Denjoy în 1912. El a încercat să definească o integrală care să permită integrarea, de exemplu, a derivatei unei funcții definite de zero la zero. Funcția este definită și finită în toate punctele, dar nu Lebesgue integrabilă într-o vecinătate de zero. În încercarea de a crea o teorie generală, Denjoy a folosit inducția transfinită asupra posibilelor tipuri de singularități, ceea ce a făcut definiția destul de complicată. Puțin mai târziu, Nikolai Luzin a simplificat definiția lui Denjoy, dar chiar și după simplificare, această definiție a rămas foarte complicată din punct de vedere tehnic. În 1914, Oscar Perron a dat o definiție diferită a integralei, care permite, de asemenea, să rezolve complet problema restabilirii unei funcții din derivata ei. După 10 ani, Pavel Aleksandrov și Robert Loman au stabilit identitatea integralelor Denjoy și Perron. $f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi }{x^{2})}\right)$ $\displaystyle f'(x)$

În 1957, matematicianul ceh Jaroslav Kurzweil a propus o nouă definiție a integralei, care a făcut posibilă și rezolvarea completă a problemei restabilirii unei funcții din derivata ei. Definiția sa a fost o modificare a definiției integralei Riemann. O altă teorie a acestei integrale a fost dezvoltată de Ralph Henstock , după munca sa, construcția este cunoscută ca integrala Kurzweil-Henstock . Această integrală este, de asemenea, identică cu integralele Denjoy și Perron și acoperă astfel integrala Lebesgue în cazul unidimensional.

Datorită simplității definiției integralei Henstock-Kurzweil, unii profesori susțin introducerea acesteia în programul cursului inițial de analiză matematică , dar până acum această idee a fost parțial implementată doar la departamentele de Mecanică și Matematică ale Universității de Stat din Moscova. și Universitatea de Stat din Saratov .

Definiție

Pentru a defini integrala Kurzweil-Henstock, sunt introduse câteva concepte intermediare:

funcția de calibrare (scara) este o funcție arbitrară ; $\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$
partiția marcată a segmentului este un set finit de perechi , unde și ; $P$ $[a,b]$ $\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$
o partiție marcată se spune a fi -subțire (consecventă cu ) if for all from to ; $P$ $\delta$ $\delta$ $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\ delta(\xi _{k})$ $k$ $unu$ $n$
pentru partiția și funcția marcate, suma integrală este expresia: $P$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$ .

Se spune că o funcție este integrabilă Kurzweil-Henstock pe interval dacă există un număr (numit integrala Kurzweil-Henstock a funcției pe intervalul ) care are următoarea proprietate: pentru orice există o funcție gauge astfel încât pentru orice partiție compatibil cu partiția marcată . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $[a,b]$ $eu$ $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\delta _{\varepsilon }$ $\delta _{\varepsilon }$ $P$ $|S(P,f)-I|<\varepsilon$

Existenţa partiţiilor compatibile cu partiţiile marcate pentru o anumită funcţie gauge rezultă din teorema lui Cousin . $\delta$ $\delta$

Integrala Riemann este un caz special al integralei Kurzweil-Henstock; în definiția sa sunt permise doar funcții de gabarit constant.

Literatură

Lukașenko T. P., Skvortsov V. A., Solodov A. P. Integrale generalizate 2010. 280 p. ISBN 978-5-397-00267-7

Link -uri

Integrala improprie a lui Riemann și integrala lui Henstock în , P. Maldonia, VA Skvortsov $R^{n}$ Mat. note, 2005, volumul 78, numărul 2, paginile 251-258
Integrale generalizate și seria Fourier IA Vinogradova, VA Skvortsov Itogi Nauki. Ser. Matematica. Mat. anal. 1970, 1971, paginile 65-107

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale