Inele borromee

Inele borromee
Notaţie
Conway [.unu]
Alexander-Briggs 6 3 2
Polinomiale
Jones   [unu]
Invariante
Lungimea impletiturii 6
Numărul de fire 3
Numărul de intersecții 6
Volum hiperbolic 7,327724753
Numărul de segmente 9
Dezlegați numărul 2
Proprietăți
Legătură alternativă , hiperbolic
 Fișiere media la Wikimedia Commons

Inelele borromeene [2]  sunt o legătură formată din trei cercuri topologice , care sunt legate și formează o legătură brunniană (adică, îndepărtarea oricărui inel va duce la separarea celor două inele rămase). Cu alte cuvinte, nici două dintre cele trei inele nu sunt legate, ca în legătura Hopf , dar toate sunt legate între ele.

Proprietăți matematice

În ciuda aparentei naturalețe a inelelor borromee din ilustrații, este imposibil să se realizeze o astfel de legătură din cercuri ideali geometric [3] . Acest lucru poate fi văzut și luând în considerare o diagramă de noduri : dacă presupunem că cercurile 1 și 2 sunt tangente la două puncte de intersecție, atunci ele se află fie în același plan, fie pe o sferă. În ambele cazuri, al treilea cerc trebuie să intersecteze acest plan sau sferă în patru puncte și să nu se afle pe el, ceea ce este imposibil [4] .

În același timp, o astfel de angajare se poate face cu ajutorul elipselor, iar excentricitatea acestor elipse poate fi făcută arbitrar de mică. Din acest motiv, inelele subțiri din sârmă flexibilă pot fi folosite ca inele borromee.

Logodna

În teoria nodurilor, inelele Borromee sunt cel mai simplu exemplu de legătură brunniană - deși orice pereche de inele nu este legată , ele nu pot fi deconectate.

Cel mai simplu mod de a demonstra acest lucru este să luăm în considerare grupul fundamental al complementului a două cercuri nelegate ; prin teorema Seifert-van Kampen , acesta este un grup liber cu doi generatori, a și b, iar apoi al treilea ciclu corespunde clasei de comutator , [ a , b ] = aba −1 b −1 , care poate fi văzut din diagrama legăturii. Acest comutator nu este banal în grupul fundamental și, prin urmare, inelele Borromee sunt legate.

În topologia aritmetică , există o analogie între noduri și numere prime , care permite urmărirea relațiilor dintre numerele prime. Triplul numerelor prime (13, 61, 937) este conectat modulo 2 ( simbolul său Rhedei este egal cu −1), dar aceste numere sunt perechi nelegate modulo 2 (toate simbolurile Legendre sunt egale cu 1). Astfel de numere prime sunt numite „triple Borromee regulate modulo 2” [5] sau „Boromee simple modulo 2”. [6]

Geometrie hiperbolica

Inelele borromee sunt un exemplu de cuplare hiperbolica  — complementul inelelor borromeene într-o sferă cu 3 sfere admite o metrică hiperbolica completă cu volum finit. Expansiunea canonică (Epstein-Penner) a complementului constă din două octaedre regulate . Volumul hiperbolic este egal cu 16Л(π/4) = 7,32772…, unde Л este funcția Lobaciovski . [7]

Legătura cu coase

Dacă tăiem inelele Borromee, obținem o iterație a împletiturii obișnuite . În schimb, dacă conectăm capetele (ale unei iterații) unei împletituri obișnuite, obținem inele borromee. Scoaterea unui inel eliberează celelalte două, iar îndepărtarea unei panglici din împletitură eliberează celelalte două - acestea sunt cea mai simplă legătură Brunniană și , respectiv, împletitura Brunnian .

În diagrama de legătură standard, inelele Borromee sunt ordonate într-o ordine ciclică . Dacă folosiți culorile ca mai sus, roșu va fi peste verde, verde peste albastru, albastru peste roșu, iar când unul dintre inele este îndepărtat, unul dintre inelele rămase se va așeza peste celălalt și vor fi decuplate. La fel este și cu oblic: fiecare panglică se află deasupra celei de-a doua și sub a treia.

Istorie

Numele „inele Borromee” a venit de la utilizarea lor pe stema familiei aristocratice Borromee din nordul Italiei . Logodna este mult mai veche și a apărut ca un valknut pe pietrele de tablou viking , care datează din secolul al VII-lea.

Inelele borromee au fost folosite în diverse contexte, cum ar fi religia și arta, pentru a arăta puterea unității. În special, inelele au fost folosite ca simbol al Treimii . Se știe că psihanalistul Jacques Lacan și-a găsit inspirația în inelele borromee ca model al topologiei personalității umane, în care fiecare inel reprezintă o componentă fundamentală a realității („real”, „imaginar” și „simbolic”).

În 2006, Uniunea Internațională de Matematică a decis să folosească un logo bazat pe inele Borromee pentru XXV-a Congres Internațional al Matematicienilor de la Madrid , Spania [8] .

Un stâlp de piatră din templul lui Marundiiswarar din Chennai , Tamil Nadu , India , datând din secolul al VI-lea, conține o astfel de figură [9] [10] .

Inele parțiale

Există multe semne vizuale care datează din Evul Mediu și Renaștere, constând din trei elemente legate între ele în același mod ca inelele Borromee (în reprezentarea lor bidimensională general acceptată), dar elementele individuale nu reprezintă elemente închise. inele. Exemple de astfel de simboluri sunt coarnele de pe piatra Snoldelev și semilunele lui Diane de Poitiers . Un exemplu de insignă cu trei elemente diferite este insigna clubului Internacional . Deși într-o măsură mai mică, aceste simboluri includ gankiel și diagrama Venn cu trei elemente .

De asemenea, nodul pumnului maimuței este în esență o reprezentare tridimensională a inelelor Borromee, deși nodul are trei niveluri.

Mai multe inele

Unele conexiuni din teoria nodurilor conțin configurații multiple de inele Borromee. Un compus de acest tip, format din cinci inele, este folosit ca simbol în Discordianism , pe baza unei imagini din cartea Principia Discordia .

Implementări

Inelele Borromee  moleculare sunt analogi moleculari ai inelelor Borromee, care sunt structuri moleculare legate mecanic . În 1997, biologul Mao Chengde (Chengde Mao) și coautorii de la Universitatea din New York au construit cu succes inele din ADN [11] . În 2003, chimistul Fraser Stoddart și coautorii de la Universitatea din California , au folosit compuși complecși pentru a construi un set de inele din 18 componente într-o singură operație [12] .

Analogul mecanic cuantic al inelelor Borromee se numește halo sau starea Efimov (existența unor astfel de stări a fost prezisă de fizicianul Vitaly Nikolaevich Efimov în 1970). În 2006, grupul de cercetare al lui Rudolf Grim și Hans-Christoph Nägerl de la Institutul de Fizică Experimentală al Universității din Innsbruck (Austria) a confirmat experimental existența unor astfel de stări într-un gaz ultrarece de atomi de cesiu și a publicat descoperirea în revista științifică. Natura [13] . Un grup de fizicieni condus de Randall Hulet de la Universitatea Rice din Houston a obținut același rezultat folosind trei atomi de litiu legați și și-au publicat descoperirile în Science Express [14] . În 2010, un grup condus de K. Tanaka a obținut starea Efimov cu neutroni (halo de neutroni) [15] .

Vezi și

Note

  1. ↑ Atlasul nodurilor - 2005.
  2. ↑ Numele provine de la stema familiei Borromee , pe care sunt prezente aceste inele.
  3. ↑ Freedman-Skora, 1987 .
  4. ↑ Lindström, Zetterström, 1991 .
  5. ↑ Denis Vogel. Produse Massey în coomologia Galois a câmpurilor numerice. — 13 februarie 2004.
  6. ↑ Masanori Morishita. Analogii între noduri și prime, 3-variete și inele numerice. - 22 aprilie 2009. - arXiv : 0904.3399 .
  7. ↑ William Thurston. Geometria și topologia trei-varietăților. - martie 2002. - C. Ch 7. Calculul volumului p. 165 .
  8. ↑ ICM 2006 . Preluat la 20 mai 2015. Arhivat din original la 3 martie 2016.
  9. ↑ Lakshminarayan, 2007 .
  10. ↑ Intrare pe blog de Arul Lakshminarayan
  11. ↑ Mao, Sun, Seeman, 1997 , p. 137–138.
  12. ↑ Această lucrare a fost publicată în Science 2004 , 304 , 1308-1312. Rezumat Arhivat la 8 decembrie 2008 la Wayback Machine
  13. ↑ Kraemer, 2006 , p. 315–318.
  14. ↑ Moskowitz, 2009 .
  15. ↑ Tanaka, 2010 , p. 062701.

Literatură

Link -uri