Ipoteza continuumului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 aprilie 2022; verificările necesită 2 modificări .

ipoteza continuumului
Numit după	continuum
Descoperitor sau Inventor	Georg Kantor
data deschiderii	1877
Formula care descrie o lege sau o teoremă	$\aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0} }$
Cine a decis	Kurt Gödel și Paul Cohen

Ipoteza continuumului ( problema continuumului , prima problemă a lui Hilbert ) este ipoteza prezentată în 1877 de Georg Cantor că orice submulțime infinită a continuumului este fie numărabilă , fie continuă . Cu alte cuvinte, ipoteza presupune că cardinalitatea continuumului este cea mai mică, depășind cardinalitatea unei mulțimi numărabile și nu există cardinalități „intermediare” între o mulțime numărabilă și un continuum. În special, această presupunere înseamnă că pentru orice set infinit de numere reale , se poate stabili întotdeauna o corespondență unu-la-unu fie între elementele acestei mulțimi și mulțimea de numere întregi , fie între elementele acestei mulțimi și mulțimea de toate numerele reale.

Primele încercări de a demonstra această afirmație prin intermediul teoriei mulțimilor naive nu au avut succes, ulterior se arată că este imposibil să se demonstreze sau să infirme ipoteza în axiomatica Zermelo-Fraenkel (atât cu cât și fără axioma alegerii ).

Ipoteza continuumului este dovedită în mod unic în sistemul Zermelo-Fraenkel cu axioma determinismului (ZF+AD).

Istorie

Ipoteza continuumului a fost prima dintre cele douăzeci și trei de probleme matematice pe care Hilbert le -a prezentat la cel de-al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor de la Paris în 1900 . Prin urmare, ipoteza continuumului este cunoscută și ca prima problemă a lui Hilbert .

În 1940, Gödel a dovedit că negația ipotezei continuumului era nedemonstrabilă în ZFC, sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel cu axioma de alegere , iar în 1963 Cohen , folosind metoda sa de forțare că ipoteza continuumului era de asemenea nedemonstrabilă în . 1] . Ambele rezultate se bazează pe ipoteza de consistență ZFC , care este necesară, deoarece orice afirmație dintr-o teorie inconsistentă este trivial dovedibilă. Astfel, ipoteza continuumului este independentă de ZFC.

Presupunând negația ipotezei continuumului, este logic să ne punem întrebarea: pentru ce ordinale poate fi satisfăcută egalitatea ? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Easton în 1970 $\mathrm {ZFC+\neg CH}$ $\alfa$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }$

Formulări echivalente

Există mai multe afirmații care sunt echivalente cu ipoteza continuului:

O linie dreaptă poate fi colorată într-un număr numărabil de culori în așa fel încât condiția [2] să nu fie îndeplinită pentru orice cvadruplu de numere cu o singură culoare . $\mathbb {R}$ $a,b,c,d$ $a+b=c+d$
Planul poate fi acoperit complet de o familie numărabilă de mulțimi, fiecare dintre acestea având forma (adică are un punct de intersecție unic cu fiecare linie verticală) sau (are un punct de intersecție unic cu fiecare linie orizontală) [3] . $\mathbb {R} ^{2}$ $y=f(x)$ $x=f(y)$
Spațiul poate fi împărțit în 3 mulțimi astfel încât acestea să se intersecteze cu orice dreaptă paralelă cu axele , și , respectiv, doar la un număr finit de puncte (fiecare mulțime are propria axă) [4] . $\mathbb {R} ^{3}$ $Bou$ $Oi$ $Oz$
Spațiul poate fi împărțit în 3 mulțimi astfel încât pentru fiecare dintre ele să existe un astfel de punct încât această mulțime să se intersecteze cu orice dreaptă care trece prin , doar într-un număr finit de puncte [5] . $\mathbb {R} ^{3}$ $P$ $P$

Variații și generalizări

Ipoteza continuumului generalizat constă în presupunerea că pentru orice cardinal infinit egalitatea este valabilă ; unde desemnează următorul cardinal. Cu alte cuvinte, în orice mulțime care este mai mare decât o mulțime infinită , există o submulțime care este echivalentă cu Boolean [6] . $\kappa$ $2^{\kappa}=\kappa ^{+)$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $S$ ${\mathcal {P}}(S)$

De asemenea, ipoteza generalizată a continuumului nu contrazice axiomatica Zermelo-Fraenkel și, așa cum au arătat Sierpinski în 1947 și Specker în 1952 , axioma alegerii decurge din aceasta .

Vezi și

axioma lui Martin

Note

↑ Paul J. Cohen Teoria mulțimilor și ipoteza continuumului. - M .: Mir, 1969. - S. 347.
↑ Stephen Fenner, William Gasar. Declarație în Combinatorics care este independentă de ZFC (An Exposition) Arhivată 27 noiembrie 2021 la Wayback Machine
↑ Vaclav Sierpinski . Numere cardinale și ordinale. - Varșovia : Editura științifică poloneză, 1965. (engleză)
↑ Vaclav Sierpinski . Despre teoria multimilor. - M . : Educație, 1966.
↑ Copie arhivată . Data accesului: 9 iulie 2012. Arhivat din original pe 18 februarie 2013. (nedefinit)
↑ Problema continuum / A. G. Dragalin // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.

Literatură

Katin Yu.E. Din istoria problemei continuumului // Istoria și metodologia științelor naturale. - M. : MGU, 1970. - Numărul. 9 . - S. 248-261 .
Manin Yu. I. Problema continuumului // Itogi nauki i tekhniki. Seria „Probleme moderne de matematică. Ultimele realizări. - 1975. - Nr 5. - S. 5-72. — ISSN 0202-747X.

Probleme Hilbert
unu 2 3 patru 5 6 7 opt 9 zece unsprezece 12 13 paisprezece cincisprezece 16 17 optsprezece 19 douăzeci 21 22 23 ( 24 )