Matematica în Egiptul Antic

Acest articol face parte din recenzia History of Mathematics .

Articolul este dedicat stării și dezvoltării matematicii în Egiptul antic în perioada aproximativ de la secolul al 30-lea până în secolul al III-lea î.Hr. e.

Cele mai vechi texte matematice egiptene antice datează de la începutul mileniului II î.Hr. e. Matematica a fost folosită atunci în astronomie, navigație, topografie, în construcția de clădiri, baraje, canale și fortificații militare. Nu existau așezări monetare, precum banii înșiși, în Egipt. Egiptenii au scris pe papirus , care este prost conservat și, prin urmare, cunoștințele noastre despre matematica Egiptului sunt mult mai mici decât cele ale matematicii Babilonului sau Greciei . Probabil că a fost mai bine dezvoltat decât se poate imagina din documentele care au ajuns până la noi - se știe [1] că matematicienii greci au studiat cu egiptenii [2] .

Nu știm nimic despre dezvoltarea cunoștințelor matematice în Egipt, nici în vremuri mai vechi, nici mai ulterioare. După aderarea lui Ptolemei , începe o sinteză extrem de fructuoasă a culturilor egiptene şi greceşti .

Surse

Principalele surse supraviețuitoare datează din perioada Regatului de Mijloc , perioada de glorie a culturii egiptene antice:

Papirusul lui Ahmes sau Papirusul lui Rinda este cel mai voluminos manuscris care conține 84 de probleme matematice. Scrisă în jurul anului 1650 î.Hr. e.
Papirus matematic din Moscova (25 de probleme), circa 1850 î.Hr e., 544 × 8 cm.
Așa-numitul „ rul de piele ”, 25 × 43 cm.
Papirusuri din Lahuna (Kahuna) , care conține o serie de pasaje pe subiecte matematice.
Papirusul Berlinului , circa 1300 î.Hr. e.
Tablete din lemn Cairo (tablete Akhmim).
Papirus Reisner , circa secolul al XIX-lea î.Hr e.

Câteva fragmente de natură computațională au ajuns la noi din Regatul Nou .

Autorii tuturor acestor texte ne sunt necunoscuți. Copiile care au ajuns până la noi sunt în mare parte copii copiate în perioada hicsilor . Purtătorii cunoștințelor științifice erau numiți atunci scribi și de fapt erau funcționari de stat sau de templu.

Toate sarcinile din papirusul lui Ahmes (înregistrate c. 1650 î.Hr.) sunt de natură aplicativă și sunt legate de practica construcției, delimitarea terenurilor etc. Sarcinile sunt grupate nu pe metode, ci pe subiecte. În cea mai mare parte, acestea sunt sarcini pentru găsirea ariilor unui triunghi, patrulatere și cerc, diverse operații cu numere întregi și fracții alicote , împărțirea proporțională, găsirea de rapoarte, ridicarea la diferite puteri, determinarea mediei aritmetice , progresiile aritmetice , rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II cu o necunoscută [ 3] .

Nu există absolut nicio explicație sau dovezi. Rezultatul dorit este fie dat direct, fie un scurt algoritm pentru calculul acestuia.

Această metodă de prezentare, tipică științei țărilor din Orientul antic, sugerează că acolo matematica s-a dezvoltat prin generalizări inductive și presupuneri ingenioase care nu au format nicio teorie generală. Cu toate acestea, există o serie de dovezi în papirus că matematica din Egiptul antic din acei ani a avut sau cel puțin a început să dobândească un caracter teoretic. Astfel, matematicienii egipteni au reușit să extragă rădăcini (întregi) și să ridice la o putere [4] , să rezolve ecuații, au fost familiarizați cu progresia aritmetică și geometrică și chiar au stăpânit rudimentele algebrei : la rezolvarea ecuațiilor, o „grămadă” specială hieroglică. denota necunoscutul.

Numerotarea (scrierea numerelor)

Numerotarea egipteană antică , adică scrierea numerelor, era similară cu cea romană : la început au existat icoane separate pentru 1, 10, 100, ... 10.000.000, combinate aditiv (însumând). Egiptenii scriau de obicei de la dreapta la stânga , iar cifrele cele mai puțin semnificative ale numărului erau scrise primele, astfel încât în cele din urmă ordinea numerelor corespundea cu a noastră. În scrierea hieratică , există deja simboluri separate pentru numerele 1-9 și abrevieri pentru diferite zeci, sute și mii [5] .

Orice număr în Egiptul antic putea fi scris în două moduri: cuvinte și numere. De exemplu, pentru a scrie numărul 30, s-ar putea folosi hieroglife obișnuite:

sau scrieți același lucru în numere (trei zeci de caractere):

Hieroglife pentru reprezentarea numerelor

unu

zece

100

1000

10.000

100.000

1.000.000

Egiptenii făceau înmulțirea combinând dublarea și adunarea. Împărțirea a constat în alegerea unui divizor, adică ca acțiune inversă înmulțirii.

Pictogramele speciale au indicat fracții din forma și . Cu toate acestea, ele nu aveau un concept general de fracție și toate fracțiile necanonice au fost reprezentate ca sumă de fracții alicote . Expansiunile tipice au fost rezumate în tabele greoaie. ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Exemple de imagini ale fracțiilor comune

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Un exemplu de scriere a fracțiilor din Papirusul Rhinda [6]

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (= 5 5 ⁄ 7 )

Aritmetică

Semne de adunare și scădere

Papirusul lui Ahmes (c. 1550 î.Hr.) a folosit hieroglifa pentru adunare sau scădere

Dacă direcția „picioarelor” acestei hieroglife a coincis cu direcția scrierii (după cum am menționat deja, egiptenii scriau de obicei de la dreapta la stânga), atunci înseamnă „adăugare”, în caz contrar – „scădere”. Totuși, în Papirusul matematic de la Moscova (c. 1850 î.Hr.) o pereche de picioare îndreptate spre capătul unei linii însemna pătrarea unui număr [7] [8] .

Adăugare

Dacă adunarea are ca rezultat un număr mai mare de zece, atunci zece este scris cu o hieroglică în creștere.

De exemplu : 2343 + 1671

Colectăm toate același tip de hieroglife împreună și obținem:

Să transformăm:

Rezultatul final arată astfel:

Înmulțirea

Înmulțirea egipteană antică este o metodă secvențială de înmulțire a două numere. Pentru a înmulți numere, nu aveau nevoie să cunoască tabele de înmulțire, dar era suficient doar să poată descompune numerele în mai multe baze, să înmulțească acești multipli și să adună.

Metoda egipteană implică descompunerea celui mai mic dintre doi factori în multipli și apoi înmulțirea lor secvențială cu al doilea factor.

Descompunere

Egiptenii au folosit un sistem de extindere a celui mai mic factor în multipli, a căror sumă ar fi numărul inițial.

Pentru a selecta corect un multiplu, trebuia să cunoașteți următorul tabel de valori:

1 x 2 = 2

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

16 x 2 = 32

Un exemplu de extindere a numărului 25:

Multiplicatorul pentru numărul „25” este 16.
25 - 16 = 9,
Multiplicatorul pentru numărul „9” este 8,
9 - 8 = 1,
Multiplicatorul pentru numărul „1” este 1,
1 - 1 = 0

Astfel, „25” este suma a trei termeni: 16, 8 și 1.

Exemplu: înmulțiți „13” cu „238”:

✔	1 x 238	= 238
✔	4 x 238	= 952
✔	8 x 238	= 1904

	13 x 238	= 3094

Se știe că 13 = 8 + 4 + 1. Fiecare dintre acești termeni trebuie înmulțit cu 238. Se obține: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Vechii egipteni au distins împărțirea cu doi de împărțirea cu alte numere deoarece algoritmul lor de multiplicare folosea împărțirea cu doi ca unul dintre pașii intermediari [9] .

Ecuații

Un exemplu de sarcină din Papyrus Ahmes :

Găsiți un număr dacă se știe că adunând 2/3 din el și scăzând din rezultatul treimii sale, obțineți 10 .

Geometrie

Calcularea suprafețelor

În domeniul geometriei, egiptenii cunoșteau formulele exacte pentru aria unui dreptunghi, a unui triunghi și a unui trapez. Aria unui patrulater arbitrar cu laturile a, b, c, d a fost calculată aproximativ ca ; această formulă brută oferă o precizie acceptabilă dacă cifra este aproape de un dreptunghi. $S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$

Egiptenii au presupus că aria unui cerc S cu diametrul d este egală cu aria unui pătrat a cărui latură este 8/9 din diametru: Această regulă corespunde aproximării ≈ 3,1605 (eroare mai mică de 1% ) [10] .. $S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.$ $\pi \aproximativ 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}$

Unii cercetători [11] , pe baza celei de-a 10-a probleme a Papirusului matematic de la Moscova, credeau că egiptenii cunoșteau formula exactă pentru calcularea ariei unei sfere, dar alți oameni de știință nu sunt de acord cu aceasta [12] [13] .

Calcularea volumelor

Egiptenii puteau calcula volumele unui paralelipiped, a unui cilindru, a unui con și a piramidelor. Pentru a calcula volumul unei piramide trunchiate, egiptenii au folosit următoarea regulă (Problema nr. M14 a Papirusului matematic din Moscova ): să avem o piramidă trunchiată obișnuită cu o latură a bazei inferioare a , b superioară și înălțimea h ; apoi volumul a fost calculat cu următoarea formulă (corectă):

V=(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3)).

Un sul antic de papirus găsit la Oxyrhynchus indică faptul că egiptenii puteau calcula și volumul unui trunchi de con. Aceste cunoștințe au fost folosite de ei pentru a construi un ceas cu apă . De exemplu, se știe că sub Amenhotep III a fost construit un ceas cu apă în Karnak .

Triunghi egiptean

Triunghiul egiptean este un triunghi dreptunghic cu un raport de aspect de 3:4:5. Plutarh în primul secol a scris despre acest triunghi în eseul său „Despre Isis și Osiris ”: „Aparent, egiptenii compară natura Universalității cu cel mai frumos dintre triunghiuri”. Poate din această cauză acest triunghi a fost numit egiptean [14] . Într-adevăr, savanții greci au raportat că în Egipt o frânghie împărțită în 12 părți a fost folosită pentru a construi un unghi drept.

Triunghiul egiptean a fost folosit în mod activ pentru a construi unghiuri drepte de către topori și arhitecți egipteni, de exemplu, la construirea piramidelor. Istoricul Van der Waerden a încercat să pună la îndoială acest fapt, dar studiile ulterioare l-au confirmat [15] . În orice caz, nu există nicio dovadă că teorema lui Pitagora în cazul general a fost cunoscută în Egiptul Antic (spre deosebire de Babilonul Antic ) [16] .

Vezi și

Note

↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematica Egiptului antic, Babilonului și Greciei. Decret. cit., p. 125: „Tales a călătorit în Egipt și a adus geometria în Hellas” (din comentariul lui Proclu la Euclid).
↑ „După majoritatea opiniilor, geometria a fost descoperită pentru prima dată în Egipt și a apărut din măsurarea suprafețelor” // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum. - Leipzig, 1873. - S. 64.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 21-33..
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 24..
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. treizeci.
↑ Gardiner Alan H. Gramatica egipteană: fiind o introducere în studiul hieroglifelor ed. a III-a, rev. Londra: 1957, p. 197.
↑ Florian Cajori . O istorie a notațiilor matematice. - Dover Publications , 1993. - S. pp. 229-230. — ISBN 0486677664 .
↑ Karpinski, Louis C. Algebraical Developments Among the Egyptians and Babylonians // The American Mathematical Monthly : journal. - 1917. - Vol. 24 , nr. 6 . — P. 259 . - doi : 10.2307/2973180 . — .
↑ Jean-Luc Chabert. O istorie a algoritmilor: de la pietriș la microcip . - Springer Berlin Heidelberg, 1999. - 524 p. — ISBN 9783540633693 . Arhivat pe 21 februarie 2019 la Wayback Machine
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 30-32..
↑ W. W. Struve. Muzeul Mathematischer Papyrus des din Moscova. - Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. - Berlin: Springer, 1930. - P. 157.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 31-32..
↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei, pp. 44-45
↑ Prasolov V. V. Capitolul 1. Egiptul antic și Babilonul // Istoria matematicii . - (nepublicat), 2013. - p. 5. Copie de arhivă din 18 aprilie 2015 la Wayback Machine
↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei . Moscova: Fizmatlit, 1959, p. 13, nota de subsol
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 31..

Literatură

Van der Waerden. Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei . — M .: Nauka, 1959. — 456 p.
Veselovsky I. N. Știința egipteană și Grecia. Trudy IIE, 2, 1948, p. 426-498.
Vygodsky M. Ya. Aritmetică și algebră în lumea antică. - M .: Nauka, 1967.
Depman I. Ya. Istoria aritmeticii. Un ghid pentru profesori . - Ed. al doilea. - M . : Educaţie, 1965. - 416 p.
Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Neugebauer O. Prelegeri despre istoria științelor matematice antice . - Moscova-Leningrad, 1937.
Raik A.E. Două prelegeri despre matematica egipteană și babiloniană // Cercetări istorice și matematice . - M .: Fizmatgiz , 1959. - Nr. 12 . - S. 271-320 .
Raik A.E. Eseuri despre istoria matematicii în antichitate. Saransk: Statul Mordovian. Editura, 1977.
Gillings RJ Matematica pe vremea faraonilor. Cambridge: MIT Press, 1972.
Rossi C. Arhitectură și matematică în Egiptul Antic. Cambridge (Marea Britanie): Cambridge UP, 2004.
Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hanovra: Schrodel, 1958.

Link -uri

Matematică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Istoria matematicii
Țări și epoci	perioada preistorica Egiptul antic Babilonul China antică Grecia antică India Armenia Imperiul Incaș Țările islamice Rusia
Secțiuni tematice	Algebră Geometrie analitică Aritmetic Calculul variațiilor Geometrie Geometrie și topologie diferențială Combinatorică Criptografie Algebră liniară Logaritmi Analiza matematică Geometrie non-euclidiană Teoria probabilității teoria multimilor Topologie Trigonometrie analiza functionala
Vezi si	infinitezimal Numere reale Numere irationale Numere complexe Notatie matematica Fracții continuate Numerele negative Funcții