Apariția matematicii

Acest articol face parte din recenzia History of Mathematics .

Matematica modernă studiază structuri abstracte de o cu totul altă natură (mulțimi, enunțuri, limbaje logice, funcții), dar principalul său obiect de studiu l-au constituit inițial conceptele de număr natural și figură geometrică care au apărut din activitatea practică umană [1] .

Și deși se crede că matematica , ca știință sistematică , a apărut doar în Grecia Antică [2] , istoria ei începe odată cu apariția acestor concepte.

Conceptele de număr natural și figură geometrică au apărut cu mult înainte de apariția scrisului, deoarece culturile în care a apărut pentru prima dată scrisul ( Sumer , Egiptul Antic ) aveau o colecție destul de extinsă de cunoștințe matematice dobândite prin experiență [3] .

Deja unele animale au capacitatea de a distinge numărul , mărimea , forma și structura obiectelor [4] . Omul primitiv avea și ele astfel de abilități. De exemplu, oamenii din unele triburi sălbatice sunt foarte buni la determinarea numărului de obiecte pe ochi fără a le număra [5] .

În legătură cu progresul tehnologic, a apărut necesitatea unei numărări mai precise a obiectelor [6] . Prima etapă în dezvoltarea numărării a fost stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între setul de obiecte numărate și setul de standarde. Cel mai popular tip de astfel de cont este contul cu ajutorul degetelor de la mâini și de la picioare [7] .

La un moment dat, numărul a fost perceput ca o proprietate a unui set de obiecte, la fel ca culoarea, forma, dimensiunea, structura lor [8] . Pentru diferite obiecte au fost folosite numere diferite [9] . Dar treptat numărul a fost extras din obiectele numărate. Au apărut nume pentru numere [10] .

Operațiile aritmetice au apărut și din nevoi practice, ca reflectare a unor evenimente reale: unirea mulțimilor, separarea unei părți de o mulțime etc.

Cam în același timp cu numerele, omul a abstras forme plate și spațiale, care de obicei primeau denumiri de obiecte reale asemănătoare lor [10] .

Surse de cunoaștere

Nu toate culturile fac progres științific și tehnologic în același ritm. Unii, într-o oarecare măsură, au păstrat sistemul tribal și obiceiurile străvechi, prin care se poate judeca trecutul lor îndepărtat și se poate obține informații despre epoca în care scrisul nu exista încă. De exemplu, se poate compara sistemul de numere al tribului Bakairi din Brazilia, care are nume doar pentru numere de până la 6, și sistemul de numere al tribului Yoruba din Nigeria, care se bazează pe un principiu de scădere complex și, astfel, înțelege cum s-a dezvoltat modul de denumire a numerelor.

Colonizatorii europeni au fost adesea capabili să trateze astfel de culturi într-un mod barbar, fără respect pentru tradițiile lor. Mulți au fost distruși, alții au fost nevoiți să se integreze în sistemul politic și economic existent. Când oamenii de știință și-au dat seama treptat că astfel de culturi ar putea oferi material bogat pentru studierea istoriei lumii primitive, unele dintre ele dispăruseră deja.[ neutralitate? ] .

La sfârşitul secolului al XX-lea a apărut o ramură a științei - etnomatematica , studiind matematica ca parte a culturii tradiționale [11] . Încep să se efectueze studii, în cursul cărora devine cunoscut, modul în care se cred, arată, numesc și înregistrează numărul popoarelor primitive.

Anumite informații sunt furnizate de săpăturile arheologice. Un os cu crestături numărabile a fost găsit la situl Ishango din Africa , a cărui vârstă este estimată între 20 și 40 de ani. mii de ani, care a oferit material amplu pentru studiu și concluzii [12] . Un alt artefact - un os de rază al unui lup tânăr cu 55 de crestături pe el - a fost găsit în situl din Paleoliticul superior Dolni Vestonice  (Republica Cehă). Mikel Alberti în cartea sa "Mathematical Planet. Journey Around the World" oferă exemple de alte artefacte [13] .

Dacă sistematizăm cunoștințele obținute în urma cercetărilor etno-matematice și arheologice, putem recrea aproximativ procesul de apariție a matematicii .

Etapele dezvoltării contului

Simțul numărului

O serie de experimente arată că animalele, într-un anumit sens, pot simți numărul de obiecte fără a le număra. Biologul englez John Lubbock credea că animalele aveau deja cunoștințe de bază de aritmetică:

Leroy <...> menționează un caz în care un bărbat trebuia să împuște o cioară. „Pentru a induce în eroare această pasăre suspectă, s-a hotărât să trimită doi oameni la cuibul ei, dintre care unul să treacă pe lângă el, iar celălalt să rămână. Dar cioara i-a numărat și a păstrat distanța. A doua zi trei au plecat, iar iarăși. ea și-a dat seama că au mai rămas doar doi. S-a dovedit că era necesar să trimită cinci sau șase oameni să o bată în calcule. Corbișorul, gândindu-se că toți trecuseră, nu a pierdut timpul întorcându-se la cuib." De aici deduce că cioara poate număra până la patru. Lichtenberg vorbește despre o privighetoare care a numărat până la trei. În fiecare zi îi dădea trei viermi, câte unul. După ce a terminat unul, privighetoarea s-a întors pentru altul, dar după al treilea a știut că cina s-a terminat <...> Există un detaliu amuzant și sugestiv în Poveștile unui explorator al Africii de Sud tropicale ale domnului Galton . După ce a descris slăbiciunea tribului african Demara în numărare, el spune: „Odată, când mă uitam la un african care încerca fără speranță să numere ceva, am observat-o pe Dinah, spanielul meu, în apropiere, de asemenea nedumerit; Dinah era lângă o jumătate de duzină din nou-născutul ei. cățeluși, care se îndepărtează constant de ea, era foarte îngrijorată și încerca să afle dacă toți erau acolo, sau lipsea cineva. Se uita nedumerită la ei, dar nu putea înțelege nimic. Evident, avea o idee vagă despre ​​\u200b\u200bnumărul, dar aici numărul era prea mare pentru creierul ei. Dacă îi comparăm pe cei doi, un bărbat și un câine, atunci bărbatul este dezavantajat<...> "<... > Astfel, avem motive să presupunem că animalele au suficientă inteligență pentru a distinge trei de patru [4] .

Text original  (engleză)[ arataascunde] Leroy<...>menţionează un caz în care un bărbat era nerăbdător să împuşte o cioară. „Pentru a înșela această pasăre suspectă, planul a fost lovit de trimiterea a doi oameni la casa de pază, dintre care unul a trecut mai departe, în timp ce celălalt a rămas; dar cioara a numărat și a păstrat distanța. A doua zi trei au plecat și din nou ea a văzut că doar doi s-au retras. În fine, s-a găsit necesar să trimită cinci sau șase bărbați la casa de pază pentru a o scoate în calcul. Corbișorul, gândindu-se că acest număr de bărbați trecuse, nu a pierdut timp să se întoarcă." Din aceasta el a dedus că corbii puteau număra până la patru. Lichtenberg menționează o privighetoare despre care se spunea că numără până la trei. În fiecare zi îi dădea trei viermi de făină, câte unul. Când a terminat unul s-a întors pentru altul, dar după al treilea a știut că sărbătoarea s-a terminat<...>Este o remarcă amuzantă și sugestivă la dl. Narațiunea interesantă a lui Galton despre un explorator în Africa de Sud tropicală. După ce a descris slăbiciunea Demara în calcule, el spune: „Odată, în timp ce am privit o Demara zdruncinată deznădăjduit într-un calcul pe o parte a mea, am observat: „Dinah”, spanielul meu, la fel de stânjenit pe cealaltă; ea trecea cu vederea o jumătate de zeci dintre puii ei nou-născuți, care fuseseră îndepărtați de două-trei ori de la ea, iar anxietatea ei era excesivă, încercând să afle dacă toți erau prezenți sau dacă încă lipseau vreunul. , dar nu se putea mulțumi. Evident avea o noțiune vagă de numărare, dar cifra era prea mare pentru creierul ei. bărbatul<...>" Conform amintirilor mele de cuibărit de păsări, pe care le-am împrospătat prin experiența mai recentă , dacă un cuib conține patru ouă, unul poate fi luat în siguranță; dar dacă două sunt îndepărtate, pasărea dezertă în general. Aici, deci, s-ar părea că am avea vreun motiv să presupunem că există suficientă inteligență pentru a distinge trei de patru.

Oamenii primitivi au moștenit această abilitate. Așa că, conform memoriilor unui misionar american, vânătorii dintr-un trib sălbatic de indieni, care au nume doar pentru numerele 1, 2 și 3, se uită în jur la o haită mare de câini înainte de a vâna, iar dacă cel puțin unul lipsește, observă asta și încep să o cheme. Acest fenomen este cunoscut sub denumirea de „ sens al numărului ” [5] și „ numărare senzorială ” [14] .

Stabilirea unei corespondențe unu-la-unu

În multe limbi, au rămas numele numerelor care, conform cercetătorilor, au apărut chiar înainte de a număra pe degete [15] . Aceste nume sunt asociate cu cunoașterea faptului că există întotdeauna același număr de anumite obiecte în natură (un soare pe cer, doi ochi la o persoană, cinci degete pe o mână etc.). Unele numere au început să fie numite numele unor astfel de obiecte. Deci, în vechiul sistem de numere verbale indian, întâlnim următoarele nume de numere:


Cifra 40 (după versiunea cea mai comună) provine de la denumirea unui mănunchi de piei de blană [16] .

Dacă există un set de opt pietre și un set de opt scoici, le puteți aranja astfel încât să existe o coajă vizavi de fiecare piatră. Așa s-a desfășurat procesul comerțului dintre cele două triburi primitive. Vizavi de fiecare produs din primul trib a fost plasat câte un produs din al doilea trib, iar ca urmare, triburile au schimbat între ele aceeași cantitate de mărfuri [17] .

Un astfel de proces, când fiecare element dintr-o mulțime (colecție) este asociat cu un element dintr-o altă mulțime, se numește în matematică stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între două mulțimi [18] .

Odată cu stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între setul de obiecte numărabile și setul de standarde de numărare, a început următoarea etapă în dezvoltarea numărării.

Dintre toate standardele de numărare, cele mai convenabile și care este „întotdeauna cu tine” sunt degetele de la mâini și de la picioare și chiar și alte părți ale corpului [15] .

Pentru a-și aminti câte animale a ucis în timp ce vâna, un om primitiv trebuia pur și simplu să-și amintească pe ce deget de la mână sau de la picior a încetat să mai numere. Poate fi al doilea deget al celui de-al doilea picior, ultimul deget al primei mâini sau toate degetele. În unele limbi, numerele au devenit așa numite. Aici sunt cateva exemple:

Când nu erau suficiente degete, se foloseau alte părți ale corpului, degetele altor persoane sau prelungirea degetelor deja îndoite.

Exploratorul Noii Guinee , N. N. Miklukho-Maclay , a sugerat ca papuanii să numere numărul de zile până la întoarcerea corvetei Vityaz tăind benzi de hârtie pentru aceasta.

„Primul, întinzând bucăți de hârtie pe genunchi, a repetat „nare, nare” (unul) la fiecare tăietură; celălalt a repetat cuvântul „nare” și în același timp și-a îndoit degetul mai întâi pe una, apoi pe cealaltă. mâna. Numărând până la zece și îndoind degetele ambelor mâini, a coborât ambii pumni pe genunchi, spunând: ... „două mâini”, iar al treilea papuan a îndoit degetul mâinii. La fel s-a făcut și cu al doilea zece, iar al treilea papuan a îndoit al doilea deget; la fel s-a procedat și pentru al treilea zece; bucățile de hârtie rămase nu au constituit al patrulea o duzină și au continuat să stea deoparte. [21]

Adesea, oamenii primitivi purtau cu ei standarde speciale de numărare - bețe sau mingi [22] .

Conceptul de număr abstract

Când arta numărării s-a dezvoltat treptat, conceptul de număr era inseparabil de obiectele numărate. Numărul nu ar putea exista singur. În funcție de ceea ce a fost considerat, numerele puteau fi numite diferit [10] . Unele triburi au până astăzi o împărțire a numerelor în funcție de tipul de obiecte luate în considerare. De exemplu, limba Tsimshian are șapte tipuri diferite de numere:

  1. Pentru numărarea obiectelor plate
  2. Pentru numărarea obiectelor rotunde și împărțirea timpului
  3. Pentru a număra oamenii
  4. Pentru numărarea obiectelor lungi
  5. Pentru numărarea canoelor
  6. Pentru masuri
  7. Numere nedefinite [9] [23] .

A durat mult până când conceptul de număr în sine, separat de obiecte, a apărut.

Extinderea secvenței de numere

Teoretic, orice număr de obiecte poate fi numărat. Numărul lor poate fi exprimat printr-un număr care nu a mai fost văzut până acum (de exemplu, 723.945.186 - șapte sute douăzeci și trei de milioane nouă sute patruzeci și cinci de mii o sută optzeci și șase), dar cu toate acestea, va fi posibil pentru o persoană cine aude acest număr să-și imagineze cât este aproximativ. Nu există limită pentru numărul de articole care pot fi numărate. Pentru orice număr întreg de obiecte, există un număr natural bine definit. Acest fenomen se numește o secvență numerică continuă .

Cu toate acestea, succesiunea numerică din limbă nu a fost întotdeauna continuă . Până acum, există triburi în ale căror limbi există doar două numere: unul și mulți . Nivelul vieții lor nu necesită alte cuvinte numerice. Dar datorită dezvoltării tehnologice aceste cuvinte devin necesare.

Apariția unui cuvânt pentru numărul doi este un pas mare în dezvoltarea secvenței numerice. După apariția cuvântului pentru numărul trei , succesiunea numerică se extinde din ce în ce mai mult. Numele numerelor mai mici de zece apar treptat .

Până acum câteva secole, majoritatea oamenilor nu aveau nevoie să folosească numere de peste o mie . Pentru a desemna numere mari, au fost folosite cuvintele „monstru”, „infinit”, „nu mai poți număra”. Deci, prefixul „-tera”, care indică înmulțirea unității originale cu 10 12 , adică cu un trilion (de exemplu, terabyte) provine din cuvântul roman „monstru”, adică este aceeași rădăcină cu cuvântul „ teroare". Vechiul nume rusesc pentru numărul 10.000 este întuneric . Numele numărului milion înseamnă în italiană veche „mii mari”.

În limba ruandeză, 10.000 se numesc „elefant”, iar 20.000 se numesc „doi elefanți”. În Nigeria, numărul 160.000 se numește „400 întâlnește 400”, iar numele numărului 10.000.000 poate fi tradus aproximativ prin „Există atât de multe lucruri aici încât numărul lor este imens” [24] .

Apariția sistemelor de numere

Asemănarea numerelor între diferitele popoare indo-europene arată că au apărut chiar și atunci când aceste popoare vorbeau aceeași limbă, adică se referă la perioada preistorică:

Număr latin greacă Engleză Deutsch limba franceza Rusă
unu O.N.U mono unu ein un unu
2 duo dia Două zwei deux Două

Limbi fără cifre

Există limbi care sunt complet (sau aproape complet) lipsite de orice numere. În lucrarea matematicianului american Levi Konent, limbile triburilor boliviane Chiquita și Takana sunt date ca exemple [25] .

Numere algoritmice și nodale

În știință, numerele care stau la baza numelor altora primesc numele de „ nodal ”. Numerele ale căror nume sunt compuse din altele primesc denumirea de „ algoritmic ” [26] . Deci numerele trei, șase, zece, patruzeci, o sută sunt cheie, deoarece numele lor nu pot fi dezasamblate prin compoziție. Numărul șaizeci este algoritmic, deoarece numele său este format din numele numerelor nodale șase și zece. Numerele algoritmice pot fi formate din numere de noduri în moduri diferite. Următoarele sunt exemple de astfel de formațiuni.

Principiul aditivului

Primele sisteme numerice au folosit principiul aditiv . Constă în faptul că denumirile numerelor algoritmice sunt formate din numere nodale prin adunare , ca și numele numărului șaptesprezece . Tabelul arată ca exemplu sistemul de numere al tribului Gumulgel care trăiește pe Insulele Strâmtorii Torres și al tribului Bakairi.

Sistemul numeric al tribului Gumulgel Sistemul numeric al tribului Bakairi
Număr Nume Număr Nume
unu Urapun unu tokale
2 Okoza 2 ahage
3 Okoza-urapun 3 ahage-tokale
patru Okoz-okoz patru ahage-ahage
5 Okoza-okoza-urapun 5 ahage-ahage-tokale
6 Okoz-okoz-okoz 6 Ahage-ahage-ahage

După cum puteți vedea, doar numerele 1 și 2 au nume proprii, restul numerelor au nume derivate. Pentru numerele mai mari de 7, aceste triburi au un singur cuvânt, ceea ce înseamnă multe.

Principiul subtractiv

Sistemele numerice mai complexe au folosit, de asemenea, principiul subtractiv . Aceasta înseamnă că numele unor numere algoritmice ar putea fi formate din numere nodale prin scădere .

Principiul scădere este văzut, de exemplu, în sistemul de numerotare roman, unde numărul 9 este scris ca IX , adică ca 10-1. Un sistem de numere scădere destul de complex cu baza 20 a fost folosit de tribul african yoruba :

Sistemul numeric al poporului Yoruba
Număr Nume Decodificarea numelui Număr Nume Decodificarea numelui
unu kan unu 31 mokonlel ogbon +1+30
2 meji 2 32 mejilel ogbon +2+30
3 meta 3 33 metalel ogbon +3+30
patru merin patru 34 merinlel ogbon +4+30
5 maruun 5 35 maruundinl ogoji -5+20×2
6 mefa 6 36 merindinl ogoji -4+20×2
7 meje 7 37 metadinl ogoji -3+20×2
opt mejo opt 38 mejidinl ogoji -2+20×2
9 mesan 9 39 mokondinl ogoji -1+20×2
zece mewa zece 40 ogoji 20x2
unsprezece mokon laa +1+10 41 mokonl ogoji +1+20×2
12 meji laa +2+10 42 mejil ogoji +2+20×2
13 meta laa +3+10 43 ogoji de metal +3+20×2
paisprezece merin laa +4+10 44 merinl ogoji +4+20×2
cincisprezece meeed ogun -5+20 45 maruundinla adota -5-10+20×3
16 merindinl ogun -4+20 46 merindinla adota -4-10+20×3
17 metadinl ogun -3+20 47 metadinla adota -3-10+20×3
optsprezece mejidinl ogun -2+20 48 mejidinla adota -2-10+20×3
19 mokondinl ogun -1+20 49 mokondinla adota -1-10+20×3
douăzeci ogun douăzeci cincizeci adota -10+20×3
21 mokonlel ogun +1+20 51 mokonlela adota +1-10+20×3
22 mejilel ogun +2+20 52 mejila adota +2-10+20×3
23 metalel ogun +3+20 53 metala adota +3-10+20-×3
24 merinlel ogun +4+20 54 merinla adota +4-10+20×3
25 meeed ogbon -5+30 55 maruundinlogota -5+20×3
26 Merindinl ogbon -4+30 Sursa: Dirk Huylebrouck. Matematica în Africa Centrală înainte de colonizare. Matematica tribală a Africii Centrale . Arhivat pe 7 februarie 2012 la Wayback Machine
27 metadinl ogbon -3+30
28 mejidinl ogbon -2+30
29 mokondinl ogbon -1+30
treizeci ogbon treizeci
Principiul multiplicativ

Principiul multiplicativ constă în faptul că denumirile unor numere algoritmice pot fi formate din numere nodale prin înmulțire . Este vizibil în numele unor numere precum „șaptezeci”, „trei sute”, „patru sute”, etc.

Calcule aritmetice

Pentru numărare, trebuie să aveți modele matematice ale unor evenimente atât de importante, cum ar fi unirea mai multor mulțimi într-una sau, dimpotrivă, separarea unei părți a unei mulțimi. Așa au apărut operațiile de  adunare  și apoi de scădere [27] . Pentru cazul în care de multe ori trebuie să adăugați mai multe mulțimi identice, apare o nouă operație - înmulțirea [28] .

O altă acțiune practică importantă - împărțirea în părți - a fost în cele din urmă abstractizată în a patra operație aritmetică -  împărțirea [29] . Proprietățile operațiilor aritmetice au fost descoperite treptat.

O mare „împingere” a utilizării operațiilor aritmetice a fost dezvoltarea măsurătorilor . Unitățile de măsură au fost asociate în primul rând cu părți ale corpului cu care era ușor să le luați (măsuri) ( picior (picior), cot etc.).

Conceptul de fracție, ca atare, nu a existat nici după apariția scrisului. Cu toate acestea, în viața de zi cu zi au fost folosite conceptele „ jumătate ”, „ al treilea ”, „ sfert ”. Astfel de „fracții” de fracții aveau de obicei un numitor de 2, 3, 4, 8 sau 12. De exemplu, la romani, fracția standard era  o uncie  ( 1/12 ) . Sistemele monetare și de măsurare medievale poartă o amprentă clară a sistemelor antice non-zecimale: 1  penny engleză  \u003d 1/12  șiling , 1  inch  \u003d 1/12  foot , 1 foot \u003d 1/3  yard , duzină \u003d 12 unități, etc. Fracțiile zecimale , convenabile în calculele complexe, s-au răspândit în Europa abia în secolul al XVI-lea [30] .

Apariția geometriei

În activitatea sa practică, o persoană a întâlnit forme geometrice și corpuri specifice. Treptat, idealizarea lor a avut loc - oamenii au făcut abstracție de defectele unor obiecte specifice, creând idei ideale. Așa au apărut conceptele de poligoane și poliedre regulate, piramide, prisme și corpuri de revoluție. Majoritatea denumirilor comune pentru figurile geometrice sunt grecești antice [20] .

Originea numelor obiectelor geometrice
concept originea numelui
romb din greaca veche ρόμβος - spinning top
trapez din greaca veche τραπέζιον - masă
sferă din greaca veche σφαῖρα - minge
cilindru din greaca veche κύλινδρος - role
con din greaca veche κώνος - con de pin
piramidă de la numele piramidelor egiptene „Purama”
prismă din greaca veche πρίσμα - ceva tăiat
linia din latină linea - fir de in
punct de la verbul to poke
centru din greaca veche κέντρον - numele unui băț ascuțit (picioare de busolă)
Sursa: E. I. Berezkina, B. A. Rosenfeld. Timpurile preistorice // Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul timpurilor moderne / Ed. A. P. Iuşkevici . - Moscova: Nauka, 1970-1972. - P. 10-16. — 353 p. - 7200 de exemplare.

Note

  1. ↑ Boyer, 1968 , p. unu.
  2. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , p. 34.
  3. ↑ Stroik D. Ya. Scurt eseu despre istoria matematicii. - Ed. al 3-lea. - M. : Nauka, 1984. - S. 32. - 255 p.
  4. ↑ 1 2 Number Concept, 1896 , p. 3.
  5. ↑ 1 2 Menninger, 2011 , p. 17.
  6. ^ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 .
  7. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , p. zece.
  8. ↑ Menninger, 2011 , p. optsprezece.
  9. ↑ 1 2 Ulin, 2007 , p. 45.
  10. ↑ 1 2 3 Istoria matematicii, 1970-1972 .
  11. ↑ Planeta matematică, 2014 , p. 7.
  12. ↑ Planeta matematică, 2014 , p. 18-19.
  13. ↑ Planeta matematică, 2014 , p. 12-20.
  14. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 .
  15. ↑ 1 2 3 Istoria matematicii, 1970-1972 , p. zece.
  16. ↑ Mic Dicţionar Academic . Data accesului: 30 decembrie 2016. Arhivat din original la 31 decembrie 2016.
  17. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , p. 9.
  18. ↑ MacDuffee , C.C. Aritmetică . Enciclopaedia Britannica. Preluat la 20 martie 2012. Arhivat din original la 27 mai 2012.  
  19. ↑ 1 2 Perelman, 2012 , p. treizeci.
  20. ↑ 1 2 Istoria matematicii, 1970-1972 , p. zece.
  21. ↑ N.N. Miklukho-Maclay. Lucrări adunate. - 1950. - T. 1. - S. 141.
  22. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , p. zece.
  23. ↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 24.
  24. ↑ Matematica în Africa centrală înainte de colonizare .
  25. ↑ Number Concept, 1896 .
  26. ↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 13.
  27. ↑ Andronov, 1959 , p. 40-54.
  28. ↑ Andronov, 1959 , p. 60-77.
  29. ↑ Andronov, 1959 , p. 77-94.
  30. ↑ Andronov, 1959 , p. 156-173.

Literatură

  • Alberti, Mikel. planetă matematică. Călătorind prin lume. - Moscova: de Agostini, 2014. - (Lumea Matematicii). — ISBN 5977407351 .
  • Andronov I. K. Aritmetică. Dezvoltarea conceptului de număr și operații asupra numerelor. - Moscova: Uchpedgiz, 1959.
  • Bashmakova I. G., Yushkevich A. P. Originea sistemelor numerice // Enciclopedia matematicii elementare. Cartea întâi (aritmetică) / editată de P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich și A. Ya. Khinchin. - Leningrad: GTTI, 1951. - T. Cartea 1. Aritmetica. — 449 p.
  • Belyustin V. Cum au ajuns oamenii treptat la aritmetica reală (Eseuri disponibile public pentru iubitorii de aritmetică) . - M . : Tipografia lui K. L. Menshov, 1909.
  • Berezkina E. I. , Rosenfeld B. A. . Timpurile preistorice // Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul timpurilor moderne / Ed. A. P. Iuşkevici . - M. : Nauka, 1970-1972. - P. 10-16. — 353 p.
  • Menninger, Carl. Istoria numerelor. Numere, simboluri, cuvinte . - Moscova: Tsentrpoligraf, 2011. - 598 p.
  • Perelman Ya. I. Aritmetică distractivă. - M. : Tsentrpoligraf, 2012. - ISBN 978-5-9524-4959-6 .
  • Ulin, Bengt. Obiectivele și metodele de predare a matematicii. - M . : Educația Poporului, 2007. - 335 p. — ISBN 5-87953-251-8 .
  • Conant, Levi Leonard Conceptul de număr. — New York: Macmillan & Co, 1896.
  • Huylebrouck, Dirk. Matematica în Africa Centrală înainte de colonizare . Arhivat pe 7 februarie 2012 la Wayback Machine
  • Boyer. Origini primitive // ​​O istorie a matematicii . - Leningrad: Wiley, 1968.
  • Scott JF O istorie a matematicii de la antichitate până la începutul secolului  al nouăsprezecelea . - L. : Tailor & Francis Ltd, 1958. - 266 p.
  • Istoria universală a  numerelor . - John Wiley & Sons, 2000. - 635 p. — ISBN 0471393401 .
 Istoria matematicii
Țări și epoci

Secțiuni tematice
Vezi si