Metoda dreptunghiului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 17 mai 2021; verificările necesită 3 modificări .

Metoda dreptunghiurilor este o metodă de integrare numerică a unei funcții a unei variabile, care constă în înlocuirea integrandului cu un polinom de grad zero, adică o constantă, pe fiecare segment elementar. Dacă luăm în considerare graficul integrandului, atunci metoda va consta într-un calcul aproximativ al ariei de sub grafic prin însumarea ariilor unui număr finit de dreptunghiuri, a căror lățime va fi determinată de distanța dintre integrarea învecinată corespunzătoare. noduri, iar înălțimea cu valoarea integrandului la aceste noduri. Ordinea algebrică a preciziei este 0. (Pentru formula dreptunghiurilor din mijloc, este 1).

Dacă segmentul este elementar și nu este supus unei partiții ulterioare, valoarea integralei poate fi găsită din $\stanga[a,b\dreapta]$

Formula dreptunghiurilor din stânga : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(a)(ba).$
Formula dreptunghiurilor dreptunghiulare : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox f(b)(ba).$
Formula dreptunghiurilor (medie): $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f\left({\frac {a+b}{2}}\right)(ba).$

Formule de cuadratura compusă

În cazul divizării segmentului de integrare în segmente elementare, formulele de mai sus se aplică pe fiecare dintre aceste segmente elementare între două noduri învecinate. Ca rezultat, se obțin formule de cuadratura compusă $n$

Pentru dreptunghiuri din stânga : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f(x_{i})(x_{{i+ 1 }}-x_{i}).$
Pentru dreptunghiuri drepte : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=1}}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{{i -unu}}).$
Pentru dreptunghiuri medii : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f\left({\frac {x_{i}+ x_{{i+1}}}{2}}\right)(x_{{i+1}}-x_{i})=\sum _{{i=1}}^{n}f\left( {\frac {x_{{i-1}}+x_{i}}{2}}\right)(x_{i}-x_{{i-1}}).$

Formula cu calculul valorii în punctul de mijloc dintre două noduri poate fi utilizată numai atunci când integrandul este specificat analitic sau într-un alt mod care permite calcularea valorii într-un punct arbitrar. În sarcinile în care funcția este dată de un tabel de valori, rămâne doar să se calculeze valoarea medie dintre integralele calculate prin formulele dreptunghiurilor din stânga și, respectiv, din dreapta, ceea ce duce la formula trapezoidală în cuadratură compusă .

Deoarece formulele de cuadratură compusă nu sunt altceva decât sumele incluse în definiția integralei Riemann , ele converg către valoarea exactă a integralei. În consecință, odată cu creșterea preciziei rezultatului obținut prin formule aproximative crește. $n\la\infty$ $n$

Formule compuse pentru grile uniforme

O grilă uniformă poate fi descrisă prin următorul set de formule:

x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {ba}{n)),

unde este pasul grilei. $h$

Pentru grile uniforme, formulele dreptunghiulare pot fi scrise ca următoarele formule Cotes :

Formula compusă a dreptunghiurilor din stânga : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=0}}^{{n-1}}f_{i}=h(f_{0}+ f_{1}+\ldots +f_{{n-1}}).$
Formula compusă a dreptunghiurilor dreptunghiulare : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=1}}^{{n}}f_{i}=h(f_{1}+f_{ 2}+\ldots +f_{{n}}).$
Formula compusă a dreptunghiurilor mijlocii : i.e. corespunde formulei trapezului. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+\ldots +f_{{n-1} }+{\frac {f_{{n}}}{2}}).$

Eroare de metodă

Pentru formulele dreptunghiurilor drepte și stângi, eroarea este

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.

Pentru formula dreptunghiurilor (medie)

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.

Pentru formulele compuse ale dreptunghiurilor drepte și stângi pe o grilă uniformă:

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(ba) h.

Pentru formula compusă a dreptunghiurilor:

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}( ba)h^{2}.

Exemplu de implementare

Formula dreptunghiurilor medii pentru o funcție dată analitic, scrisă în C

double InFunction ( double x ) { //Funcție integrală return sin ( x ); } dublu CalcIntegral ( dublu a , dublu b , int n ) { rezultat dublu = 0 , h = ( b - a ) / n ; pentru ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { rezultat += InFunction ( a + h / 2 + i * h ); } rezultat *= h ; returnează rezultatul ; }

Vezi și

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale