Polinomul Jones

Polinomul Jones este un invariant de nod polinom care atribuie fiecărui nod sau legături un polinom Laurent într-o variabilă formală cu coeficienți întregi. Construit de Vaughn Jones în 1984 . $t^{{1/2}}$

Definiție prin paranteza Kauffman

Pentru o legătură orientată dată , se definește un polinom auxiliar: $L$

X(L)=(-A^{3})^{{-w(L)}}\langle L\rangle

unde este numărul de răsucire a diagramei și este paranteza Kauffman . Numărul de răsucire este definit ca diferența dintre numărul de încrucișări pozitive și numărul de încrucișări negative și nu este un invariant de nod: nu este păstrat sub transformările Reidemeister de tip I. $w(L)$ $L$ $\langle L\rangle$ $L_{{+}}$ $L_{{-}}$

$X(L)$ este invariantul nodului, deoarece este invariant în toate cele trei transformări Reidemeister ale diagramei . Invarianța sub transformările de tip II și III rezultă din invarianța parantezei Kauffman și din numărul de răsucire din aceste transformări. În schimb, pentru o transformare de tip I, paranteza Kauffman este înmulțită cu , care este exact compensată de o modificare +1 sau -1 a numărului de răsucire . $L$ $-A^{{\pm 3}}$ $w(L)$

Polinomul Jones este determinat din substituția: $X(L)$

A=t^{{-1/4}}

expresia rezultată este un polinom Laurent în variabila . $t^{{1/2}}$

Definiție în termeni de reprezentări ale grupului de împletituri

Definiția inițială a lui Jones folosește algebra operatorului și noțiunea de urmă de reprezentare a împletiturii care își are originea în mecanica statistică ( modelul Potts ).

Teorema lui Alexander afirmă că orice legăturăeste o închidere a unei împletituri cufire, în legătură cu aceasta, este posibil să se definească o reprezentarea grupului de împletituricufire pe algebra Temperley-Lieb cu coeficienți de lași. Generatorul standard al împletituriieste, unde sunt generatoarele standard ale algebrei Temperley-Lieb. Pentrucuvântulîmpletitură, unde este urma Markov , rezultatul este, unde este polinomul între paranteze. $L$ $n$ $\rho$ $B_{n}$ $n$ $TL_{n}$ $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ $\delta =-A^{2}-A^{-2)$ $\sigma_i$ $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$ $1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1)$ $\sigma$ $L$ $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$ $tr$ $\langle L\rangle$ $\langle$ $\rangle$

Avantajul acestei abordări este că prin alegerea reprezentărilor analoge în alte algebre, cum ar fi reprezentarea matricelor, se poate ajunge la generalizări ale invarianților Jones (de exemplu, așa este [1] conceptul polinomului Jones -paralel). $R$ $k$

Definiție în termeni de relații schein

Polinomul Jones este definit în mod unic prin faptul că este egal cu 1 pe orice diagramă de noduri triviale și prin următoarea relație de piele :

(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})

unde , , și sunt trei diagrame de legături orientate care coincid peste tot, cu excepția unei zone mici, unde comportamentul lor este, respectiv, intersecții pozitive și negative și o trecere lină fără puncte comune: $L_{{+}}$ $L_{{-}}$ $L_{{0}}$

Proprietăți

Polinomul Jones are multe proprietăți minunate [2] [3] .

Pentru legăturile cu un număr impar de componente (în special, pentru noduri), toate puterile variabilei din polinomul Jones sunt întregi, iar pentru legăturile cu un număr par de componente, acestea sunt semiîntregi. $t$

Polinomul Jones al sumei conexe a nodurilor este egal cu produsul polinoamelor Jones ale termenilor, adică:

V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})

Polinomul Jones al unei sume deconectate de noduri este:

V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})

Polinomul Jones al unirii unei legături și a unui nod trivial este: $L$

V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)

Pentru o legătură orientată obținută dintr-o legătură orientată dată prin înlocuirea orientării unei componente cu cea opusă, avem: $L^{*_{k))$ $L$ $k$

V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)

unde este coeficientul de legătură al componentei și . $\lambda$ $k$ $Lk$

Polinomul Jones nu se modifică atunci când nodul este inversat, adică atunci când direcția de ocolire este inversată (schimbarea orientării).

Imaginea simetrică în oglindă a legăturii are un polinom Jones, care se obține prin înlocuirea cu (proprietatea este ușor de verificat folosind definiția în termenii parantezei Kauffman). $t$ $t^{{-1}}$

Dacă este un nod, atunci: $K$

V_{K}(e^{2\pi i/3})=1

Valoarea polinomului Jones pentru legătura cu numărul de componente ale legăturii la punctul 1: $L$ $p$

V_{L}(1)=(-2)^{p-1}

Polinomul Jones al nodului -toric: $(m,n)$

V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^ {n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}

Probleme deschise

În 2003, a fost construită o familie de legături non-triviale cu polinomul Jones egal cu polinomul Jones al legăturii triviale [4] , în timp ce nu se știe dacă există un nod non-trivial al cărui polinom Jones este același cu cel a nodului banal. În 2017, a fost construită o familie de noduri non-triviale cu intersecții pentru care polinomul Jones este congruent cu unitatea modulo [5] . $K_{r)$ $20\cdot 2^{r-1}+1$ $V(K_{r})$ ${\displaystyle 2^{r))$

Variații și generalizări

Teoria Chern-Simons descrie ordinea topologică în stările efectului Hall cuantic fracționar. Din punct de vedere matematic, teoria Chern-Simons este interesantă deoarece vă permite să calculați invarianții nodurilor, cum ar fi polinomul Jones.

În 2000, Mikhail Khovanov a construit un complex de lanțuri pentru noduri și zale și a arătat că omologia acestui complex este o invariantă a nodului ( omologia Khovanov ). Această teorie a omologiei este o categorizare a polinomului Jones, adică polinomul Jones este caracteristica lui Euler pentru această omologie.

Polinomul HOMFLY este un invariant similar de nod și legătură.

Note

^ Murakami J., The parallel version of polynomial invariants of links Arhivat 2 iunie 2016 la Wayback Machine , Osaka J. Math., 1989.
↑ Jones, VFR, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras Arhivat la 19 ianuarie 2022 la Wayback Machine , Bull. amer. Matematică. Soc. 12:103-111, 1987.
↑ Duzhin S. V., Chmutov S. V. Nodurile și invarianții lor , Mat. iluminismul, 1999, numărul 3, 59-93.
↑ Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Familii infinite de legături cu polinomul Jones trivial, 2003. . Preluat la 1 octombrie 2017. Arhivat din original la 6 mai 2021. (nedefinit)
↑ Eliahou S., Fromentin J. A Remarkable 20-crossing Tangle, 2017. . Preluat la 1 octombrie 2017. Arhivat din original la 5 octombrie 2021. (nedefinit)

Literatură

Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Noduri, legături, împletituri și varietăți tridimensionale . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .

Teoria nodurilor și legăturilor
Hiperbolic	Opt (4 1 ) Trei jumătăți de ture (5 2 ) Stocare (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Pereche de Percos (10 161 ) Dantela (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Inele borromee (63 2) L10a140
satelit	Compus ( Bebeluş ) Drept Suma de noduri
toric	Trivial (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentila (5 1 ) Şapte foi (7 1 ) Deconectat (02 1) Hopf (22 1) Solomon (42 1)
Invariante	alternativ Arfa invariant Număr de poduri ( 2-punți ) link brunnian Chiralitate ( reversibilă ) Numărul de filme Numărul de intersecții Vasiliev invariant Volum hiperbolic omologia lui Khovanov Gen Grup de noduri Grup de viteze Raport de transmisie Polinoame ( Alexandre Suport Kauffman HOMFLY Jones Kaufman ) Logodna dantela Nod simplu ( listă ) Numărul de segmente Număr de coloranți tricolori Numărul și sarcina dezlegarii
Notație și operații	Notație Alexander–Briggs Notație Conway Notație Docker Mutaţie Mișcarea Reidemeister Raportul Skene
Alte	teorema lui Alexandru nod Berge teoria împletiturii Sfera Conway Finalizarea nodului Nod dublu torus Nod stratificat Bandă A tăia Suma de noduri ipotezele lui Tate Răsucit Sălbatic Numărul de răsucire Suprafata Seifert