Set Mandelbrot

Mulțimea Mandelbrot este mulțimea unor astfel de puncte c pe planul complex , pentru care relația de recurență la definește o secvență mărginită. Cu alte cuvinte, aceasta este mulțimea unui astfel de c pentru care există un R real astfel încât inegalitatea este valabilă pentru toate numerele întregi pozitive n . Definiție și nume datorate lui Duadi $z_{{n+1}}={z_{n}}^{2}+c$ $z_{0}=0$ $|z_{n}|<R$ , după matematicianul Benoit Mandelbrot [1] .

Mulțimea Mandelbrot este unul dintre cei mai faimoși fractali , tot în afara matematicii, datorită redărilor sale de culoare . Fragmentele sale nu sunt strict asemănătoare cu setul original, dar cu o creștere multiplă, anumite părți sunt din ce în ce mai asemănătoare între ele.

Valoarea exactă a ariei setului Mandelbrot este necunoscută. Pentru 2012, a fost estimat ca 1,506 591 884 9 ± 2,8 × 10 −9 . Coordonata exactă a centrului de masă (situat pe axa x) este, de asemenea, necunoscută și este estimată ca −0,286 768 420 48 ± 3,35×10 −9 [2] .

Definiție extinsă

Secvența de mai sus poate fi extinsă pentru fiecare punct din planul complex după cum urmează: $c$

{\begin{aligned}c&=x+i\cdot y,\\Z_{0}&=0,\\Z_{1}&=Z_{0}^{2}+c=\\& =x+iy\\Z_{2}&=Z_{1}^{2}+c=\\&=(x+iy)^{2}+x+iy=\\&=x^{2} +2ixy-y^{2}+x+iy=\\&=x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i,\\Z_{3}&=Z_{2}^ {2}+c=\ldots \end{aliniat}}

si asa mai departe.

Dacă reformulăm aceste expresii ca o secvență iterativă de valori ale coordonatelor planului complex , adică înlocuind cu , și cu , obținem: $(X y)$ $z_n$ $x_{n}+i\cdot y_{n}$ $c$ $x_{0}+i\cdot y_{0}$

x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+x_{0},

y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+y_{0}.

Vizual, un număr infinit de figuri elementare pot fi distinse în interiorul setului Mandelbrot, iar cel mai mare din centru este un cardioid . Există, de asemenea, un set de ovale care ating cardioidul, a căror dimensiune scade treptat, tinzând spre zero. Fiecare dintre aceste ovale are propriul său set de ovale mai mici, al căror diametru tinde și spre zero și așa mai departe.Acest proces continuă la nesfârșit, formând un fractal. De asemenea, este important ca aceste procese de ramificare a figurilor să nu epuizeze complet setul Mandelbrot: dacă luăm în considerare „ramuri” suplimentare cu o mărire crescândă, atunci putem vedea cardioidele și cercurile lor care nu sunt conectate cu figura principală. Cea mai mare cifră (vizibilă când se ia în considerare setul principal) dintre ele se află în regiunea de la -1,78 la -1,75 pe axa negativă a valorilor reale.

Istoria setului Mandelbrot

Mulțimea Mandelbrot a fost descrisă pentru prima dată în 1905 de Pierre Fatou ( fr. Pierre Fatou ), un matematician francez care a lucrat în domeniul dinamicii analitice a numerelor complexe . Fatou a studiat procesele recursive ale formei

z\la z^{2}+c.

Începând cu un punct din planul complex, puteți obține puncte noi aplicând succesiv această formulă acestora. O astfel de succesiune de puncte se numește orbită în transformare . $z_{0}$ $z_{0}$ $z\la z^{2}+c$

Fatou a descoperit că orbita pentru condiția inițială sub această transformare arată un comportament destul de complex și interesant. Există un număr infinit de astfel de transformări - câte una pentru fiecare valoare a lui c . În acele zile, încă nu existau computere, iar Fatou, desigur, nu putea construi orbitele tuturor punctelor avionului, trebuia să facă totul manual. Pe baza calculelor sale, a demonstrat că orbita unui punct situat la o distanță mai mare de 2 față de origine merge întotdeauna la infinit. $z_{0}=0$

Fatou nu a văzut niciodată imaginile pe care le cunoaștem acum drept imagini ale setului Mandelbrot, deoarece numărul necesar de calcule nu poate fi făcut manual. Profesorul Benoit Mandelbrot a fost primul care a folosit un computer pentru a vizualiza un set.

Fractalii au fost descriși de Mandelbrot în 1975 în cartea sa Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (Obiecte fractale: formă, aleatorie și dimensiune). În această carte, Mandelbrot a folosit pentru prima dată termenul „fractal” pentru a se referi la un fenomen matematic care prezintă un comportament atât de imprevizibil și surprinzător. Aceste fenomene s-au născut atunci când se folosește un algoritm recursiv pentru a obține orice curbă sau set. Setul Mandelbrot este un astfel de fenomen, numit după cercetătorul său.

În 1978, un fractal a fost definit și desenat de Robert W. Brooks și Peter Matelsky ca parte a unui studiu al grupurilor Klein [3] . La 1 martie 1980, Benoit Mandelbrot a fost primul care a văzut vizualizări ale decorului [4] . Studiul matematic al mulțimii Mandelbrot a început cu munca matematicienilor Adrien Douady și John H. Hubbard, care au stabilit multe dintre proprietățile sale fundamentale [1] .

Setul Mandelbrot a devenit cunoscut la mijlocul anilor 1980 în cadrul demonstrațiilor de grafică pe computer, când calculatoarele personale au devenit suficient de puternice pentru a construi și afișa setul la rezoluție înaltă [5] .

Construirea unui set

Este ușor de demonstrat că, de îndată ce modulul este mai mare de 2 (sau, în ceea ce privește părțile reale și imaginare, ), toate modulele ulterioare ale secvenței vor tinde spre infinit. În cazul | c | > 2 acest lucru poate fi demonstrat folosind metoda inducției matematice . Când | c | > 2 , punctul c cu siguranță nu aparține mulțimii Mandelbrot, care poate fi dedusă prin inducție matematică folosind egalitate (deși în acest caz poate exista altul pentru care șirul corespunzătoare este mărginit în valoare absolută, iar pentru unele n inegalitatea tine ). $z_n$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $z_{0}=0$ $z_{0}$ $|z_{n}|>2$

Comparația cu acest număr (în literatura engleză se numește „ bail-out ”) vă permite să selectați puncte care nu se încadrează în setul. Pentru punctele aflate în interiorul setului, succesiunea de iterații nu va forma o tendință a distanței de la noul punct la infinit pentru orice număr de iterații, astfel încât după un anumit număr de iterații, calculul poate fi finalizat. Numărul maxim de iterații după care numărul este considerat a fi în interiorul setului este pur și simplu setat ca condiție inițială pentru construcție. $|z_{n}|$ $|z_{0}|$

Imaginea obținută în acest fel este doar o aproximare față de mulțimea reală Mandelbrot. Rezultate mai bune pot fi obținute prin creșterea numărului maxim de iterații, dar și timpul de calcul crește proporțional.

Opțiuni de culoare

Strict matematic, imaginile setului Mandelbrot și Julia ar trebui să fie alb-negru - un punct fie aparține mulțimii, fie nu. Dar au fost propuse opțiuni pentru a face imaginile color. Cea mai obișnuită modalitate este de a colora punctele din apropierea limitei exterioare a mulțimii, în funcție de numărul de iterații, după care devine evident că punctul nu aparține mulțimii (după care criteriul începe să fie îndeplinit ). $|z_{n}|>2$

Procedura pentru a determina dacă un punct aparține unui set (vopsit în mod tradițional în negru) sau nu (vopsit într-o culoare în funcție de „rata de îndepărtare”) este următoarea: la fiecare iterație, se calculează distanța curentă - valoarea modulo , care este apoi comparat cu „criteriul infinitului” (de obicei valoarea este luată egală cu 2). Puteți reduce semnificativ numărul de calcule prin refuzul de a calcula rădăcina pătrată - verificați nu , dar . $z_{0}$ $|z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4$

Astfel, dacă , atunci punctul este vopsit în culoarea pentru care a fost selectat anterior - numărul iterației la care a fost îndeplinit criteriul (poate servi ca index în tabelul de culori sau poate fi folosit ca parametru într-un mod mai complex). algoritm). Dacă criteriul nu este atins cu numărul maxim de iterații pentru această construcție, atunci punctul este considerat a aparține mulțimii și culoarea sa este neagră. $|z_{n}|^{2}\geqslant 4$ $z_{0}$ $n$

Punctele din apropierea limitei unui set au nevoie de obicei de mai multe iterații pentru a ajunge la criteriul de non-membri. Prin urmare, astfel de zone sunt procesate mult mai mult.

Optimizare

Una dintre modalitățile de a reduce cantitatea de calcule atunci când se construiește o imagine generală a setului este de a verifica dacă punctul se încadrează în regiunea cardioidului principal . Formula pentru un cardioid în coordonate polare este următoarea:

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Astfel, pentru un punct este necesar să se calculeze $(X y)$

\rho ={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}},

\theta =\operatorname {atn} _{2}\left(y,x-{\frac {1}{4}}\right),

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Dacă , atunci punctul se încadrează în interiorul setului și este vopsit în negru, iar calculele iterative pot fi omise. $\rho \leqslant \rho _{c)$ $(X y)$

În practică, cea mai mare reducere a volumului de calcule este dată de trasarea limitei: dacă există o curbă închisă care nu intersectează axa absciselor, fiecare punct al căruia depășește limita de salvare pentru același număr de iterații sau , dimpotrivă, aparține mulțimii Mandelbrot, atunci orice punct din interiorul acestei curbe va avea aceeași proprietate și, prin urmare, întreaga zonă din interiorul graniței este umplută cu aceeași culoare.

Relația cu setul Julia

Setul Mandelbrot a fost construit inițial ca un catalog de seturi Julia : fiecare punct din planul complex are propriul său set Julia. Punctele care aparțin mulțimii Mandelbrot corespund mulțimilor Julia conectate și punctele care nu aparțin celor deconectate .

Din aceasta rezultă clar că variantele interesante ale mulțimii Julia corespund punctelor situate la limita mulțimii Mandelbrot. Punctele adânci în interior formează forme geometrice simple, în timp ce cele exterioare arată ca praful care înconjoară pete colorate. Unele programe, cum ar fi Fractint, permit utilizatorului să specifice pe ecran punctul pentru care trebuie construit setul Julia corespunzător, facilitând găsirea de imagini frumoase.

Mulțimea Mandelbrot în sine conține structuri asemănătoare mulțimii Julia: pentru orice c , regiunea mulțimii Mandelbrot din jurul lui c seamănă cu centrul mulțimii Julia cu parametrul c . Dacă creștem mult setul Mandelbrot la punctul limită c și facem același lucru cu setul Julia pentru aceeași valoare a lui c și în același punct, atunci modelele vor tinde asimptotic unul spre celălalt cu măriri crescânde.

Variații ale setului Mandelbrot

Adesea, sub denumirea de „mult Mandelbrot” se înțelege doar setul descris mai sus. Cu toate acestea, orice funcție a unei variabile complexe are o mulțime Mandelbrot corespunzătoare, care este, de asemenea, caracterizată prin prezența sau absența unei mulțimi Julia conectate. De exemplu, puteți pune f c ( z ) = z 3 + c . Apoi, pentru fiecare valoare a lui c , se verifică conexiunea mulțimii Julia a funcției f c și, dacă există o conexiune, se presupune că c aparține mulțimii Mandelbrot. În cazul descris, conectivitatea poate fi verificată în același mod ca pentru f c ( z ) = z 2 + c .

Aceste afirmații pot fi, de asemenea, generalizate la mulțimi Julia definite de mai mult de două numere. De exemplu, mulțimea Julia definită de trei numere reale are o mulțime Mandelbrot tridimensională corespunzătoare.

Sunt de asemenea luate în considerare variațiile multidimensionale ale mulțimii Mandelbrot. Deci, analogul tridimensional a fost numit becul lui Mandelbrot , deși analogii clasici pe numere complexe există doar într-o dimensiune egală cu puterea lui 2.

Aplicarea setului Mandelbrot

Setul Mandelbrot este folosit pentru a analiza apariția turbulențelor în fizica și termodinamica plasmei, dezvoltarea bifurcațiilor etc.

Aplicație în artă

Găsirea unor fragmente frumoase de versiuni colorate ale setului Mandelbrot este un hobby interesant pentru atât de mulți oameni. Ei colectează colecții de astfel de imagini și fiecare dintre ele poate fi descrisă printr-un număr mic de parametri, de exemplu, pur și simplu coordonatele centrului. Un element de creativitate nu este doar căutarea coordonatelor, ci și selecția unui tabel de culori, legându-l de numărul de iterații efectuate, precum și de numărul maxim de iterații efectuate.

Coordonatele centrului:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
lățime 0,00000000374
Coordonatele centrului:
−1,88488933694469,
0,00000000081387,
lățime 0,00000000000024
Coordonatele centrului:
−0,777807810193171,
0,131645108003206,
lățime 0,0000000000000032
Coordonatele centrului:
−0,56267837374,
0,65679461735,
lățime 0,000000064

Există un număr mare de programe pentru desenarea fractalilor, dar, în ciuda acestui fapt, mulți oameni își scriu propriile versiuni pentru mai multă flexibilitate atunci când experimentează, de exemplu, pentru a crea imagini animate.

Coordonatele centrului:
−0,56267837374,
0,65679461735,
lățime 0,000000064
Coordonatele centrului:
−1,96680095,
0,00000478,
lățime 0,00000014
Coordonatele centrului:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
lățime 0,00000000374

Fapte matematice despre mulțimea Mandelbrot

Davdy și Hubbard au dovedit că setul Mandelbrot este conectat , deși acest lucru este greu de crezut când te uiți la sistemele complicate de poduri care leagă diferitele sale părți. Conexiunea mulțimii Mandelbrot rezultă din faptul că este intersecția mulțimilor compacte conexate imbricate.

Cu toate acestea, nu se știe dacă este conectat local . Această presupunere binecunoscută în dinamica complexă a fost numită MLC ( Mandelbrot locally connected ) . Mulți matematicieni fac eforturi pentru a dovedi acest lucru. Jean-Christophe Yoccoz a demonstrat că conjectura este adevărată în toate punctele cu renormalizare finită , apoi mulți alți matematicieni au demonstrat validitatea conjecturei în multe puncte separate ale mulțimii Mandelbrot, dar conjectura generală rămâne nedovedită.

Mitsuhiro Shishikura a demonstrat că dimensiunea Hausdorff a graniței mulțimii Mandelbrot este 2. Dar rămâne întrebarea dacă granița mulțimii Mandelbrot are o măsură Lebesgue pozitivă pe plan.

Numărul de iterații pentru orice punct din construcția mulțimii este foarte apropiat de logaritmul potențialului electric care apare atunci când mulțimea Mandelbrot este încărcată. Mai exact, limita coincide cu acest potențial. $\ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big )}+{\text{const)}$

Literatură

Benoit Mandelbrot , Richard L. Hudson. Piețe (Ne)ascultătoare: O revoluție fractală în finanțe = The Misbehavior of Markets. - M . : „Williams” , 2005. - S. 400. - ISBN 5-8459-0922-8 .

Vezi și

scoica Mandelbrot
Mandelbrot setat pe wikibook (cu exemple de programe în diferite limbi)

Note

↑ 1 2 Adrien Douady și John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
↑ Pixel Counting Arhivat 10 august 2019 la Wayback Machine .
↑ Robert Brooks și Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C) , în Irwin Kra. Suprafețele Riemann și subiecte înrudite: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference / Irwin Kra. - Princeton University Press , 1981. - ISBN 0-691-08267-7 . Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 11 octombrie 2019. Arhivat din original la 28 iulie 2019. (nedefinit)
↑ R. P. Taylor și J. C. Sprott. Fractali biofili și călătoria vizuală a economizoarelor de ecran organice . Dinamica neliniară, psihologie și științe ale vieții, voi. 12, nr. 1 . Societatea pentru Teoria Haosului în Psihologie și Științe ale Vieții (2008). Consultat la 1 ianuarie 2009. Arhivat din original la 28 august 2008. (nedefinit)
↑ Pountain, Dick. Turboalimentare Mandelbrot (neopr.) // Byte . - 1986. - Septembrie.

Link -uri

Video: 10 minute de scufundare uluitoare în platoul Mandelbrot
Mandelbrot și Julia setează la FractalWorld
Benoit Mandelbrot: Fractali și arta rugozității , înregistrare TED talk
Mandelbrot 4.0 este un program gratuit (sub licență publică GNU ) pentru crearea seturilor Mandelbrot și Julia
QuickMAN v.1.10 program gratuit (sub licența publică GNU 2 ) pentru crearea setului Mandelbrot (engleză)
Vizualizare JavaScript interactivă a setului Mandelbrot

Dicționare și enciclopedii	mare danez Britannica (online) Brockhaus

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului