Număr pentagonal

Numerele pentagonale sunt una dintre clasele de numere poligonale clasice . Secvența de numere pentagonale are forma (secvența A000326 în OEIS ):

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Formula generală pentru al-lea număr pentagonal în ordine este: $n$

P_{n}^{(5)}={\frac {3n^{2}-n}{2))

Definiție

Numerele pentagonale, ca toate celelalte numere unghiulare clasice, pot fi definite ca sume parțiale ale unei progresii aritmetice care începe de la 1, iar diferența sa pentru numerele pentagonale este : $k$ $k-2=3$

1+4+7+10+\dots

De asemenea, se poate defini al -lea număr pentagonal ca suma numerelor naturale consecutive : $n$

P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\dots +(2n-1)

Suma celui --lea număr pătrat cu --lea număr triunghiular dă --lea număr pentagonal: $n$ $(n-1)$ $n$

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Această teoremă a fost publicată pentru prima dată de Nicomachus („Introducere în aritmetică”, secolul II) [1] .

În cele din urmă, un alt mod de a defini un număr pentagonal este recursiv :

P_{1}^{(5)}=1;\quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n- 1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3

Proprietăți

Numerele pentagonale sunt strâns legate de cele triunghiulare [1] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Dacă specificați pentru o secvență mai generală în formulă : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots

atunci obținem numere pentagonale generalizate :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... ( secvența OEIS A001318 )

Leonhard Euler a descoperit numere pentagonale generalizate în următoarea identitate :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Puterile din partea dreaptă a identității formează o succesiune de numere pentagonale generalizate [2] . $X$

Testarea unui număr pentagonal

Sarcina . Aflați dacă numărul natural dat este pentagonal. $x>2$

Soluţie. Să calculăm valoarea expresiei:

n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.

$X$ este un număr pentagonal dacă și numai dacă este un număr întreg, iar numărul din succesiunea numerelor pentagonale este egal cu $n$ $X$ $n.$

Numere pătrate pentagonale

Există numere care sunt atât pătrate , cât și pentagonale [3] :

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128691785 ( OE5869785 )

Note

↑ 12 Dickson , 2005 , p. 2.
↑ Weinstein F.V. Partiționarea numerelor. // Jurnal „Quantum”. - 1988. - Nr. 11.
^ Weisstein , Eric W. „ Numărul pătrat pentagonal arhivat la 13 noiembrie 2017 la Wayback Machine ”. De la MathWorld --O resursă web Wolfram.

Literatură

Deza E., Deza M. Numere curly. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Polygonal. numere piramidale și figurate //Istoria teoriei numerelor . - New York : Dover, 2005. - Vol. 2: Analiza diofantină. - P. 22-23.

Link -uri

Numere ondulate . Grupul de edituri OSNOVA. Data accesului: 10 februarie 2021. (nedefinit)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare