Lista formulelor de cuadratura

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 ianuarie 2019; verificările necesită 9 modificări .

Acest articol oferă o listă cu diverse formule de cuadratura pentru integrarea numerică .

Notație

În general, formula de integrare numerică se scrie după cum urmează:

\int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}({\widetilde {w_{i}}}f( x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _ {i})))}

$f(x)$ este o funcție integrabilă;
$w_{i)$ — ponderi de integrare;
$\xi$ — sistemul de coordonate al elementului principal;
$J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n}) }}$ este matricea Jacobi pentru trecerea la elementul principal.

Datorită aditivității integralei , ariile simple ( triunghi , patrulater , tetraedru etc.) vor fi considerate ca aria de integrare , cu geometrie complexă, aria poate fi reprezentată ca unire a celor simple și se calculează integrala peste ele sau utilizați o spline pentru a reprezenta maparea la elementul principal. $\Omega$

În articol, variabilele vor fi folosite pentru a desemna coordonatele naturale și pentru a desemna coordonatele elementului principal - . $x,y,z$ $\xi ,\eta ,\zeta$

Integrală unidimensională

Integrarea unidimensională este întotdeauna integrare pe un segment.

Zona de integrare: segment ; $[x_{0},x_{1}]$
Element principal: tăiat ; $[-1,1]$
Salt la elementul principal: ; $\xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$
Trecerea de la elementul principal: ; $x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0)$
Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}$

Număr	Numărul de puncte	Ordinea integrării	$\xi$	$w$	În plus
unu	unu	unu	$0$	$2$	Metoda dreptunghiului
2	2	unu	$-unu$	$unu$	Metoda trapezoidală
2	2	unu	$unu$	$unu$	Metoda trapezoidală
3	2	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$unu$	Metoda Gauss -2
3	2	3	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$	Metoda Gauss -2
patru	3	3	$-unu$	${\frac {1}{3))$	Metoda Simpson
			$0$	${\frac {4}{3}}$
			$unu$	${\frac {1}{3))$
5	3	5	$-{\sqrt {\frac {3}{5)}}$	${\frac {5}{9}}$	Metoda Gauss-3
			$0$	${\frac {8}{9}}$
			${\sqrt {\frac {3}{5)}}$	${\frac {5}{9}}$
6	patru	7	$-{\sqrt {{\frac {3}{7}} - {\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	Metoda Gauss-4
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
			$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
7	5	9	$0$	${\frac {128}{225}}$	metoda Gauss-5
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

Integrală bidimensională

Element principal pătrat

Zona de integrare: dreptunghi $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]$
Element principal: pătrat $[-1,1]\times [-1,1]$
Comutați la elementul principal:

\xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

;

Tranziția de la elementul principal:

x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}

y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0)

;

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4)}$

Aceste formule de integrare pot fi folosite și atunci când aria de integrare este un patrulater convex, dar atunci formulele de tranziție la elementul principal (și invers) nu vor avea o formă atât de simplă. Puteți obține o expresie pentru tranziție folosind un polinom de interpolare .
Multe dintre formulele de integrare pătrată pot fi obținute ca o combinație de formule pentru un segment: toate perechile posibile de puncte unidimensionale sunt luate ca puncte de integrare, iar produsele corespunzătoare ale greutăților de integrare sunt luate ca greutăți. Exemple de astfel de metode din tabelul de mai jos sunt metoda dreptunghiului, metoda trapezului și metoda Gauss-2.

Număr	Numărul de puncte	Ordinea integrării	$\xi$	$\eta$	$w$	În plus
unu	unu	unu	$0$	$0$	$patru$	Metoda dreptunghiului (metoda medie)
2	patru	unu	$-unu$	$-unu$	$unu$	Metoda trapezoidală
			$-unu$	$unu$	$unu$
			$unu$	$-unu$	$unu$
			$unu$	$unu$	$unu$
3	patru	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$unu$	Metoda Gauss-2
			$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$unu$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$
patru	12	7	$-c$	$0$	$w_{c)$	$a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $c={\sqrt {\frac {6}{7}}}$ $w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{c}={\frac {98}{405}}$ Numărul de noduri este minim [1] .
			$c$	$0$	$w_{c)$
			$0$	$-c$	$w_{c)$
			$0$	$c$	$w_{c)$
			$-a$	$-A$	$w_a$
			$A$	$-A$	$w_a$
			$-a$	$A$	$w_a$
			$A$	$A$	$w_a$
			$-b$	$-b$	$w_{b)$
			$b$	$-b$	$w_{b)$
			$-b$	$b$	$w_{b)$
			$b$	$b$	$w_{b)$

Element principal triunghiular

Aria de integrare: triunghi format din vârfuri ; $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$
Element principal: un triunghi format din vârfuri . $(0,0),(1,0),(0,1)$

Pentru a merge la elementul principal, se folosesc coordonatele baricentrice (coordonatele L), notate cu . $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3)$

\lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3)

Pentru a calcula coeficienții coordonatelor L, se utilizează matricea : $D$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix))

Matricea coeficienților este inversă cu : . $D$ $\mathrm {A} =D^{-1)$

Salt la elementul principal:

\xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)

\eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)

Tranziția de la elementul principal:

{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix} }

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi,\eta ))=\mathrm {det} (D)$

Număr	Numărul de puncte	Ordinea integrării	$\xi$	$\eta$	$w$	În plus
unu	unu	unu	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	${\frac {1}{2))$	Metoda medie
2	3	2	${\frac {1}{2)}$	$0$	${\frac {1}{6}}$	-
			$0$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {1}{2)}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$
2	3	2	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	Metoda Gauss-3
			${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3))$	${\frac {1}{6}}$
patru	patru	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	$-{\frac {9}{32}}$	Metoda Gauss-4
			${\frac {3}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5))$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
5	7	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	${\frac {9}{40}}$	Newton - metoda Cotes _
			${\frac {1}{2)}$	$0$	${\frac {1}{15}}$
			${\frac {1}{2)}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{15}}$
			$0$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{15}}$
			$unu$	$0$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$unu$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$0$	${\frac {1}{40}}$

Integrală tridimensională

Element principal cubic

Zona de integrare: paralelipiped $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]$
Element principal: Cub $[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$
Comutați la elementul principal:

\xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

\zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1

Tranziția de la elementul principal:

x(\xi,\eta,\zeta)={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0)

y(\xi,\eta,\zeta)={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0)

;

z(\xi,\eta,\zeta)={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2))+z_{0)

;

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi,\eta,\zeta))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_ {1}-z_{0})}{8}}$

La fel ca și pentru un pătrat, un cub poate fi folosit ca element principal pentru un hexagon arbitrar [ clarify ] , dar apoi tranziția și formulele iacobiene vor deveni mai complicate.
De asemenea, în mod similar unui pătrat, multe formule de integrare a cubului pot fi obținute din formulele de integrare a segmentelor, coordonatele nodurilor sunt toate posibile triple de coordonate ale formulei unidimensionale, iar ponderile de integrare sunt produsul greutăților corespunzătoare ale formulă unidimensională.

Număr	Numărul de puncte	Ordinea integrării	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	În plus
unu	unu	unu	$0$	$0$	$0$	$opt$	Metoda dreptunghiului (metoda medie)
2	opt	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$unu$	Metoda Gauss-2
			$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$
			$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$unu$
			$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$unu$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3)}}$	$unu$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$unu$
3	paisprezece	5	$-{\sqrt {\frac {19}{30}})$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$	Numărul de noduri din clasa formulelor cu un ordin de aproximare de 5 și care nu conțin originea este minim. [2]
			${\sqrt {\frac {19}{30)}}$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$-{\sqrt {\frac {19}{30}})$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	${\sqrt {\frac {19}{30)}}$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	$-{\sqrt {\frac {19}{30}})$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	${\sqrt {\frac {19}{30)}}$	${\frac {320}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\sqrt {\frac {19}{33)}}$	${\frac {121}{361}}$

Deoarece formulele de integrare de ordin înalt conțin multe puncte, le prezentăm separat.

Comanda: 7, număr de puncte: 34

Numărul punctului	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	În plus
unu	$A$	$0$	$0$	$w_{1}$	$a={\sqrt {\frac {6}{7}}}$ , , , , , , $b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $w_{1}={\frac {1078}{3645}}$ $w_{2}={\frac {343}{3645}}$ $w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$ $w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$
2	$-A$	$0$	$0$	$w_{1}$
3	$0$	$A$	$0$	$w_{1}$
patru	$0$	$-A$	$0$	$w_{1}$
5	$0$	$0$	$A$	$w_{1}$
6	$0$	$0$	$-A$	$w_{1}$
7	$A$	$A$	$0$	$w_{2)$
opt	$A$	$-A$	$0$	$w_{2)$
9	$-A$	$A$	$0$	$w_{2)$
zece	$-A$	$-A$	$0$	$w_{2)$
unsprezece	$A$	$0$	$A$	$w_{2)$
12	$A$	$0$	$-A$	$w_{2)$
13	$-A$	$0$	$A$	$w_{2)$
paisprezece	$-A$	$0$	$-A$	$w_{2)$
cincisprezece	$0$	$A$	$A$	$w_{2)$
16	$0$	$A$	$-A$	$w_{2)$
17	$0$	$-A$	$A$	$w_{2)$
optsprezece	$0$	$-A$	$-A$	$w_{2)$
19	$b$	$b$	$b$	$w_{3)$
douăzeci	$b$	$b$	$-b$	$w_{3)$
21	$b$	$-b$	$b$	$w_{3)$
22	$b$	$-b$	$-b$	$w_{3)$
23	$-b$	$b$	$b$	$w_{3)$
24	$-b$	$b$	$-b$	$w_{3)$
25	$-b$	$-b$	$b$	$w_{3)$
26	$-b$	$-b$	$-b$	$w_{3)$
27	$c$	$c$	$c$	$w_{4}$
28	$c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
29	$c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
treizeci	$c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$
31	$-c$	$c$	$c$	$w_{4}$
32	$-c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
33	$-c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
34	$-c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$

Element principal tetraedric

Zona de integrare: tetraedru format din vârfuri . $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{ 3}),(x_{4},y_{4},z_{4})$
Element principal: tetraedru format din vârfuri . $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$

În mod similar cu triunghiul, coordonatele L ale tetraedrului sunt folosite pentru a merge la elementul principal, notat cu : $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4)$

\lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4)

Matricea coeficienților este definită ca: , unde $\mathrm {A} =D^{-1)$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1 }&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}

Comutați la elementul principal:

\xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)

\eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)

\zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)

Tranziția de la elementul principal:

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi - \eta -\zeta \end{pmatrix}}

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi,\eta,\zeta ))=\mathrm {det} (D)$

Număr	Numărul de puncte	Ordinea integrării	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	În plus
unu	unu	unu	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{6}}$	Metoda medie
2	patru	2	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$	Metoda Gauss-4
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
3	5	3	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	$-{\frac {2}{15}}$
			${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
patru	unsprezece	patru	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	$-{\frac {74}{5625}}$	Metoda Gauss-11
			${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
5	paisprezece	5	$a$	$a$	$a$	$A$	$A,\B,\C,\a,\b,\c$ se determină din următoarele ecuații: ${\begin{cases}t={\frac {4}{27}}\left(71-4{\sqrt {79}}\sin \left({\frac {1}{3}}\ stânga[{\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {27{\sqrt {10815}}}{67}}\right)\right]\right)\right)\\ a={\frac {1+\alpha }{4)),\ b={\frac {1+\beta }{4)),\ c={\frac {1+2\gamma }{4)) \\\gamma ={\sqrt {1/t)),\ C=t^{2}/7!,\ \alpha >0\\A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}= (1-t/21)/5!\\A\alpha ^{3}+B\beta ^{3}=-2/6!\\A\alpha ^{4}+B\beta ^{4} =10/7!\\A\alpha ^{5}+B\beta ^{5}=-6/7!\\\end{cases}}$ $A\aproximativ 0,01878132095300264180$ $B\aproximativ 0,01224884051939365826$ $C\aproximativ 0,00709100346284691107$ $a\aproximativ 0,31088591926330060980$ $b\aproximativ 0,09273525031089122640$ $c\aproximativ 0,45449629587435035051$
			$1-3a$	$a$	$a$	$A$
			$a$	$1-3a$	$a$	$A$
			$a$	$a$	$1-3a$	$A$
			$b$	$b$	$b$	$B$
			$1-3b$	$b$	$b$	$B$
			$b$	$1-3b$	$b$	$B$
			$b$	$b$	$1-3b$	$B$
			${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$c$	$C$
			$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$C$
			$c$	$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$
			${\frac {1}{2}}-c$	${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$C$
			${\frac {1}{2}}-c$	$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$
			$c$	${\frac {1}{2}}-c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$

Note

↑ Mysovskikh, 1981 , p. 285.
↑ Mysovskikh, 1981 , p. 280.

Literatură

Mysovskikh IP Interpolare formule de cubatură. - Moscova: Nauka, 1981. - S. 336.

Link -uri

Integrare numerică peste domeniul triunghiular (engleză) (link nu este disponibil) . — Integrare peste un element triunghiular. Consultat la 12 iunie 2014. Arhivat din original la 14 iulie 2014.
Integrare numerică peste domeniul tetraedric (engleză) (link nu este disponibil) . — Integrare peste un element tetraedric. Consultat la 12 iunie 2014. Arhivat din original la 14 iulie 2014.

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale