Teorema Radon-Nikodim

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 iunie 2020; verificările necesită 3 modificări .

Teorema Radon-Nikodim în analiza funcțională și disciplinele conexe descrie forma generală a unei măsuri care este absolut continuă în raport cu o altă măsură.

Numit după Otto Nikodim și Johann Radon .

Formulare

Fie un spațiu cu măsură . Să presupunem că - este -finit . Dacă măsura este absolut continuă în raport cu , atunci există o funcție măsurabilă astfel încât $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $\mu$ $\sigma$ $\nu \colon {\mathcal {F}}\to {\mathbb {R}}$ $\mu$ $(\nu\ll\mu )$ $f\colon X\la \mathbb {R}$

\nu (A)=\int \limits _{{A}}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F)),

unde integrala este înțeleasă în sensul Lebesgue .

Cu alte cuvinte, dacă o funcție cu valoare reală are proprietățile: [1] $A\mapsto \nu (A)$

$\nu$ definit pe algebra Borel . $S_{\mu )$
$\nu$ aditiv; adică pentru orice descompunere a unei mulțimi în mulțimi , egalitatea $A=\bigcup _{n}A_{n}$ $A\in S_{\mu )$ $A_{n}\in S_{\mu )$ $\nu (A)=\sum _{n}\nu (A_{n})$
$\nu$ absolut continuu; adică rezultă din . $\mu (A)=0$ $\nu (A)=0$

atunci poate fi reprezentat ca

\nu (A)=\int _{A}f(x)d\mu ,

unde integrala este înțeleasă în sensul Lebesgue .

Concepte înrudite

Funcția a cărei existență este garantată de teorema Radon-Nikodim se numește derivată Radon-Nikodim a măsurii în raport cu măsura . Scrie: $f$ $\nu$ $\mu$ $f={\frac {d\nu }{d\mu }}.$
- Dacă este un
spațiu vectorial -dimensional cu o σ-algebră Borel , este distribuția unei variabile aleatoare și este măsura Lebesgue pe , atunci derivata Radon-Nikodim a măsurii în raport cu măsura se numește densitatea de distribuție a variabilă aleatoare . $(X,\;{\mathcal {F}})=\left({\mathbb {R}}^{k},\;{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}^{k} )\dreapta)$ $k$ $\nu ={\mathbb {P}}^{{X}}$ $X$ $\mu=m$ ${\mathbb {R}}^{k}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $m$ $X$

Proprietăți

Fie -măsuri finite definite pe același spațiu măsurabil . Atunci dacă și , atunci $\lambda ,\;\mu ,\;\nu$ $\sigma$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \ll \lambda$ $\nu \ll \lambda$

{\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.

Lasă . Apoi $\nu \ll \mu \ll \lambda$

{\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}

împlinit – aproape peste tot.

\lambda

Fie și să fie o funcție măsurabilă integrabilă în raport cu măsura , atunci $\mu \ll \lambda$ $g\colon X\la {\mathbb {R}}$ $\mu$

\int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).

Lasă și . Apoi $\mu \ll \nu$ $\nu \ll \mu$

{\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{{-1}}.

Să fie taxa . Apoi $\nu$

{d|\nu| \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.

Variații și generalizări

O teoremă similară este valabilă pentru taxe , adică pentru măsuri cu semne alternante.

Note

↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. Problema II. Măsură, integrală Lebesgue, spațiu Hilbert. - M., Universitatea de Stat din Moscova, 1960. - p. 74-75

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare