Universul von Neumann

Universul von Neumann ( ierarhia multimilor dupa von Neumann ) este o clasa formata din multimi ereditare bine intemeiate ; o astfel de colecție, formalizată de teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel (ZFC), este adesea folosită ca interpretare sau justificare a axiomelor ZFC. Notația standard este . $V$

Rangul unei mulțimi bine fundamentate este definit inductiv ca cel mai mic număr ordinal mai mare decât rangul oricărui element din această mulțime [1] . În special, rangul mulțimii goale este egal cu zero, iar rangul oricărui număr ordinal este egal cu el însuși. Mulțimile incluse în clasă , datorită împărțirii în rânduri, formează o ierarhie transfinită, care este numită și ierarhia mulțimi cumulative . $V$

Istorie

În 1982, Gregory Moore a afirmat că ierarhia de tip cumulativ, cunoscută și sub numele de universul von Neumann, a fost atribuită în mod eronat lui von Neumann [2] deoarece a fost menționată pentru prima dată într-o publicație din 1930 a lui Ernst Zermelo [3] .

Existența și unicitatea unei definiții transfinit recursive a mulțimilor au fost dovedite de von Neumann în 1928 pentru cazul teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel [4] , precum și a propriei teorii a mulțimilor (care a devenit ulterior baza teoriei NBG ). [5] Cu toate acestea, în niciuna dintre aceste lucrări nu a folosit metoda sa recursivă transfinită pentru a construi o colecție universală a tuturor mulțimilor. Descrierile universului von Neumann de către Bernays [6] și Mendelssohn [7] îi atribuie lui von Neumann o metodă de construcție bazată pe inducția transfinită , dar nu și aplicarea acesteia la problema construirii unui univers de mulțimi obișnuite.

Simbolul nu este o referire la numele lui von Neumann, încă din 1889 Peano l-a folosit pentru a se referi la universul mulțimilor, adică cuvântul „Verum”, pe care l-a folosit nu numai ca simbol logic, ci și pentru a desemna clasa de toate elementele. [8] În 1910, Whitehead și Russell au adoptat notația Peano pentru a desemna clasa tuturor mulțimilor. [9] Lucrările lui Von Neumann despre numerele ordinale și inducția transfinită (anii 1920) nu folosesc notația V (în sensul clasei tuturor mulțimilor). Paul Cohen [10] atribuie în mod explicit utilizarea simbolului V (clasa tuturor seturilor) unui articol scris de Gödel în 1940 [11] , deși cel mai probabil Gödel a împrumutat această notație din publicații anterioare precum Whitehead și Russell. [9] $V$

O formulă este adesea privită mai degrabă ca o teoremă decât ca o definiție. [6] [7] Potrivit lui Roitman [12] (fără a cita vreo sursă), echivalența axiomei regularității și egalității ierarhiei cumulative cu universul mulțimilor ZF a fost demonstrată pentru prima dată de von Neumann. $\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }$

Definiție

O ierarhie cumulativă este o familie de mulțimi în care indexul trece prin clasa tuturor numerelor ordinale . Mai precis, setul este format din toate seturile care au un rang mai mic decât . Astfel, fiecărui număr ordinal îi corespunde o singură mulțime . Formal, o mulțime poate fi definită folosind recursiunea transfinită : $V_{\alpha }$ $\alfa$ $V_{\alpha }$ $\alfa$ $\alfa$ $V_{\alpha }$ $V_{\alpha }$

Să alegem setul gol ca: $V_{0}$ $V_{0}:=\{\}.$
Fie un număr ordinal arbitrar, atunci acesta este definit ca boolean al mulțimii : $\beta$ $V_{{\beta +1}}$ $V_{\beta }$ $V_{{\beta +1}}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).$
Fie numărul ordinal limită , apoi este definit ca uniunea tuturor mulțimilor construite în pașii anteriori: $\lambda$ $V_{\lambda }$ $V$ $V_{\lambda }:=\bigcup _{{\beta <\lambda }}V_{\beta }.$

Caracteristica cheie a acestei definiții este că, în limbajul teoriei ZFC, afirmația că „o mulțime aparține ” este exprimată printr-o singură formulă de forma . $X$ $V_{\alpha }$ $\varphi (\alpha ,x)$

O clasă este uniunea tuturor mulțimilor de forma : $V$ $V_{\alpha }$

V:=\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }

O definiție echivalentă folosește notația formei

V_{\alpha }:=\bigcup _{{\beta <\alpha }}{\mathcal {P}}(V_{\beta })

unde este un număr ordinal arbitrar și booleanul mulțimii . $\alfa$ ${\mathcal {P}}(X)$ $X$

Rangul unui set este cel mai mic , pentru care $S$ $\alfa$ $S\subseteq V_{\alpha }\,.$

Figura următoare prezintă o reprezentare schematică a primelor cinci niveluri ale ierarhiei von Neumann (de la până la ). (O casetă goală corespunde unui set gol. O casetă care conține doar un bloc gol corespunde unui set al cărui singur element este setul gol și așa mai departe.) $V_{0}$ $V_{4}$

Setul este format din 65536 elemente. Mărimea setului este egală și depășește semnificativ numărul de atomi din universul observabil . Astfel, nivelurile finale ale ierarhiei cumulate cu un indice mai mare de 5 nu pot fi scrise în mod explicit. Setul are aceeași cardinalitate ca și . Puterea coincide cu puterea multimii numerelor reale . $V_{5}$ $V_{6}$ $2^{{65536}}$ $V_{\omega }$ $\omega$ $V_{{\omega +1}}$

Relația cu teoria mulțimilor

Dacă este mulțimea numerelor naturale , atunci mulțimea este formată din mulțimi ereditar finite și este un model de teorie a mulțimilor fără axioma infinitului . există universul „matematicii obișnuite” și modelul lui Zermelo al teoriei mulțimilor . Dacă este un număr cardinal de neatins , atunci este un model al teoriei ZFC în sine , în timp ce este un model al teoriei mulțimilor Morse-Kelly . $\omega$ $V_{\omega }$ $V_{{\omega +\omega }}$ $\kappa$ $V_{\kappa }$ $V_{{\kappa +1}}$

$V$ nu este „ mulțimea tuturor sețiilor ” din două motive. În primul rând, V nu este o mulțime; în ciuda faptului că fiecare dintre colecții este un set, uniunea lor este o clasă proprie . În al doilea rând, doar seturile bine fundamentate intră în clasă ca elemente. În conformitate cu axioma fundației (sau regularității), fiecare mulțime este bine întemeiată și, prin urmare, aparține clasei . Astfel, în teoria ZFC, fiecare mulțime este un element al clasei . Cu toate acestea, în alte sisteme axiomatice , axioma fundației poate fi înlocuită cu negația sa puternică (de exemplu, axioma anti-fundație a lui Axel ) sau pur și simplu absentă. Astfel de teorii ale mulțimilor nefondate nu sunt de obicei aplicate în practică, dar ele pot fi foarte bine obiectul de studiu. $V_{\alpha }$ $V$ $V$ $V$ $V$

A treia obiecție la interpretarea ca „mulțimea tuturor mulțimilor” este că nu orice mulțime este „pură”, adică poate fi exprimată în termeni de mulțime goală, boolean și uniune. În 1908, Zermelo a propus adăugarea de elemente la teoria seturilor , iar în 1930 a construit o ierarhie recursivă transfinită pe baza acestora. [3] Urelementele similare sunt utilizate pe scară largă în teoria modelelor , în special, modelele Frenkel-Mostowski [13] . $V$

Perspectivă filozofică

Există două abordări principale (fără a lua în considerare diverse opțiuni și gradații intermediare) pentru înțelegerea relației dintre universul von Neumann și teoria ZFC . În termeni generali: formaliștii au tendința de a percepe ca un fel de consecință a axiomelor ZFC (de exemplu, în teoria ZFC este posibil să se demonstreze că fiecare mulțime este un element al lui ), în timp ce realiștii văd cel mai adesea în universul von Neumann un obiect care este direct accesibil intuiției, iar în axiomele ZFC - enunțuri, al căror adevăr în context poate fi confirmat folosind argumente directe exprimate în limbaj natural. Unul dintre posibilele puncte de vedere intermediare este că imaginea mentală a ierarhiei von Neumann servește drept justificare pentru axiomele ZFC (asigurându-le astfel obiectivitate), deși nu corespunde neapărat niciunui obiect din viața reală. $V$ $V$ $V$ $V$

Vezi și

Note

↑ Mirimanoff 1917; Moore 1982, pp. 261-262; Rubin 1967, p. 214
↑ Gregory H. Moore, „Zermelo’s axiom of choice: Its origins, development & influence”, 1982, 2013, Dover Publications, ISBN 978-0-486-48841-7 . (La pagina 279, autorul susține că referirea la numele lui von Neumann este eronată. Contribuția lui Zermelo este menționată la paginile 280 și 281.)
↑ 1 2 Ernst Zermelo , Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Fundamenta Mathematicae , 16 (1930) 29-47 (Notă pp. 36-40.)
↑ von Neumann, John (1928), Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, Mathematische Annalen T. 99: 373–391
↑ von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift Vol. 27: 669–752 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN =PPN266833020_0027&DMDID=DMDLOG_0042 > (A se vedea paginile 745-752.)
↑ 1 2 Bernays, Paul. Teoria multimilor axiomatice (neopr.) . - Dover Publications , 1991. - ISBN 0-486-66637-9 . (Vezi pp. 203-209.)
↑ 12 Mendelson , Elliott. Introducere în logica matematică (nedefinită) . — Van Nostrand Reinhold , 1964. (Vezi p. 202.)
↑ Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (port.) . — 1889. (Vezi paginile VIII și XI.)
↑ 12 Alfred North Whitehead ; Bertrand Russell . Principia Mathematica (neopr.) . - Merchant Books, 2009. - T. Volumul Unu. — ISBN 978-1-60386-182-3 . (Vezi pagina 229.)
↑ Cohen, Paul Joseph. Teoria multimilor si ipoteza continuumului (neopr.) . — Addison–Wesley , 1966. — ISBN 0-8053-2327-9 . (Vezi pagina 88)
↑ Godel, Kurt. Consistența axiomei de alegere și a ipotezei-continuum generalizate cu axiomele teoriei mulțimilor (engleză) . - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1940. - Vol. 3. - (Analele Studiilor de Matematică).
↑ Roitman, Judith. Introducere în teoria multimilor modernă (neopr.) . - Virginia Commonwealth University , 2011. - ISBN 978-0-9824062-4-3 . (Vezi pagina 79.)
↑ Howard, Paul; Rubin, Jean. Consecințele axiomei alegerii (neopr.) . Providence, Rhode Island: Societatea Americană de Matematică, 1998. pp . 175-221 . — ISBN 9780821809778 .

Literatură

Jech, Thomas. Teoria seturilor: Ediția a treia a mileniului, revizuită și extinsă. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth. Teoria seturilor: o introducere în dovezile de independență. - Elsevier, 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)