Matematica experimentala

Matematica experimentală  este o ramură a matematicii care se distinge prin utilizarea diferitelor tehnici, inclusiv metode de substituție, deplasare, dovezi contrare, inclusiv utilizarea instrumentelor de calcul electronice pentru a verifica, confirma vechi și obține fapte noi ( teoreme ) în matematică. . Toate rezultatele obținute la matematica experimentală sunt afirmații riguros dovedite ale matematicii. Strict vorbind, orice dovezi , calcule, calcule etc. sunt experimente pentru a obține noi legi (teoreme). Cu toate acestea, în matematica experimentală, tehnologia computerizată modernă este utilizată pentru a efectua experimente , ceea ce face posibilă efectuareaexperimente care nu sunt disponibile cu numărare manuală. Metoda principală a matematicii experimentale este calculele probatorii , în timpul cărora rezultatele calculelor sunt folosite pentru a demonstra riguros faptele matematice .

Paul Richard Halmos a scris: „Matematica nu este o știință deductivă  – este un clișeu. Dacă încercați să demonstrați o teoremă, nu este suficient să enumerați premisele și apoi să începeți să raționați. Ceea ce faci este încercare și eroare , experimentare și presupuneri. Trebuie să afli care este realitatea și ceea ce faci este ca munca unui experimentator într-un laborator” [1] .

Istorie

Matematicienii au practicat întotdeauna matematica experimentală. Există înregistrări ale matematicienilor timpurii, cum ar fi cele din Babilon , constând de obicei dintr-o listă de exemple numerice care ilustrează o identitate algebrică. Cu toate acestea, matematicienii moderni încă din secolul al XVII-lea au dezvoltat o tradiție de tipărire a rezultatelor într-o reprezentare finală, formală. Exemplele numerice care ar putea conduce matematica la formularea teoremei nu au fost publicate și, de regulă, sunt uitate.

Matematica experimentală ca domeniu de studiu separat a fost reînviată în secolul al XX-lea, când invenția calculatoarelor electronice a crescut foarte mult domeniul calculelor fezabile cu o viteză și precizie inaccesibile generațiilor anterioare de matematicieni. O piatră de hotar și o realizare semnificativă în matematica experimentală a fost descoperirea în 1995 a formulei Bailey-Borwain-Pluff pentru cifrele binare ale numărului π. Formula nu a fost descoperită din motive formale, ci după o căutare pe computer. Abia după aceea s-a găsit o dovadă riguroasă [2] .

Scopuri și utilizări

Scopul matematicii experimentale este „de a dobândi înțelegere și perspectivă asupra esenței conceptelor, de a confirma sau infirma ipoteze, de a face matematica mai tangibilă, mai vie și mai interesantă atât pentru matematicienii profesioniști, cât și pentru amatori” [3] .

Folosind matematica experimentală [4] :

1. Pătrunderea în esența și sentimentul subiectului.
2. Descoperirea de noi modele și conexiuni.
3. Folosind afișaje grafice pentru a încerca să ghicească principiile de bază.
4. Testarea și infirmarea ipotezelor.
5. Examinarea rezultatelor posibile pentru a evalua dacă acestea sunt dovezi formale valoroase.
6. Sugestie de abordări pentru dovezi formale.
7. Înlocuirea cablurilor lungi manuale cu cabluri bazate pe computer.
8. Confirmarea rezultatelor analitice obtinute.

Aparatură și tehnologie

Matematica experimentală folosește metode de calcul pentru a calcula valori aproximative ale integralelor și sumelor serii infinite. Aritmetica cu precizie arbitrară este adesea folosită pentru calcule,  de obicei 100 de cifre semnificative sau mai mult. Algoritmul raportului întreg este apoi utilizat pentru a găsi relații între aceste valori și constantele matematice. Lucrul cu precizie ridicată reduce posibilitatea de a confunda o potrivire matematică cu o relație adevărată. Apoi caută dovezi formale ale presupusei relații — este adesea mai ușor să găsești dovezi dacă relația ipotetică este cunoscută.

Dacă căutați un contraexemplu sau aveți nevoie să produceți o dovadă care necesită o cantitate mare de enumerare, o tehnică de calcul distribuită poate fi utilizată pentru a distribui calculul între calculatoare.

Sistemele obișnuite de algebră computerizată, cum ar fi Mathematica , sunt adesea folosite , deși programele specifice domeniului sunt, de asemenea, scrise pentru a ataca problemele care necesită o eficiență ridicată. Software-ul de matematică experimentală include de obicei mecanisme de detectare și corectare a erorilor , verificarea integrității și calcule redundante pentru a minimiza posibilitatea rezultatelor eronate din erorile software sau blocările procesorului.

Aplicații și exemple

• Căutați un contraexemplu
  • Roger Fry a folosit tehnica matematicii experimentale pentru a găsi cel mai mic contraexemplu la conjectura lui Euler .
  • Proiectul ZetaGrid a fost inițiat pentru a găsi un contraexemplu la Ipoteza Riemann .
  • Acest proiect căuta un contraexemplu pentru conjectura Collatz (nu a fost găsit niciun contraexemplu).
• Căutați exemple noi de numere sau obiecte cu anumite proprietăți
  • Great Internet Mersenne Prime Search  este o căutare pe scară largă pentru numere prime Mersenne .
  • Proiectul OGR al lui Distributed.net  - Găsirea riglelor Golomb optime .
  • Proiectul Riesel Sieve ("Riesel's Sieve") - căutarea celui mai mic număr Riesel .
  • Proiectul Seventeen or Bust ("Șaptesprezece sau eșec") - căutarea celui mai mic număr Sierpinski .
• Găsirea modelelor de numere aleatorii
  • Edward Lorenz a găsit atractorul Lorenz , un exemplu timpuriu de sisteme dinamice haotice , în timp ce investiga comportamentele anormale într-un model meteorologic numeric.
  • Spirala Ulam a fost găsită întâmplător.
  • Descoperirea constantelor Feigenbaum de către Mitchell Feigenbaum sa bazat inițial pe observație numerică urmată de o verificare atentă.
• Utilizarea programelor de calculator pentru a testa un număr mare, dar finit de cazuri, pentru a finaliza o demonstrație asistată de computer prin căutare exhaustivă
  • Dovada de Thomas Callister Gales a conjecturii lui Kepler .
  • Diferite dovezi ale problemei celor patru culori .
  • Dovada lui Clement Lam că nu există un plan proiectiv finit de ordinul 10 [5] .
• Testarea simbolică (prin algebră computerizată ) a ipotezelor pentru a încuraja căutarea dovezilor analitice
  • Soluțiile unui caz special al problemei cuantice cu trei corpuri , cunoscută sub numele de problema ionilor moleculari de hidrogen  , s-au dovedit a fi soluții de bază bazate pe chimia cuantică, chiar înainte de a se realiza că toate conduc la aceeași soluție analitică în termeni de generalizarea funcţiei W Lambert . Legat de această lucrare este izolarea unei legături necunoscute până acum între teoria gravitației și mecanica cuantică în dimensiuni reduse (vezi „ Gravația cuantică ”).
  • În domeniul mecanicii relativiste a mai multor corpuri , și anume teoria de absorbție Wheeler-Feynman simetrică în timp  , echivalența dintre potențialul Lienard-Wiechert principal al particulei j care acționează asupra particulei i și potențialul corespunzător al particulei i care acționează asupra particulei j a fost demonstrat până la un ordin înainte ca faptul să fi fost dovedit matematic. Interesul pentru teoria Wheeler-Feynman a fost reînviat datorită nonlocalității cuantice .
  • În domeniul opticii liniare, verificarea expansiunii într-o serie a anvelopei a câmpului electric pentru impulsuri de lumină ultrascurte în medii neizotrope . Extinderea seriei anterioare a fost incompletă - rezultatul depindea de un termen suplimentar, a cărui validitate a fost confirmată experimental .
• Calcularea sumelor de serii infinite , produse infinite și integrale (a se vedea și „ Integrare simbolică ”), de obicei prin calcul cu mare precizie și apoi folosind un algoritm al raportului întregului (cum ar fi „ Calculatorul simbolic invers ” ) . calculator simbolic) pentru a găsi o combinație liniară de constante matematice care dă acea valoare. De exemplu, următoarea ecuație a fost prezisă pentru prima dată de Enrico Au-Jan, un student al lui Jonathan Borwein folosind un computer și algoritmul PSLQ în 1993: [6] .

• cercetare vizuală
  • Cartea lui David Mumford și colab . Indra's Pearls explorează diverse proprietăți ale transformării Möbius și ale grupului Schottky prin generarea de imagini de grup vizuale pe computer, oferă dovezi convingătoare pentru multe ipoteze și sugerează cercetări suplimentare [7] .

Exemple plauzibile, dar incorecte

Unele conexiuni plauzibile sunt realizate cu un grad ridicat de precizie, dar rămân incorecte. Un astfel de exemplu:

Ambele părți ale acestei expresii diferă doar în semnul 42 [8] .

Un alt exemplu este că înălțimea maximă (valoarea maximă absolută a coeficienților) a tuturor factorilor x n − 1 se dovedește a fi aceeași cu înălțimea polinomului circular de gradul al n -lea . Calculele computerizate au arătat că acest lucru este adevărat pentru n < 10000 și se așteptau ca acest lucru să fie adevărat pentru toți n . Cu toate acestea, o căutare mai cuprinzătoare a arătat că egalitatea nu este adevărată pentru n = 14235, când înălțimea polinomului circular de gradul n este 2, iar înălțimea maximă a x n − 1 factori este 3 [9] .

Exploratori

Următorii matematicieni și informaticieni au adus contribuții semnificative în domeniul matematicii experimentale:

• Fabrice Bellard
• Bailey
• Jonathan Borwein
• David
• Hillaman Ferguson
• Ronald Graham
• Thomas Callister Gales
• Donald Ervin Knuth
• Clement Lam
• Oren Patashnik
• Simon Pluff
• Eric Wolfgang Weisstein
• Doron Zeilberger
• A.J. Khan Wink

Vezi și

• integrala Borwein
• Calcul de probă
• Jurnalul «Matematică experimentală»
• Institutul de

Note

1. ↑ Halmos, 1985 , p. 321.
2. ↑ The Quest for Pi Arhivat pe 27 septembrie 2011 la Wayback Machine de David G. Bailey , Jonathan Borwein , Peter J. Borwein și Simon Plouff .
3. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , p. VII .
4. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , p. 2.
5. ↑ Lam, 1991 , p. 305–318.
6. ↑ Bailey, 1997 .
7. ↑ Mumford, Seria, Wright, 2002 , p. VIII.
8. ↑ Bailey, Borwein, 2005 .
9. ↑ Înălțimea lui Φ 4745 este 3 și 14235 = 3 x 4745. Vezi secvențele Sloan A137979 și A160338 .

Literatură

• Paul R. Halmos. Vreau să fiu matematician: o automatografie. - Springer-Verlag, 1985. - ISBN 9780387964706 .
• Jonathan Borwein, David Bailey. Matematică prin experiment: raționament plauzibil în secolul 21 . - A. K. Peters, 2004. - S.  2 . — ISBN 1-56881-211-6 .
• David H. Bailey, Jonathan M. Borwein. Perspective de viitor pentru matematica asistată de calculator. — 2005.
• Clement W. H. Lam. Căutarea unui plan proiectiv finit de ordin 10 // American Mathematical Monthly . - 1991. - T. 98 , nr. 4 . - doi : 10.2307/2323798 .
• David Mumford, Caroline Series, David Wright. Perlele lui Indra: Viziunea lui Felix Klein. - Cambridge, 2002. - ISBN 0-521-35253-3 .
• David Bailey. Noi formule matematice descoperite cu supercalculatoare // NAS News. - 1997. - Vol. 2 , numărul. 24 .
• Arnold V. I. Matematică experimentală. - M . : Fazis, 2005. - 64 p. — ISBN 5-7036-0105-3 .
• Babenko K.I., Petrovici V.Yu., Rakhmanov A.I. Pe un experiment demonstrativ în teoria undelor de suprafață de amplitudine finită // Dokl. UN. - 1988. - T. 303 , nr 5 . - S. 1033-1037 .

Link -uri

• Imre Lakatos . Dovezi și infirmare. Cum se dovedesc teoremele? = Dovezi și dezmințiri / Per. din engleza. I. N. Veselovsky .. - M . : „Nauka”, 1967.
• Matematică experimentală (Jurnal)
• Centrul pentru Matematică Experimentală și Constructivă (CECM) de la Universitatea Simon Fraser
• Grupul de colaborare pentru cercetare în educația matematică de la Universitatea din Southampton
• Recunoașterea constantelor numerice de David G. Bailey și Simon Plouff
• Psihologia matematicii experimentale
• Site-ul web de matematică experimentală (link către resurse)
• Un algoritm pentru epoci: PSLQ, o modalitate mai bună de a găsi relații întregi ( link alternativ )
• Teoria algoritmică a informației experimentale
• Exemple de probleme de matematică experimentală de David G. Bailey și Jonathan Borwein
• Zece probleme în matematică experimentală Arhivat pe 10 iunie 2011 la Wayback Machine de David G. Bailey Jonathan Borwein , Kapuro și Eric Weisstein
• Institute for Experimental Mathematics Arhivat 10 februarie 2015 la Wayback Machine de la Universitatea din Duisburg-Essen