Divizor (geometrie algebrică)

În geometria algebrică, divizorii sunt o generalizare a subvarietăților unei varietăți algebrice de codimension 1. Există două astfel de generalizări diferite - divizori Weyl și divizori Cartier (numiți după André Weyl și Pierre Cartier ), aceste concepte sunt echivalente în cazul varietăților ( sau scheme ) fără singularităţi .

Divizori Weil

Definiție

Un divizor Weyl pe o varietate algebrică (sau, mai general, pe o schemă Noetheriană ) este o combinație liniară finită a , unde sunt submulțimi închise ireductibile și coeficienți întregi. Evident, divizorii Weyl formează un grup abelian în ceea ce privește adunarea; acest grup se numește . Un divizor al formei se numește simplu , iar un divizor pentru care toți coeficienții sunt nenegativi se numește efectiv . $X$ ${\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}$ $[Z_{i}]$ $X$ $n_{i}$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ $[Z]$ $n_{i}$

Grupul clasei divizor

Să presupunem că schema este întreagă , separabilă și regulată în codimensiunea 1 (în special, aceste proprietăți sunt valabile pentru varietățile algebrice netede). Regularitatea în codimensiunea 1 înseamnă că inelul punctual generic local al oricărei submulțimi închise ireductibile a codimensiunii 1 este regulat (și noetherian, deoarece este o localizare a unui inel noetherian) și, prin urmare, este un inel de evaluare discret . Orice funcție rațională pe (un element al câmpului de câte a inelului de funcții regulate ) are o anumită normă în acest inel. Dacă norma unei funcții raționale este mai mare decât zero pentru o anumită submulțime ireductibilă , atunci se spune că funcția rațională are un zero pe , iar dacă este mai mică decât zero, are un pol. Deoarece schema este noetheriană, rezultă că norma unei funcții raționale nu este egală cu zero doar pentru un număr finit de submulțimi ireductibile, deci fiecare funcție rațională este asociată cu un divizor notat cu . Divizorii care pot fi obținuți în acest mod se numesc divizori principali . $X$ $X$ $K[X]$ $Y$ $Y$ $(f)$

Deoarece , divizorii principali formează un subgrup în . Un grup de factori dintr-un subgrup de divizori principali se numește grup de clasă divizori și este notat cu . Grupul de clasă divizor însuși este un invariant de schemă interesant (trivialitatea grupului de clasă al unei scheme afine este un criteriu pentru factorialitatea unui inel cu condiția ca acesta să fie noetherian și integral închis ) [1] , și de asemenea, în unele cazuri, permite clasificarea tuturor pachetelor unidimensionale într-o schemă dată. $(fg)=(f)+(g)$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ ${\mathrm {Cl}}\,X$ ${\mathrm {Spec.}}A$ $A$ $A$

Divizori Weil și pachete de linii

Fie un pachet de linii peste o schemă (întreaga, Noetheriană, regulată în codimensiunea 1) ; corespunde unui snop de secțiuni izomorfe local inelului de funcții regulate pe . Folosind aceste izomorfisme, orice secțiune rațională a unui snop dat (adică o secțiune peste o submulțime densă deschisă) poate fi asociată cu un divizor al zerourilor și polilor săi, notat cu [2] . Două secțiuni raționale diferite diferă în înmulțire cu o funcție rațională, astfel încât această comparație definește o mapare bine definită de la grupul Picard la grupul clasei divizor: . Se mai poate verifica că această mapare este un homomorfism (suma divizorilor corespunde produsului tensor al fasciculelor), în cazul unei scheme normale este injectivă, iar în cazul factorialității locale a schemei este surjectivă [3] ] . În special, toate aceste condiții sunt îndeplinite pentru varietățile algebrice netede, ceea ce oferă o clasificare a fasciculelor de linii peste ele până la izomorfism. De exemplu, toate pachetele unidimensionale dintr-o schemă factorială locală afină sunt banale, deoarece grupul său de clasă de divizor este trivial. ${\mathcal L}$ $X$ $X$ $s$ ${\mathrm {div}}\,s$ ${\mathrm {div}}:{\mathrm {Pic}}\,X\la {\mathrm {Cl}}\,X$

Divizori Cartier

Pentru a lucra cu scheme arbitrare care au singularități, o altă generalizare a conceptului de subvarietate a codimensiunii 1 este adesea mai convenabilă [4] . Să fie o acoperire a unei scheme prin scheme afine și să fie o familie de funcții raționale pe cele corespunzătoare (în acest caz, o funcție rațională înseamnă un element al inelului complet de câte). Dacă aceste funcții sunt compatibile, în sensul că diferă prin înmulțirea cu o funcție regulată inversabilă, atunci această familie definește un divizor Cartier. $U_{i}$ $X$ $f_{i}$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$

Mai precis, să fie inelul complet al fracțiilor din inelul funcțiilor regulate (unde este o submulțime deschisă afină arbitrară [5] ). Deoarece submulțile afine formează baza topologiei , toate definesc în mod unic un presheaf pe , iar snopiul corespunzător este notat cu . Un divizor Cartier este o secțiune globală a coeficientului de coeficient , unde este un snop de funcții regulate reversibile. Există o succesiune exactă , aplicând acesteia functorul exact din stânga al secţiunilor globale , obţinem succesiunea exactă . Divizorii Cartier care se află în imaginea unei mapări de la sunt numiți divizori principali . $K(U)$ ${\mathcal O}_{X}(U)$ $U$ $X$ $K(U)$ $X$ ${\mathcal K}_{X}^{*}$ ${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ ${\mathcal O}_{X}^{*}$ $0\la {\mathcal O}_{X}^{*}\la {\mathcal K}_{X}^{*}\la {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\la 0$ $0\la \Gamma (X,{\mathcal O}_{X}^{*})\la \Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})\la \Gamma (X, {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\la H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{* })$ $\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$

Există un homomorfism natural de la grupul divizorilor Cartier (operația de grup corespunde înmulțirii funcțiilor) până la grupul divizorilor Weyl; dacă este o întreagă schemă Noetheriană separabilă, ale cărei inele locale sunt factoriale, această mapare este un izomorfism. În cazul în care condiția factorialității locale nu este îndeplinită, divizorii Cartier corespund local divizorilor Weyl principali (divizori care sunt definiți ca zerouri ale unei funcții raționale într-o vecinătate a fiecărui punct). Un exemplu de divizor Weil care nu este un divizor Cartier este o linie dintr-un con pătratic care trece prin vârful său. $X$ ${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$

Un divizor Cartier, ca un divizor Weyl, poate fi asociat cu un pachet de linii (sau, în mod echivalent, un snop inversabil ). Maparea de la grupul de factori de divizori Cartier peste subgrupul de divizori principali la grupul Picard este un homomorfism injectiv, iar în cazul schemelor proiective sau întregi, este surjectiv.

Divizori efectivi Cartier

Se spune că un divizor Cartier este eficient dacă toate funcțiile care îl definesc sunt regulate pe mulțimile corespunzătoare . În acest caz, snop inversabil corespunzător divizorului este snop de idealuri , adică snop de funcții care dispar pe o subschemă închisă. În schimb, această subschemă închisă definește în mod unic un divizor efectiv, astfel încât divizorii efectivi Cartier pot fi definiți ca subscheme închise care pot fi definite local ca mulțimea de zerouri a unei singure funcții care nu este un divizor de zero [6] . Pe o întreagă schemă Noetheriană separabilă ale cărei inele locale sunt factoriale, divizorii efectivi Cartier corespund exact divizorilor efectivi Weyl [7] . $f_{i}$ $U_{i}$ $X$ $X$

Note

↑ Hartshorne, 1981 , p. 174.
↑ Ravi Vakil , p. 388.
↑ Ravi Vakil , p. 389, 391.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 185.
↑ Kleiman, 1979 .
↑ Ravi Vakil , p. 236, 396.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 191.

Literatură

R. Hartshorne. Geometrie algebrică. — M .: Mir, 1981.
Kleiman, Steven. Concepții greșite despre K X // L'Enseignment Mathématique. - 1979. - Nr. 25 . — P. 203-206. - doi : 10.5169/seals-50379 .

Link -uri

Ravi Vakil. MATEM 216: Fundamentele geometriei algebrice (versiunea 06/11/2013) . - note ale cursului de geometrie algebrică, citite la Universitatea Stanford.