Darboux integral

Integrala Darboux este una dintre modalitățile de a generaliza integrala Riemann la orice funcție mărginită pe un interval. Există integrale Darboux superioare și inferioare. Integrale Darboux sunt din punct de vedere geometric zonele superioare și inferioare de sub grafic.

Definiție

Pentru a defini integralele Darboux, trebuie mai întâi să introducem conceptul auxiliar al sumelor Darboux.

Fie definită pe un segment o funcție a unei variabile reale . $[a,b]$ $f$

O partiție a unui segment este un set finit de puncte ale acestui segment, care include punctele și . [1] Pentru confortul introducerilor ulterioare, vom introduce notația. Notăm punctele de partiție ca , și le numerotăm în ordine crescătoare (începând de la zero): $\tau$ $[a,b]$ $A$ $b$ $\tau$ $x_{i}$

\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x }_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

Setul tuturor partițiilor segmentului va fi notat cu . $[a;b]$ $T$

Un segment parțial al partiției se numește segment . $\Delta _{i}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]

Să notăm lungimea segmentului parțial al partiției ca . $\Delta x_{i}$

\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1)

Diametrul unei partiții este lungimea maximă a unui segment parțial al partiției . [2] $d$ $\Delta x_{i}$

d=\max \Delta x_{i)

Fețele exacte ale funcției de pe segmentele parțiale ale partiției vor fi notate cu și . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Apoi, suma Darboux inferioară a unei funcții de pe o partiție este numită $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

s(f,\tau)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i)

Se numește suma superioară Darboux $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i)

[3]

Atunci integrala Darboux inferioară este $eu_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Se numește integrala superioară Darboux $eu^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[patru]

Definiții alternative

Există, de asemenea, definiții alternative ale integralelor Darboux. De obicei, acestea sunt dovedite ca proprietăți.

Integrala Darboux inferioară este limita sumelor Darboux inferioare deoarece diametrul partiției tinde spre zero, iar cea superioară este limita celor superioare. [5]

I_{*}=\lim _{d(\tau)\to 0}s(f,\tau)

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Integrala inferioară Darboux este limita inferioară a sumelor integrale , deoarece diametrul partiției tinde spre zero, iar cea superioară este limita superioară. [6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau)\to 0}\sigma (f,\tau,\xi)

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau)\to 0}\sigma (f,\tau,\xi)

Proprietăți

Proprietățile sumelor Darboux

Pentru orice două partiții arbitrare ale aceluiași segment, suma Darboux inferioară pe o partiție nu depășește suma Darboux superioară pe cealaltă partiție. [7]

\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})

Sumele inferioare Darboux sunt mărginite de sus, iar sumele superioare sunt mărginite de jos. [patru]

Când se adaugă puncte noi la partiția existentă, suma inferioară Darboux nu poate scădea în niciun fel, iar cea superioară nu poate crește în niciun fel. [7]

{\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aliniat} }\quad \tau '

- slefuire .

\tau

Mai mult, modificarea acestor sume poate fi dată după următoarea estimare. Fie d diametrul , rafinamentul se obține prin adăugarea a cel mult punctelor la , și a fețelor exacte ale funcției de pe segment . Apoi

\tau

\tau '

l

\tau

M

m

f

[a;b]

s(f,\tau ') -s(f,\tau )\leq (Mm)ld

S(f,\tau)-S(f,\tau ')\leq (Mm)ld

[5]

Fie suma integrală. Pentru orice partiție arbitrară cu puncte marcate , următoarea inegalitate este adevărată: $\sigma (f,\tau,\xi)$ $(\tau ,\xi )$

s(f,\tau)\leq \sigma (f,\tau,\xi)\leq S(f,\tau)

[opt]

Sumele Darboux sunt fețe exacte ale sumelor integrale pe o partiție dată. [7] Fie setul tuturor punctelor marcate posibile pe partiție . Apoi $\Xi$ $\tau$

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau,\xi )

S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau,\xi)

Proprietățile integralelor Darboux

Pentru orice funcție mărginită pe un interval, integralele Darboux există și sunt finite. [9] Pentru o funcție nemărginită de sus, integrala superioară este , pentru o funcție nemărginită de jos, integrala inferioară este . $+\infty$ $-\infty$
Următoarele inegalități sunt valabile pentru sume și integrale

s(f,\tau)\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau)

[9]

Lema principală a lui Darboux. Limita sumelor Darboux inferioare pe măsură ce diametrul partiției tinde spre zero există pentru orice funcție mărginită și este egală cu integrala Darboux inferioară. Limita sumelor superioare Darboux există pentru orice funcție mărginită, deoarece diametrul partiției tinde spre zero și este egal cu integrala superioară Darboux. [5]

\exists \lim _{d(\tau)\to 0}s(f,\tau)

și

I_{*}=\lim _{d(\tau)\to 0}s(f,\tau)

\exists \lim _{d(\tau)\to 0}S(f,\tau)

și

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Lema principală a lui Darboux stabilește echivalența primei și celei de-a doua definiții a integralelor Darboux.

criteriul Darboux. Integrabilitatea Riemann pe o funcție mărginită pe acest interval este echivalentă cu egalitatea integralelor Darboux superioare și inferioare pe acest interval. $[a;b]$ $f$

f

— Riemann integrabil [10]

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

Variații și generalizări

Multiple Darboux integral

Prin analogie cu integrala multiplă Riemann, se poate defini și integrala multiplă Darboux. Să fie un set măsurabil Iordan și să fie împărțirea lui printr-un număr finit de seturi măsurabile Iordan. Să notăm seturile acestei partiții ca . $G$ $\tau$ $\Delta _{i}$

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}

Notăm măsura Iordanului cu . $\Delta x_{i}$ $\Delta _{i}$

Setul tuturor partițiilor va fi notat cu . $G$ $T$

Diametrul partiției este definit ca maximul diametrelor setului de partiții (diametrul setului de partiții este cea mai mică limită superioară a distanțelor dintre punctele sale). $d$

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|xy|

Fețele exacte ale funcției de pe seturile de partiții sunt notate cu și . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Apoi, suma Darboux inferioară a unei funcții de pe o partiție este numită $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

s(f,\tau)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i)

Se numește suma superioară Darboux $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i)

[unsprezece]

Atunci integrala Darboux inferioară este $eu_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Se numește integrala superioară Darboux $eu^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[12]

Toate proprietățile de mai sus ale sumelor Darboux și integralelor Darboux, precum și definițiile alternative, sunt păstrate. [13]

Note

↑ Ilyin, 1985 , p. 330.
↑ Ilyin, 1985 , p. 331.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 190.
↑ 1 2 Ilyin, 1985 , p. 337.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , p. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 208.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , p. 336.
↑ Ilyin, 1985 , p. 335.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , p. 191.
↑ Kudryavtsev, 2003 , p. 553.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 559.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 548.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 550.

Literatură

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Analiza matematică. Curs inițial. - Ed. a II-a, revăzută .. - M . : MGU, 1985. - 662 p. Cu.
Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Prelegeri de analiză matematică: Manual pentru universități și ped. universități. - M . : Şcoala superioară, 1999. - 695 p. Cu. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. În 3 volume. Volumul 1. Calcul diferenţial şi integral al funcţiilor mai multor variabile . - M . : Butarda, 2003. - 704 p. (Rusă)

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale