Teoria K

Teoria K este o teorie matematică care studiază inelele generate de mănunchiuri de vectori peste spații sau scheme topologice . În topologia algebrică , această teorie generalizată a coomologiei se numește K-teoria topologică . În algebră și geometria algebrică, ramura corespunzătoare se numește teoria K algebrică. De asemenea, joacă un rol important în algebrele operatorilor și poate fi considerată ca o teorie a anumitor tipuri de invarianți de matrice mari [1] .

Teoria K implică construirea de familii de functori K care mapează spații sau scheme topologice la inelele corespunzătoare; aceste inele reflectă unele aspecte ale structurii spațiilor sau schemelor originale. Ca și în cazul functorilor din categoria grupelor utilizate în topologia algebrică, această mapare functorială face mai ușor să se calculeze unele proprietăți topologice din inelele mapate decât din spațiile sau schemele originale. Exemple de rezultate derivate din abordarea teoriei K includ teorema Grothendieck–Riemann–Roch, periodicitatea Bott, teorema indicelui Atiyah–Singer și operațiile Adams.

În fizica energiilor înalte , teoria K, și în special teoria K cu torsiune, este folosită în teoria corzilor de tip II, unde s-a sugerat că ele clasifică D-branele , intensitățile câmpului Ramond-Ramond și unii spinori pe generalizate. varietati complexe.

În fizica materiei condensate, teoria K a fost folosită pentru a clasifica izolatorii topologici , supraconductorii și suprafețele Fermi stabile .

Construcția lui Grothendieck

Construcția lui Grothendieck este o componentă necesară pentru construcția teoriei K. Să fie un monoid. Notați prin următoarea relație de echivalență pe $(A,+')$ $\sim$ $A\times A:$

(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})

dacă există astfel încât , atunci mulțimea are structura de grup , unde: $c\in A,$ $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ $G(A)=A\times A/\sim$ $(G(A),+)$

[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+' b_{2})]

Clasele de echivalență din acest grup ar trebui considerate ca diferențe formale ale elementelor dintr-un monoid abelian.

Pentru a înțelege mai bine acest grup, luați în considerare câteva dintre clasele de echivalență ale monoidului abelian . Notăm unitatea monoidului ca . În primul rând, pentru orice , deoarece putem pune și aplica egalitatea din relația de echivalență pentru a obține . Inseamna $(A,+)$ $0$ $(0,0)\sim (n,n)$ $n\in A$ $c=0$ $n=n$

[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0

prin urmare avem o inversă aditivă pentru fiecare element din . Prin urmare, clasele de echivalență pot fi privite ca diferențe formale . O altă observație utilă este invarianța claselor de echivalență sub scalare: $G(A)$ $[(a,b)]\în G(A)$ $ab$

(a,b)\sim (a+k,b+k)

pentru toți

k\in A

Construcția Grothendieck poate fi privită ca un functor . Se lasă conjugat cu functorul de uitare corespunzător.Cu alte cuvinte, dacă este un monoid abelian, este un grup abelian, atunci fiecare homomorfism de monoizi abelieni poate fi asociat cu un homomorfism de grup unic . $G:\mathbf {AbMon} \la \mathbf {AbGrp}$ $U:\mathbf {AbGrp} \la \mathbf {AbMon} .$ $A$ $B$ $\phi:A\to U(B)$ $G(A)\la B$

Un bun exemplu de luat în considerare este monoidul abelian , mulțimea numerelor naturale. Putem vedea asta . Pentru orice pereche, putem găsi reprezentativul minim folosind invarianța de scalare. De exemplu, $\mathbb {N}$ $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)$ $(a,b)$ $(a',b')$

(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)

În general, dacă setăm , atunci găsim asta $k=\min\{a,b\}$

(a,b)\sim (ak,bk)

, care are forma sau

(c,0)

(0,d).

Aceasta arată ceea ce putem crede ca numere întregi pozitive și -- ca numere întregi negative. ${\displaystyle(a,0)}$ $(0,b)$

Definiții

Există o serie de definiții de bază ale teoriei K: două din topologie și două din geometria algebrică.

Fie un spațiu topologic Hausdorff compact . Se notează ca mulțime de mănunchiuri de vectori de dimensiuni finite până la izomorfism și se notează clasa de izomorfism a unui pachet vectorial cu . Deoarece clasele de izomorfism ale pachetelor vectoriale se comportă bine în raport cu sumele directe, putem defini o sumă directă a două elemente ca $X$ ${\text{Vect}}(X)$ $X$ $\pi:E\la X$ $[E]$ ${\text{Vect}}(X)$

[E]\oplus [E']=[E\oplus E']

Este clar că este un monoid abelian, unde identitatea este dată de mănunchiul vectorial trivial . Apoi putem aplica construcția lui Grothendieck pentru a obține un grup abelian din acest monoid abelian. Acest grup se numește teoria K și se notează . $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ $\mathbb {R} ^{0}\times X\to X$ $X$ $K^{0}(X)$

Teorema Serre–Swan permite o descriere alternativă a pachetelor vectoriale ca module proiective peste un inel defuncții continue cu valori complexe peApoi pot fi identificate cumatrici idempotente într-un inel de matrice . Putem defini clase de echivalență de matrice idempotente și putem forma un monoid abelian. Designul său Grothendieck se mai numește. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$ $X.$ $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$ ${\textbf {Idem}}(X)$ $K^{0}(X)$

În geometria algebrică, aceeași construcție poate fi aplicată pachetelor de vectori algebrici peste scheme netede. Există, de asemenea, o construcție alternativă pentru orice schemă noetheriană . Și anume, pe mulțimea de izomorfism clase de snopi coerente pe unul se poate introduce o relație de echivalență: dacă există o secvență exactă scurtă $X$ $\operatorname {Coh} (X)$ $X$ $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$

0\la {\mathcal {E}}'\la {\mathcal {E}}\la {\mathcal {E}}''\la 0.

Acest lucru dă un grup care este izomorf dacă schema este netedă. Grupul are, de asemenea, o structură inelară, definită ca $K_{0}(X)$ $K^{0}(X)$ $X$ $K_{0}(X)$

[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{ \mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].

Folosind teorema Grothendieck-Riemann-Roch , avem asta

\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \la A(X)\otimes \mathbb {Q}

este un izomorfism al inelelor. Prin urmare, putem folosi pentru teoria intersecțiilor. $K_{0}(X)$

Istoria timpurie

Se poate spune că acest subiect începe cu Alexander Grothendieck (1957), care l-a folosit pentru a-și formula teorema Grothendieck-Riemann-Roch. Numele „teoria K” provine din germanul „Klasse” („clasa”). Grothendieck a studiat snopi coerente pe o varietate algebrică „X”. În loc să lucreze direct cu snopi, el a definit grupul folosind clasele de izomorfism ale snopii ca generatoare, cu o relație care identifică orice extensie a doi snopi cu suma lor. Grupul rezultat se numește „K(X)” atunci când sunt considerați numai snopi liberi local , sau „G(X)” când toți snopii sunt coerente. Oricare dintre aceste două construcții se numește grupul Grothendieck „K(X)” are comportament coomologic și „G(X)” are comportament omologic .

Dacă „X” este o varietate netedă, atunci aceste două grupuri sunt aceleași. Dacă este o varietate fină netedă, atunci toate extensiile de snopi liberi local se divid, astfel încât grupul are o definiție alternativă.

În topologie , aplicând aceeași construcție mănunchiurilor vectoriale, Michael Atiyah și Friedrich Hirzebruch au definit „K(X)” pentru spațiul topologic „X” în 1959 și folosind teorema de periodicitate a lui Bott au făcut din aceasta baza teoriei coomologiei extinse. Aceasta a jucat un rol important în cea de-a doua demonstrație a teoremei indicelui Atiyah-Singer (circa 1962). Mai mult, această abordare a condus la o teorie K non-comutativă pentru algebrele C* .

Încă din 1955, Jean-Pierre Serre a folosit paralela dintre mănunchiurile vectoriale și modulele proiective pentru a formula conjectura lui Serre , care afirmă că fiecare modul proiectiv generat finit peste un inel polinomial este liber ; această afirmație s-a dovedit a fi adevărată, dar nu a fost dovedită decât 20 de ani mai târziu. (Teorema Serra-Swan este un alt aspect al acestei analogii.)

Dezvoltare ulterioară

O altă sursă istorică pentru teoria K algebrică a fost lucrarea lui J. G. C. Whitehead și colab. asupra a ceea ce mai târziu a devenit cunoscut sub numele de torsiune Whitehead.

Aceasta a fost urmată de o perioadă în care au fost date diverse definiții parțiale ale „functorilor superiori ai teoriei K”. În cele din urmă, două definiții utile și echivalente au fost date de Daniel Quillen folosind teoria homotopiei în 1969 și 1972. Friedhelm Waldhausen a dat și o variantă pentru a studia „teoria K algebrică a spațiilor”, care este legată de studiul pseudoizotopilor. Multe studii moderne ale teoriei K superioare sunt legate de geometria algebrică și de studiul coomologiei motivice .

Construcțiile corespunzătoare care implică forma pătratică auxiliară se numesc L-theory . Este principalul instrument al chirurgiei Morse .

În teoria corzilor , clasificarea teoriei K a câmpurilor de tensiune Ramond-Ramond și a sarcinilor D-branelor stabile a fost propusă pentru prima dată în 1997 [2] .

Exemple

Cel mai simplu exemplu de grup Grothendieck este grupul Grothendieck al unui punct pentru un câmp . Deoarece mănunchiul vectorial peste acest spațiu este pur și simplu un spațiu vectorial de dimensiuni finite care este un obiect liber din categoria snopi coerente (deci și proiectiv), monoidul clasei izomorfism este , în funcție de dimensiunea spațiului vectorial. Grupul Grothendieck corespunzător este . ${\text{Spec)}(\mathbb {F} )$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
Una dintre proprietățile importante ale grupului Grothendieck al unei scheme noetheriene este aceea că [3] . Prin urmare, grupul Grothendieck al oricărei algebre artiniane este egal cu . $X$ $K(X)=K(X_{\text{roșu)})$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {Z}$
O altă formulă importantă pentru grupul Grothendieck este formula pachetului proiectiv: [4] dacă este un pachet vectorial de rang "r" peste o schemă Noetheriană , atunci grupul Grothendieck al pachetului proiectiv este un modul liber de rang "r" cu baza . Această formulă vă permite să calculați grupul Grothendieck . ${\mathcal {E}}$ $X$ $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet}({\mathcal {E}}^{\vee }))$ $K(X)$ $1,\xi,\dots,\xi ^{n-1)$ $\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n)$

Aplicații

Pachete virtuale

O aplicație utilă a grupului Grothendieck este definirea pachetelor de vectori virtuale. De exemplu, dacă avem o încorporare de spații netede , atunci există o scurtă secvență exactă $Y\hookrightarrow X$

0\la \Omega _{Y}\la \Omega _{X}|_{Y}\la C_{Y/X}\la 0

unde este un snop normal în . Dacă avem un spațiu special încorporat într-un spațiu neted , definim un snop conormal virtual ca $C_{Y/X}$ $Y$ $X$ $Y$ $X$

[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]

O altă aplicație utilă a fasciculelor virtuale este legată de definirea unui pachet tangen virtual pentru intersecția spațiilor: fie subvarietăți proiective de o varietate proiectivă netedă. Apoi putem defini mănunchiul tangent virtual al intersecției lor ca $Y_{1},Y_{2}\subset X$ $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$

[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}] |_{Z}.

Kontsevich folosește această construcție într-una dintre lucrările sale. [5]

Personajele lui Zhen

Clasele Chern pot fi folosite pentru a construi un homomorfism inel dintr-o teorie K topologică a unui spațiu până la (completarea) inelele sale de coomologie rațională. Simbolul Chern „ch” al pachetului de linii „L” este definit de formulă

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Mai general, dacă este o sumă directă a pachetelor de linii, cu primele clase Chern, caracterul Chern este definit aditiv $V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n)$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\puncte +x_{n}^{m}).

Simbolul Chern este util în parte deoarece facilitează calculul clasei Chern a unui produs tensor. Simbolul Chern este folosit în formularea teoremei Hirzebruch-Riemann-Roch.

Teoria K echivalentă

O teorie K algebrică echivariantă este o teorie K algebrică legată de categoria de snopi coerente echivariante pe o schemă algebrică cu o acțiune de grup algebric liniar , prin construcția Q a lui Quillen; astfel, prin definiție, $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ $X$ $G$

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).

În special, acesta este grupul Grothendieck . Această teorie a fost dezvoltată de R. W. Thomason în anii 1980. [6] În special, el a demonstrat analogi echivarianți ai teoremelor fundamentale, cum ar fi teorema de localizare. $K_{0}^{G}(C)$ $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$

Vezi și

Bott Periodicity
Teoria QC
Teoria CR
Lista de teorii coomologice
Teoria K algebrică
Teoria K topologică
Operator K-theory
Teorema Grothendieck-Riemann-Roch

Note

↑ [[ Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv : math/0012213 .
↑ Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 Arhivat la 22 septembrie 2020 la Wayback Machine ) și Gregory Moore în K-theory and Ramond's charge - Ramonda Arhivat din 21 aprilie 2020 la Wayback Machine
↑ Grupul Grothendieck pentru spațiul proiectiv peste numerele duale . mathoverflow.net . Consultat la 16 aprilie 2017. Arhivat din original la 17 aprilie 2017. (nedefinit)
↑ Manin, Yuri Ivanovici . Prelegeri despre funcția K în geometrie algebrică (engleză) // Uspekhi matematicheskikh nauk : journal. - Academia Rusă de Științe , 1969. - 1 ianuarie ( vol. 24 , nr. 5 ). - P. 1-89 . — ISSN 0036-0279 . - doi : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357 . - Cod biblic .
↑ [[ Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Enumeration of rationnel curves via torus actions, The moduli space of curves (Texel Island, 1994) , voi. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, p. 335–368
↑ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995) Arhivat la 7 februarie 2020 la Wayback Machine .

Literatură

Atiyah M. Prelegeri despre teoria K. - M . : Literatură străină, 1967. - 261 p.

Link -uri

Michael Atiyah . Teoria K. — al 2-lea. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
Manual de K-Theory / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-27855-9 .
Park, Efton. Teoria K topologică complexă. - Cambridge University Press , 2008. - V. 111. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8 .
Swan, RGTeoria K algebrică. - Springer , 1968. - T. 76. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-04245-8 .
Karoubi MaxTeoria K: o introducere. - Springer-Verlag , 1978. - (Clasici în matematică). — ISBN 0-387-08090-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-79890-3 .
Karoubi, Max (2006), Teoria K. O introducere elementară, arΧiv : math/0602082 .
Hatcher, Allen Vector Bundles & K-Theory (2003). (nedefinit)
Weibel, CharlesCartea K: o introducere în teoria K algebrică . - Societatea Americană de Matematică, 2013. - Vol. 145.-(Grad. Studii în matematică). - ISBN 978-0-8218-9132-2 .