Mozaic aperiodic

O terasa aperiodica  este o terasa ne-periodica cu proprietatea suplimentara ca placa nu contine piese periodice infinit de mari. Un set de tipuri de plăci (sau prototile ) este un set de prototile neperiodice dacă copiile acestor plăci pot forma doar plăci aperiodice . Plasările Penrose [1] [2] sunt cele mai cunoscute exemple de plăci aperiodice.

Tilingurile aperiodice servesc drept modele matematice pentru cvasicristale , corpuri fizice, care au fost descoperite în 1982 de Dan Shechtman [3] , care a primit Premiul Nobel în 2011 [4] . Cu toate acestea, structura locală specifică a acestor materiale rămâne prost înțeleasă.

Sunt cunoscute unele metode de construire a mozaicurilor aperiodice.

Definiție și ilustrare

Luați în considerare o acoperire periodică a pătratelor unităților (pare o hârtie milimetrică infinită ) . Acum să împărțim un pătrat în două dreptunghiuri. Plasarea astfel obținută nu este periodică - nu există nicio schimbare care să lase această placă neschimbată. Este clar că acest exemplu este mult mai puțin interesant decât placarea Penrose. Pentru a exclude astfel de exemple, un tiling aperiodic este definit ca unul care nu conține părți periodice arbitrar mari.

O placă se numește aperiodic dacă plicul său conține numai piese aperiodice. Plicul tilingului contine toate translatiile T+x ale tilingului T impreuna cu toate tilingurile care pot fi aproximate prin translatia T . Formal, aceasta este închiderea unei mulțimi în topologia locală [5] . Într-o topologie locală (corespunzătoare metricii), două plăci sunt apropiate dacă sunt aceleași într-un cerc de rază în jurul originii (poate după ce una dintre plăci a fost deplasată cu o distanță mai mică de ).

Pentru a da un exemplu și mai simplu, luați în considerare o placare unidimensională T a unei linii care arată ca ... aaaaaabaaaaa ... unde a reprezintă un interval de lungime unu și b reprezintă un interval de lungime doi. Apoi, placarea T constă dintr-un număr infinit de copii ale lui a și o copie a lui b (să zicem, centrată la 0). Acum toate traducerile lui T sunt piese cu un b undeva și a altundeva. O succesiune de mosai în care b este centrat în puncte converge (în topologia locală) către o terasa periodică constând numai din tile a . Astfel, T nu este o placare aperiodica, deoarece inchiderea sa contine o placare periodica … aaaaaa ….

Pentru multe teselații „bune” (de exemplu, înlocuiri de plăci cu un număr finit de modele locale), afirmația este valabilă: dacă o tigla nu conține o perioadă și se repetă (adică, fiecare dală apare cu aceeași probabilitate ca și este gresie), atunci este aperiodic [6] [5] .

Istorie

Problema plăcilor non-periodice a apărut pentru prima dată în 1961, când logicianul Hao Wang a încercat să afle dacă problema domino poate fi rezolvabilă, adică dacă există un algoritm pentru a determina că un anumit set finit de proto-piese adaugă un avion. Wang a găsit algoritmi pentru a enumera seturi de plăci care nu pot fi așezate pe un plan și seturi de plăci care plăci periodic planul. Astfel, el a arătat că un astfel de algoritm există dacă pentru orice set finit de prototile care permite placarea planului, există și o placare periodică. În 1964, Robert Berger a găsit un set aperiodic, arătând astfel că problema plăcirii este, de fapt, de nerezolvat [7] . Acesta a fost primul astfel de set folosit în dovada sa de indecizie și conținea 20.426 de plăci Wang. Berger a redus ulterior numărul de plăci la 104, iar Hans Löichli a găsit un set aperiodic de 40 de plăci Van [8] . Chiar și un set mai mic de șase plăci aperiodice (pe baza plăcilor Wang) a fost descoperit de Raphael Robinson în 1971 [9] . Roger Penrose a găsit alte trei seturi în 1973 și 1974, reducând numărul de plăci necesare la două, iar Robert Ammann a găsit alte câteva seturi în 1977 8] . În 2010, Sokolar și Taylor au găsit un set de două plăci de același tip (hexagoane obișnuite), cu una simetrică față de cealaltă [10] .

Placile aperiodice Penrose pot fi generate nu numai prin seturi aperiodice de prototile, ci și prin substituție și metoda cut-and-project . După descoperirea cvasicristalelor, mozaicurile aperiodice au început să fie studiate intens de către fizicieni și matematicieni. Metoda „cut-and-project” a lui N. G. de Bruijn pentru plăcile Penrose a devenit în cele din urmă parte a teoriei mulțimilor a lui Meyer [11] [12] . În prezent, există o cantitate mare de literatură despre plăcile aperiodice [5] .

Clădiri

Există mai multe metode de construire a mozaicurilor aperiodice. Mai multe construcții se bazează pe familii infinite de seturi aperiodice de plăci [13] [14] . Aceste construcții găsite funcționează în cele mai multe cazuri în mai multe moduri, în principal prin utilizarea unui fel de structură ierarhică aperiodică. În ciuda acestui fapt, imposibilitatea de rezolvare a problemei domino asigură că trebuie să existe infinit de multe construcții diferite și, de fapt, există seturi aperiodice de plăci pentru care este imposibil să se dovedească aperiodicitatea lor.

Teselații ierarhice aperiodice

Până în prezent, nu există o definiție formală care să descrie când un mozaic are o structură ierarhică. Cu toate acestea, este clar că înlocuirile de plăci au o astfel de structură, la fel ca plăcile lui Berger, Knuth , Leuchli și Robinson . Ca și în cazul termenului „tiling aperiodic”, termenul „tiling ierarhic aperiodic” este o prescurtare convenabilă pentru ceva de genul „un set de plăci care permit numai plăci ierarhice aperiodice”.

Fiecare dintre aceste seturi de plăci obligă orice mozaic al acestor plăci să aibă o structură ierarhică. (În multe dintre exemplele următoare, această structură poate fi descrisă ca un sistem de înlocuire a plăcilor, așa cum este descris mai jos). Nicio placare a acestor seturi de plăci nu poate fi periodică, pur și simplu pentru că niciun transfer paralel nu poate lăsa întreaga structură ierarhică neschimbată. Luați în considerare plăcile Robinson din 1971:

Orice placare cu aceste plăci poate oferi doar o ierarhie de grile pătrate - fiecare pătrat portocaliu în colțul unui pătrat mai mare și așa mai departe la infinit. Orice translație paralelă trebuie să fie mai mică decât dimensiunea unui pătrat și, prin urmare, nu poate lăsa o astfel de tiling invariabilă.

Robinson a demonstrat că aceste plăci trebuie să formeze un model inductiv. Ca urmare, plăcile ar trebui să formeze blocuri care împreună reprezintă versiuni mărite ale plăcilor originale și așa mai departe. Această idee de a găsi un set de plăci care pot constitui doar structuri ierarhice este folosită până acum pentru a construi cele mai cunoscute seturi de plăci aperiodice.

Înlocuiri

Sistemele de înlocuire a plăcilor oferă o sursă bogată de plăci aperiodice. Se spune că un set de plăci care forțează o structură de substituție este o structură de substituție forțată . De exemplu, plăcile scaunului prezentate mai jos permit înlocuiri, iar un fragment de înlocuire a plăcilor este prezentat în figură. Aceste înlocuiri de plăci nu sunt neapărat periodice, dar plăcile scaunului nu sunt aperiodice - este ușor să găsiți o plăci periodică cu aceste plăci.

Cu toate acestea, plăcile prezentate mai jos forțează structura de substituție a plăcii de scaun și, prin urmare, sunt aperiodice [15] .

Plăcile Penrose și, la scurt timp după aceea, unele seturi de plăci Amman [16] , au fost primele exemple bazate pe structuri de înlocuire forțată a plăcilor. Joshua Sokolar [17] [18] , Penrose, Roger [19] , Ludwig Danzer [20] și Chaim Goodman-Strauss [15] au găsit mai multe seturi suplimentare. Shahar Moses a dat prima construcție generală, arătând că orice produs al sistemelor de substituție unidimensională poate fi făcut forțat de regulile de substituție [14] . Charles Radin a găsit reguli de forțare pentru sistemul de înlocuire a plăcilor pentru placarea Conway's Pinwheel [21] . În 1998, Goodman-Strauss a arătat că regulile locale de îmbinare pot fi găsite pentru orice structură de înlocuire a plăcilor care îndeplinește unele condiții blânde [13] .

Metoda cut-and-project

Mozaicele fără perioade pot fi obținute prin proiectarea unor structuri cu dimensiuni înalte într-un spațiu cu o dimensiune inferioară, iar în anumite circumstanțe pot exista plăci care împiedică aceste structuri să aibă o perioadă și, prin urmare, mozaicurile vor fi aperiodice. Placile Penrose sunt primul și cel mai cunoscut exemplu de astfel de plăci, așa cum se vede în lucrarea de pionierat a lui de Bruijn [22] . Există o descriere incompletă (algebrică) a plăcilor tăiate și proiectate care poate fi făcută forțată de regulile de îmbinare, deși sunt cunoscute multe condiții necesare și suficiente [23] .

Alte tehnici

Au fost găsite doar câteva alte tipuri de construcții. În special, Jarkko Kari a oferit un set aperiodic de plăci Wang bazate pe produse de 2 sau 2/3 din numerele reale codificate prin rânduri de plăci (codificarea este legată de secvențele Sturm obținute ca diferențe ale elementelor succesive ale secvența Beatty ), cu aperiodicitatea legată în principal într-un fel de faptul că 2 n /3 m nu este niciodată egal cu 1 pentru niciunul dintre numerele întregi pozitive n și m [24] . Această metodă a fost adaptată ulterior de Goodman-Strauss pentru a obține un set strict aperiodic de plăci în plan hiperbolic [25] . Shahar Moses a găsit multe construcții alternative de seturi aperiodice de plăci, unele în contexte mai exotice, cum ar fi grupurile semisimple Lie [ 26] . Block și Weinberger au folosit metode omologice pentru a construi seturi aperiodice de plăci pentru toate soiurile nesuportabile [27] . Joshua Socolar a oferit și o altă modalitate de a forța neperiodicitatea în ceea ce privește condițiile alternante [28] . Acest lucru duce, în general, la seturi mult mai mici de plăci decât setul obținut din înlocuiri.

Fizica teselațiilor aperiodice

Placările aperiodice au fost considerate obiecte pur matematice până în 1984, când fizicianul Dan Shechtman a anunțat descoperirea unui tip de aliaj de aluminiu-mangan care dădea un model de difracție ascuțit cu o simetrie de cinci ori neambiguă [3] . Astfel, această substanță trebuie să fie o substanță cristalină cu simetrie icosoedrică. În 1975, Robert Ammann extinsese deja construcția Penrose la un echivalent icosoedric tridimensional. În astfel de cazuri, termenul „tiling” capătă sensul de „umplere spațiu”. Dispozitivele fotonice sunt acum construite ca secvențe aperiodice ale diferitelor straturi, care sunt aperiodice într-o direcție și periodice în celelalte două. Structura cvasicristalelor de Cd-Te s-a dovedit a fi formată din straturi atomice în care atomii sunt aranjați într-o formă aperiodă plată. Uneori, minimul energetic sau maximul entropiei se manifestă tocmai pe astfel de structuri aperiodice. Steinhardt a arătat că decagonii legați ai lui Hummelt permit aplicarea principiului extremumului și astfel asigură o legătură între teselațiile matematice neperiodice și structura cvasicristalelor [29] . S-a observat un fenomen când undele Faraday au format fragmente mari de mozaicuri aperiodice [30] . Fizica acestei descoperiri a reînviat interesul pentru structurile și frecvențele neproporționale și a apărut o presupunere despre legătura dintre mozaicurile aperiodice și fenomenul de interferență [31] .

Confuzie de terminologie

Termenul aperiodic este folosit în literatura de teme matematică în multe feluri (și, de asemenea, în alte domenii ale matematicii, cum ar fi sistemele dinamice și teoria grafurilor, într-un sens complet diferit). Pentru plăci, termenul aperiodic este uneori folosit ca sinonim pentru non-periodicitate. O gresie non- periodica este o placare care nu are o traducere paralelă netrivială. Uneori termenul este folosit, explicit sau implicit, pentru a descrie teselațiile formate dintr-un set aperiodic de prototile. Adesea, termenul a fost folosit vag pentru a descrie structurile substanțelor fizice aperiodice, și anume cvasicristale, sau ceva neperiodic cu un fel de ordine globală.

Utilizarea cuvintelor „mozaic” sau „tiling” este, de asemenea, problematică, chiar și atunci când termenii sunt definiți în mod explicit. De exemplu, nu există o singură placă  Penrose - diamantele Penrose implică un număr infinit de plăci (care nu pot fi distinse local). De obicei, încercați să evitați utilizarea acestor termeni în literatura tehnică, dar termenii sunt folosiți pe scară largă ca informali.

Vezi și

• Girih (matematică)
• Lista seturi de plăci neperiodice
• Quasicristal
• Zulliage

Note

1. ↑ Gardner, 1977 , p. 111–119.
2. ↑ Gardner, 1988 .
3. ↑ 1 2 Schechtman, Blech, Gratias, Cahn, 1984 , p. 1951–1953
4. ↑ Premiul Nobel pentru Chimie 2011 .
5. ↑ 1 2 3 Baake, Grimm, 2013 .
6. ↑ Poate părea că aici există o tautologie, dar absența unei perioade înseamnă că în această versiune a mozaicului nu există perioadă, iar aperiodicitatea mozaicului înseamnă că este imposibil să se creeze un mozaic periodic folosind aceleași plăci. .
7. ↑ Berger, 1966 , p. 1–72.
8. ↑ 1 2 Grünbaum și Shephard 1986 , p. secțiunea 11.1.
9. ↑ Robinson, 1971 , p. 177–209.
10. ↑ Socolar, Taylor, 2010 .
11. ↑ Lagarias, 1996 , p. 356–376.
12. ↑ Moody, 1997 , p. 403–441.
13. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1998 , p. 181–223.
14. ↑ 12 Mozes , 1989 , p. 39–186.
15. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1999 , p. 375–384.
16. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
17. ↑ Senechal, 1995 .
18. ↑ Socolar, 1989 , p. 10519–51.
19. ↑ Penrose, 1997 , p. 467–497.
20. ↑ Nischke și Danzer 1996 , p. 221–236.
21. ↑ Radin, 1994 , p. 661–702.
22. ↑ de Bruijn, 1981 , p. 39–52, 53–66.
23. ↑ Le, 1997 , p. 331–366.
24. ↑ Kari, 1996 , p. 259–264.
25. ↑ Goodman-Strauss, 2005 , p. 119–132.
26. ↑ Mozes, 1997 , p. 603–611.
27. ↑ Block, Weinberger, 1992 , p. 907–918.
28. ↑ Socolar, 1990 , p. 599–619.
29. ↑ Steinhardt .
30. ↑ Edwards, Fauve, 1993 .
31. ↑ Levy, Mercier, 2006 , p. 115.

Literatură

• Premiul Nobel pentru Chimie 2011 . — Nobelprize.org.
• Martin Gardner . Jocuri matematice  // Scientific American. - 1977. - ianuarie ( vol. 236 ). — S. 111–119 .
• Martin Gardner . Penrose Tiles la Trapdoor Ciphers. - W. H. Freeman & Co, 1988. - ISBN 0-7167-1987-8 .
• Schechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn JW Metallic Phase cu ordine de orientare pe distanță lungă și fără simetrie translațională // Physical Review Letters. - 1984. - T. 53 , nr. 20 . — S. 1951–1953 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 . — Cod .
• Baake M., Grimm U. Ordinul Aperiodic. Vol 1: O invitație matematică. — Cambridge University Press, 2013.
• Robert Berger. Indecidibilitatea problemei domino // Memoriile Societății Americane de Matematică. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
• Raphael M. Robinson. Indecidibilitate și nonperiodicitate pentru plăcile planului // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 , nr. 3 . — S. 177–209 . - doi : 10.1007/BF01418780 . - Cod .
• Conceptul lui Lagarias JC Meyer de mulţimi cvasicristale şi cvasiregulare  // Commun. Matematică. Phys.. - 1996. - Vol. 179 , nr. 2 . — S. 356–376 .
• Moody RV Meyer sets and their duals // The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, NATO ASI Series C. - 1997. - T. 489 . — S. 403–441 .
• Chaim Goodman Strauss. Reguli de potrivire și piese de substituție  // Analele matematicii . - Analele de matematică, 1998. - V. 147 , nr. 1 . — S. 181–223 . - doi : 10.2307/120988 . — .
• Chaim Goodman Strauss. Un mic set aperiodic de plăci plane // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , nr. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 .
• Branko Grünbaum , Geoffrey C. Shephard. Placuri și modele. - W. H. Freeman & Company, 1986. - ISBN 0-7167-1194-X .
• Marjorie Senechal. Quasicristale și geometrie. - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-57541-9 .
• Socolar JES Cvasicristale simple octogonale și dodecagonale // Phys. Rev. B. - 1989. - T. 39 . — S. 10519–51 . - doi : 10.1103/PhysRevB.39.10519 . — Cod .
• Penrose R. Remarks on Tiling: details of a 1 +  ε  +  ε 2 -aperiodic set // The mathematics long range aperiodic order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Matematică. Fiz. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 467–497 .
• Nischke K.-P., Danzer L. A construction of inflation rules based on n -fold symetriy // Disc. și Comp. Geom.. - 1996. - V. 15 , nr. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/BF02717732 .
• Mozes S. Tilings, substitution systems and dynamical systems generated by them // Journal d'Analyse Mathématique. - 1989. - T. 53 , nr. 1 . — S. 139–186 . - doi : 10.1007/BF02793412 .
• Charles Radin. Tiglarea cu roată a avionului  // Analele matematicii . - Analele matematicii, 1994. - V. 139 , nr. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
• de Bruijn NG Teoria algebrică a planurilor neperiodice ale lui Penrose, I, II // Nederl. Akad. Wetensch. Index. Matematică.. - 1981. - T. 43 . — S. 39–52, 53–66 .
• Le TTQ Reguli locale pentru tilings cvasiperiodici // Ordinea aperiotică de lungă durată a matematicii, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Matematică. Fiz. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 331–366 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_13 .
• Jarkko Kari. Un mic set aperiodic de plăci Wang // Matematică discretă . - 1996. - T. 160 , nr. 1–3 . — S. 259–264 . - doi : 10.1016/0012-365X(95)00120-L .
• Chaim Goodman Strauss. Un set puternic aperiodic de plăci în plan hiperbolic  // Inventiones Mathematicae . - 2005. - T. 159 , nr. 1 . — S. 119–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - Cod .
• Shahar Moses. Placuri aperiodice  // Inventiones Mathematicae . - 1997. - T. 128 , nr. 3 . — S. 603–611 . - doi : 10.1007/s002220050153 . - Cod .
• Block J., Weinberger S. Tilings aperiodic, curbură scalară pozitivă și amenabilitate a spațiilor // Journal of the AMS. - 1992. - V. 5 , nr. 4 . — S. 907–918 . - doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .
• Joshua Socolar. Reguli slabe de potrivire pentru cvasicristale  // Comm. Matematică. Phys.. - 1990. - Vol. 129 , nr. 3 . — S. 599–619 . - doi : 10.1007/BF02097107 . - Cod .
• Paul J. Steinhardt. O nouă paradigmă pentru structura cvasicristalelor . Arhivat din original pe 23 februarie 2007.
• Edwards WS, Fauve S. Parametrically excited quasicrystalline surface waves // Physical Review E. - 1993. - V. 47 , nr. 2 . - C. R788 - R791 .
• Levy JC. S., Mercier D. Quasicristale stabile // Acta Phys. superficierum. - 2006. - T. 8 . - S. 115 .
• Joshua ES Socolar1, Joan M. Taylor2. An aperiod hexagonal tile  // Journal of Combinatorial Theory Series A. - 2010. - arXiv : 1003.4279v1 .

Link -uri

• Depozitul Geometriei
• Placuri aperiodice