Relație (teoria mulțimilor)

O relație este o structură matematică care definește în mod formal proprietățile diferitelor obiecte și relațiile lor. Exemple comune de relații în matematică sunt egalitatea (=) , divizibilitatea , asemănarea , paralelismul și multe altele.

Conceptul de relație ca submulțime a unui produs cartezian este formalizat în teoria mulțimilor și a devenit larg răspândit în limbajul matematicii în toate ramurile sale. Viziunea teoretică a mulțimilor a unei relații o caracterizează în termeni de volum – cu ce combinații de elemente este umplută; o abordare semnificativă este considerată în logica matematică , unde relația este o funcție propozițională , adică o expresie cu variabile nedefinite, înlocuirea unor valori specifice pentru care o face adevărată sau falsă. Relațiile joacă un rol important în algebra universală , unde obiectul de studiu de bază al secțiunii este o mulțime cu un set arbitrar de operații și relații. Una dintre cele mai izbitoare aplicații ale tehnicii relațiilor matematice în aplicații este sistemele de management al bazelor de date relaționale , bazate metodologic pe algebra relațională formală .

Relațiile sunt de obicei clasificate după numărul de obiecte înrudite ( aritate ) și proprietățile lor, cum ar fi simetria , tranzitivitatea , reflexivitatea .

Definiții și notații formale

$n$ Relația -locală ( -ary ) definită pe mulțimi este o submulțime a produsului cartezian al acestor mulțimi: . Faptul că elementele sunt legate printr-o relație este notat cu sau . $n$ $R$ $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ $R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n)$ $n$ $\langle m_{1}\in M_{1},m_{2}\in M_{2},\dots m_{n}\in M_{n}\rangle$ $R$ $R(m_{1},m_{2},\dots,m_{n})$ $(m_{1},m_{2},\dots,m_{n})\in R$

Faptul conexiunii dintre obiecte și o relație binară este de obicei notat folosind notația infixă : . Relațiile unice (unare) corespund proprietăților sau atributelor, de regulă, pentru astfel de cazuri, terminologia relațiilor nu este folosită. Uneori se folosesc relații cu trei locuri ( ternare ), relații cu patru locuri ( cuaternare); relațiile de o arietate nedefinită sunt denumite „multiare”, „multi-locate”. $m_{1}\în M_{1}$ $m_{2}\în M_{2}$ $R\subset M_{1}\times M_{2}$ $m_{1}\,R\,m_{2}$

O relație universală este o relație care leagă toate elementele unor mulțimi date, adică coincide cu produsul cartezian:. O relație nulă este o relație care nu leagă niciun element, adică o mulțime goală :. $R=M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n)$ $R=\varnothing \subset M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n)$

O relație funcțională este o relație care formează o funcție : este funcțională dacă din execuție rezultă că ( se asigură unicitatea valorii funcției). $R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1)$ $R(m_{1},\dots, m_{n},x)$ $R(m_{1},\dots, m_{n},y)$ $x=y$

Proprietăți generale și tipuri de relații binare

Cele mai frecvente relații în limbajul matematicii sunt binare pe o mulțime ( ), cel mai adesea folosite cu unele proprietăți comune [1] : $R\subseteq M^{2}$

simetrie ( ) sau antisimetrie ( ), $a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$ $a\,R\,b\,\pană \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b$
reflexivitate ( ) sau antireflexivitate , $a\,R\,a$ $\neg \,(a\,R\,a)$
tranzitivitate ( ) sau antitranzitivitate ( ), $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow a\,R\,c$ $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow \neg \,a\,R\,c$
conectivitate ( ). $a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a$

În funcție de setul de proprietăți ale relațiilor binare, se formează unele tipuri de ele utilizate pe scară largă:

relație de echivalență - orice relație reflexivă , tranzitivă și simetrică ;
relația de preordine este reflexivă și tranzitivă;
relație de ordine parțială - reflexivă, tranzitivă și antisimetrică;
relatie de ordine stricta - antireflexiva, tranzitiva, antisimetrica;
relația de ordine liniară este conexă, reflexivă, antisimetrică.

Un rol important îl joacă relația de egalitate - relația de echivalență, realizată doar pentru două elemente coincidente.

Pot exista și alte combinații de proprietăți ale relațiilor, de exemplu, tranzitive și reflexive, dar nu are alte proprietăți simple, relația de divizibilitate pe mulțimea numerelor naturale , notată de obicei prin simbolul , este formată din perechi de forma , unde se împarte uniform. Un exemplu de relație ternară este formarea unui triplu pitagoreic cu trei numere, fiind în relație cu un cvadruplu pitagoreic este un exemplu de relație cuaternară. $|$ $\langle x,y\rangle$ $X$ $y$

Un set mai slab de proprietăți ale relațiilor binare este aplicat în teoria grafurilor : un graf nedirecționat poate fi definit ca un set de vârfuri cu o relație binară simetrică peste el, iar un graf direcționat ca un set de vârfuri cu o relație binară arbitrară peste el.

Algebre de relații

Toate relațiile -are asupra unui produs cartezian formează o algebră booleană în cadrul operațiilor teoretice de mulțimi de unire , intersecție și complement . $n$ $M_{1}\times \dots \times M_{n)$

Algebra relațională este un sistem închis de operații asupra relațiilor într-un model de date relaționale .

Note

↑ Cuantificatori universali omise în formule

Literatură

Relație - articol din Encyclopedia of Mathematics . D. M. Smirnov
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Introducere în logica matematică. - M . : Editura Universității din Moscova, 1982. - 120 p. — 29.500 de exemplare.