Prim echilibrat

Un prim echilibrat este un număr prim pentru care intervalele dintre numerele prime din stânga și dreapta numărului sunt egale, astfel încât numărul este egal cu media aritmetică a primelor cele mai apropiate. Din punct de vedere algebric, dat un număr prim , unde n este un indice în mulțimea ordonată de numere prime, $p_n$

p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}.

Exemple

Primele numere prime echilibrate

5 , 53 , 157, 173 , 211, 257 , 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 ( secvența OEIS A006562 ).

De exemplu, 53 este al șaisprezecelea număr prim. Al cincisprezecelea și al șaptesprezecelea numere sunt 47 și 59, suma lor este 106, iar jumătate din această sumă este 53, adică 53 este un prim echilibrat.

Dacă 1 este considerat număr prim, 2 va fi și un număr prim echilibrat

2={1+3 \over 2}.

Infinit

Există o presupunere că există infinit de numere prime echilibrate.

Trei numere prime consecutive în progresie aritmetică sunt uneori numite CPAP-3 (prime consecutive în progresie aritmetică = numere consecutive în progresie aritmetică). Un prim echilibrat este, prin definiție, al doilea număr din CPAP-3. Din 2014, cel mai mare CPAP-3 cunoscut are 10546 de caractere și a fost găsit de David Broadhurst. Acest număr este [1]

p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430 .

Valoarea lui n (indicele din succesiunea primelor) nu este cunoscută.

Generalizare

Primele echilibrate pot fi generalizate la numerele prime echilibrate de ordinul n . Un prim echilibrat de ordinul n este un prim egal cu media aritmetică a celor mai apropiate n numere (la stânga și la dreapta numărului). Din punct de vedere algebric, dat un număr prim , unde k este indicele din succesiunea ordonată de numere prime, $p_{k}$

p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{ki}+p_{k+i})} \over 2n}.

Cu această definiție, un număr echilibrat obișnuit este un număr echilibrat de ordinul 1. Secvențele de numere echilibrate de ordinul 2, 3 și 4 sunt date de secvențele A082077 , A082078 și , respectiv, A082079 .

Vezi și

Prim puternic , un prim care este mai mare decât media aritmetică a două numere prime adiacente

Note

↑ The Greatest Known CPAP Arhivat 12 noiembrie 2017 la Wayback Machine . Accesat 2014-06-13.

Literatură

Clasele numerelor prime
Conform formulei	Fermă (2 2 n + 1) Mersenne (2 p ? 1) Mersenne dublă (2 2 p ? 1 ? 1) Wagstaff ( 2p + 1)/3 Prota ( k •2 n + 1) Factorial ( n ! ± 1) Primaria ( p n # ± 1) Euclid ( p n # + 1) Pitagora ( 4n + 1) Pierpont (2 u •3 v + 1) Quartan ( x 4 + y 4 ) Solinas (2 a ± 2 b ± 1) Cullen ( n •2 n + 1) Woodall ( n •2 n ? 1) Cubic ( x 3 ? y 3 )/( x ? y ) Carola (2 n ? 1) 2 ? 2 Kenya (2 n + 1) 2 ? 2 Leyland ( x y + y x ) Sabita (3•2 n ? 1) Mori (pardosea( A 3 n ))
Secvențe	Fibonacci Luca Pella Newman-Shanks-Williams Perrina Împărțirea unui număr Bella • Motzkina
După proprietăți	Viferikha pereche Walla - Sunya - Sunya Wolstenholm Wilson Fericit Fortunovs Ramanujan Pillai Regulat puternic rautacios Supersingular (curbe eliptice) Supersingular (teoria monstruoasă a nonsensului) Bun Supersimplu Higgs Cotient ridicat
Dependent de sistemul numeric	mulțumit diedru palindromic Eotsorp Reunește (10 n ? 1)/9 Permutațional Inel trunchiată Strobograme Minim Slab simplu Complet repetat Unic primordial auto-a generat Smarandsha - Wellena
Modele	Gemeni ( p , p + 2) Un lanț de gemeni ( n ? 1, n + 1, 2 n ? 1, 2 n + 1, ...) Triplul numerelor prime ( p , p + 2 sau p + 4, p + 6) Cvadruplu de numere prime ( p , p + 2, p + 6, p + 8) k -tuplu Înrudite ( p , p + 4) Diferă cu 6 ( p , p + 6) Chena • Sophie Germain ( p , 2 p + 1) Lanțuri Cunningham ( p , 2 p ± 1, …) Sigur ( p , ( p ? 1)/2) Progresii ( p + a•n , n = 0, 1, …) Echilibrat (consecutiv p ? n , p , p + n )
La dimensiune	Titanic (+1.000 de caractere) Uriaș (10.000+) Megasimple (1.000.000+) Cel mai mare cunoscut
Numere complexe	Primele Eisenstein Primele gaussiene
Numerele compuse	Pseudosimple Aproape simplu Semisimplu Intersimple
subiecte asemănătoare	Probabil simplu Industrial ilegal Formula numărului prim Intervale între numere prime