Factorială

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 26 ianuarie 2022; verificările necesită 26 de modificări .

Factorial este o funcție definită pe mulțimea numerelor întregi nenegative . Numele provine de la lat. factorialis - acționând, producând, înmulțind; notat , pronunţat en factorial . Factorialul unui număr natural este definit ca produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la inclusiv: $n!$ $n$ $n$

n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k

De exemplu,

5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Căci este luat ca un acord că $n=0$

0!=1

. Factorialii tuturor numerelor alcătuiesc secvența A000142 în OEIS ; valorile în notație științifică sunt rotunjite

n	n !
0	unu
unu	unu
2	2
3	6
patru	24
5	120
6	720
7	5040 _
opt	40 320
9	362 880
zece	3 628 800
unsprezece	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800 [1]
paisprezece	87 178 291 200 [2]
cincisprezece	1.307.674.368.000 [ 3 ] _ _
16	20.922.789.888.000 [ 4 ] _ _
17	355 687 428 096 000 [5]
optsprezece	6 402 373 705 728 000 [6]
19	121 645 100 408 832 000 [7]
douăzeci	2 432 902 008 176 640 000 [8]
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000 [9]
cincizeci	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000 [10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 [11]
100	≈ 9,332621544⋅10 157
450	≈ 1,733368733⋅10 1000
1000	≈ 4,023872601⋅10 2567
3 249	≈ 6,412337688⋅10 10000
10.000 _	≈ 2,846259681⋅10 35659
25 206	≈ 1,205703438⋅10 100000
100.000 _	≈ 2,824229408⋅10 456573
205 023	≈ 2,503898932⋅10 1000004
1.000.000 _ _	≈ 8,263931688⋅10 5565708
10 100	≈10 9,956570552⋅10 101
10 1000	≈10 10 1003
10 10 000	≈10 10 10 004
10 100 000	≈10 10 100 005
10 10 100	≈10 10 10 100

Factorialul este utilizat activ în diferite ramuri ale matematicii: combinatorică , analiză matematică , teoria numerelor , analiză funcțională etc.

Factorialul este o funcție cu creștere extrem de rapidă. Crește mai repede decât orice funcție exponențială sau orice funcție de putere și, de asemenea, mai rapid decât orice sumă a produselor acestor funcții. Cu toate acestea, funcția exponențială crește mai repede decât factorial, la fel ca majoritatea exponenților dubli, cum ar fi . $n^{n}$ $e^{{e^{n}}}$

Proprietăți

Formula recurentă

Factorialul poate fi dat prin următoarea formulă recursivă :

n!= \begin{cases} 1 & n = 0,\\ n \cdot(n-1)! & n > 0. \end{cazuri}

Interpretare combinatorie

În combinatorică , factorialul unui număr natural n este interpretat ca numărul de permutări (ordonări) unui set de n elemente.

De exemplu, pentru o mulțime { A , B , C , D } de 4 elemente, există 4! = 24 permutări:

ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

Interpretarea combinatorie a factorialului confirmă oportunitatea acordului - numărul de permutări ale mulțimii goale este egal cu unu. În plus, formula pentru numărul de plasări de elemente prin $0!=1$ $n$ $m$

A_{n}^{m}={\frac {n!}{(nm)!}}

când se transformă într-o formulă pentru numărul de permutări ale elementelor (de ordin ), care este egală cu . $n=m$ $n$ $n$ $n!$

Relația cu funcția gamma

Factorialul este legat de funcția gamma a unui argument întreg prin relație

n!=\Gamma (n+1)

Aceeași expresie este folosită pentru a generaliza conceptul de factorial la mulțimea numerelor reale . Folosind continuarea analitică a funcției gamma, domeniul de definire a factorialului este extins și la întregul plan complex , excluzând punctele singulare la . $n=-1,-2,-3\ldots$

O generalizare directă a factorialului la mulțimile de numere reale și complexe este funcția pi , care poate fi definită ca $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\mathrm {Re} (z)>-1$

\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{{z}}e^{{-t}}\,{\mathrm {d}}t

(definiție integrală).

Funcția pi a unui număr natural sau zero coincide cu factorialul său: . Ca și factorial, funcția pi satisface relația de recurență . $\Pi (n)=n!$ $\Pi (z)=z\Pi (z-1)$

Formula lui Stirling

Formula Stirling este o formulă asimptotică pentru calculul factorial:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{ \frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879} {209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\stanga(n^{{-7}}\dreapta)\dreapta),

vezi O-large [12] .

În multe cazuri, pentru un calcul aproximativ al factorialului, este suficient să luăm în considerare doar termenul principal al formulei Stirling:

n! \aproximativ \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

În același timp, se poate argumenta că

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)}.

Formula lui Stirling vă permite să obțineți valori aproximative ale factorilor de numere mari fără a înmulți direct o secvență de numere naturale. De exemplu, folosind formula Stirling, este ușor de calculat

100! ≈ 9,33×10 157 ;
1000! ≈ 4,02×10 2567 ;
10.000! ≈ 2,85×10 35 659 .

Factorizarea primelor

Fiecare număr prim p intră în expansiunea lui n ! prin factori primi la puterea definită prin următoarea formulă:

\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \ldots.

În acest fel,

n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},

unde produsul este preluat peste toate numerele prime. Se poate observa că pentru orice prim p mai mare decât n , factorul corespunzător în produs este 1; prin urmare, produsul nu poate fi preluat decât de numere prime p care nu depășesc n .

Legătura cu derivata unei funcții de putere

Pentru un întreg nenegativ n :

\left(x^{n}\right)^{{(n)}}=n!

De exemplu:

\left( x^5 \right)^{(5)} = \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) ''' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!

Alte proprietăți

Pentru un număr natural :

n

n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n

Pentru oricine :

n>1

n!

nu este un pătrat al unui număr întreg; Pentru oricine :

n>4

n!

se termină cu 0; Pentru oricine :

n>9

n!

se termina cu 00. Dacă un număr prim:

n

(n-1)!+1

este divizibil cu ( teorema lui Wilson )

n

Istorie

Expresiile factoriale au apărut în cercetările timpurii despre combinatorie , deși matematicianul francez Christian Kramp a propus o notație compactă abia în 1808 [13] . O etapă importantă a fost descoperirea formulei lui Stirling , pe care James Stirling a publicat-o în tratatul său The Differential Method ( lat. Methodus differentialis , 1730). Puțin mai devreme, aproape aceeași formulă a fost publicată de prietenul lui Stirling, Abraham de Moivre , dar într-o formă mai puțin completă (în loc de coeficient exista o constantă nedefinită) [14] . $n!$ ${\sqrt {2\pi ))$

Stirling a studiat în detaliu proprietățile factorialului, până la clarificarea întrebării dacă este posibil să se extindă acest concept la numere reale arbitrare. El a descris mai multe moduri posibile de a implementa această idee și a opinat că:

\left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}

Stirling nu știa că Leonhard Euler găsise deja o soluție la problemă cu un an mai devreme . Într-o scrisoare către Christian Goldbach , Euler a descris generalizarea necesară [15] :

x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)))

Dezvoltând această idee, Euler anul viitor, 1730, a introdus conceptul funcției gamma sub forma unei integrale clasice. El a publicat aceste rezultate în revista Academiei de Științe din Sankt Petersburg în 1729-1730.

Generalizări

Factorial dublu

Factorialul dublu al unui număr n se notează n ‼ și este definit ca produsul tuturor numerelor naturale din segmentul [1, n ] care au aceeași paritate cu n .

Pentru n chiar :

n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2)) 2i = 2^{{\color{white}1}^{\ !\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Pentru n impar :

n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{{i=0}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}(2i +1)={\frac {n!}{2^{{{\culoare {alb}1}^{{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2))))} }\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}

Relația dintre factorii dubli ai două numere întregi nenegative adiacente și factorialul obișnuit al unuia dintre ele.

n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}

Derivarea formulelor

Formula pentru n par :

n!! = 2^{{\culoare{alb}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Derivarea formulei: $\begin{align}n!! & = {\color{Gri}\underbrace{\color{Negru}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Negru}\tfrac{n}{2))} = { \color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Negru}\tfrac{n}{2))} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color {Negru}\tfrac{n}{2}}} = \\ & = {2^{{\culoare{alb}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{alb} 1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{align}$

Un exemplu care ilustrează derivarea formulei utilizate mai sus:

\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = \\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}

Formula pentru n impar :

n!! = \frac{n!}{2^{{\color{alb}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}

Derivarea formulei: $\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Negru}\frac{n+1}{2} )) = \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Black}\frac{n -1}{2))} \cdot {\color{Gray}\overbrace{\color{Negru}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^ {\color{Negru}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n- 1)))_{\color{Negru}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Gray}\overbrace{\color{Negru}1 \cdot {\color {OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color {OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Negru}n}} {\color{Grey}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \ cdot (n-1)}}_{\color{Negru}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Gray}\underbrace{{\color{Negru}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Negru}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1 )!!} \end{align}$ Astfel, este posibil să se arate relația dintre factorii dubli ai două numere întregi nenegative adiacente prin factorialul obișnuit al unuia dintre ei. În continuare, continuăm să derivăm formula pentru factorialul dublu de impar n . Să ne întoarcem cu un pas înapoi (înainte de apariția explicită a lui ( n -1)!! ) și să efectuăm câteva transformări algebrice identice asupra numitorului: $\begin{align}& {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)))_{\color{Black}\frac {n-1}{2))} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Negru}\tfrac{ n-1}{2}}} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} _{\color{Negru}\tfrac{n-1}{2}}} = \\ & = {2^({\color{alb}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2))} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\ culoare{alb}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{align}$ Înlocuim expresia rezultată pentru numitor înapoi în formula pentru : $n!!$ $n!! = \frac{n!}{2^{{\color{alb}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}$

Un exemplu care ilustrează derivarea formulei utilizate mai sus:

{\begin{aligned}15!!&={\frac {15!}{2^{({\color {alb}1}^{{\!\!\!\!{\frac {15-1} {2))))))\cdot \left({\frac {15-1}{2}}\right)!}}={\frac {15!}{2^{({\culoare {alb} 1}^{{\!\!\!7))))\cdot 7!))=\\&={\color {alb}\overbrace {\color {Black}{\frac {1\cdot 2\ cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)))))=\\&={\color {alb}\ overbrace {\color {Negru}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}} }}=\\&={\culoare {alb}\overbrace {\color {Negru}{\frac {1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\ cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot 9\cdot {\color {OliveGreen}10}\cdot 11\cdot {\color {OliveGreen}12 }\cdot 13\cdot {\color {OliveGreen}14}\cdot 15}{\color {Ol iveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14))))=\\&={\color {alb}\overbrace {\color {Negru}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}=2027025\end{aligned}}

După ce am făcut înlocuirea pentru n par și , respectiv, pentru n impar , unde este un întreg nenegativ, obținem: $n=2k$ $n=2k+1$ $k$

pentru un număr par:

(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{{i=1}}^{{k}}2i=2^{k}\cdot k!

pentru un numar impar:

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{{i=0}}^{{k}}(2i+1)={ \frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}

Prin acord : De asemenea, această egalitate este valabilă în mod firesc: $0!! = 1$

0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1

Factorialul dublu, ca și factorialul obișnuit, este definit numai pentru numere întregi nenegative.

Secvența de valori n !! începe așa [16] :

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 753.

Factorial multiplu

Factorialul de m ori al unui număr n este notatși definit după cum urmează. Fie numărul n reprezentat caundeAtunci [17] $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ $n=mk-r,$ $k\in {\mathbb {Z}),$ $r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.$

n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)

Factorialii obișnuiți și dubli sunt cazuri speciale ale factorialului m -fold pentru m = 1 și , respectiv, m = 2 .

Factorialul multiplu este legat de funcția gamma prin următoarea relație [18] :

n\underbrace {!!\ldots !}_{m}=\prod _{{i=1}}^{{k}}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right))).

De asemenea, este posibil să scrieți factorialul multiplu într-o formă prescurtată . $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ $n!_{(m))$

Factorial incomplet

Factorial descrescător

Factorialul descrescător este expresia

(n)_k = n^{\underline{k)) = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n! }{(nk)!} = \prod_{i=n-k+1}^ni

De exemplu:

n = 7; k = 4 ( n − k ) + 1 = 4, nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Factorialul descrescător dă numărul de plasări de la n la k .

Creșterea factorială

Un factorial crescător este o expresie

n^{(k)} = n^{\overline{k)) = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1) !}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.

Primorial sau primorial

Primorial sau primorial ( ing. primorial ) unui număr n este notat cu p n # și este definit ca produsul primelor n numere prime. De exemplu,

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310

Uneori, un primorial este un număr definit ca produsul tuturor numerelor prime care nu depășesc un n dat . $n\#$

Secvența primariilor (inclusiv ) începe astfel [19] : ${\textstyle{1\# \equiv 1}}$

1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 , 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800, …

Fibonorial sau fibonaccial

Produsul primelor numere Fibonacci. Scris n ! F. _

De exemplu: 6! F = . $1\times 1\times 2\times 3\times 5\times 8=240$

Superfactoriale

Neil Sloane și Simon Plouffet în 1995 au definit superfactorialul ca produsul primilor n factoriali. Conform acestei definiții, superfactorialul lui patru este egal cu

\operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288

(de vreme ce nu există o denumire stabilită, se folosește una funcțională).

În întregime

\operatorname{sf}(n) =\prod_{k=1}^nk! =\prod_{k=1}^nk^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n ^1.

Secvența superfactorialelor de numere începe astfel [20] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 , 265 790 267 296 391 960.000.000.000.000.000.000

Ideea a fost generalizată în 2000 de Henry Bottomley , ceea ce a condus la hiperfactoriale ( ing. Hyperfactorial ), care sunt produsul primelor n superfactoriale. Secvența hiperfactorialelor de numere începe astfel [21] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Continuând în mod recurent , se poate defini factorialul cu mai multe niveluri , sau factorialul de nivel m al lui n , ca produsul factorilor de nivel ( m - 1) ai numerelor de la 1 la n , adică.

\operatorname {mf}(n,m)=\operatorname {mf}(n-1,m)\operatorname {mf}(n,m-1)=\prod _{{k=1}}^{n} k^{{n-k+m-1 \alege nk}},

unde pentru si $\operatorname{mf}(n,0)=n$ $n>0$ $\operatorname{mf}(0,m)=1.$

Subfactorial

Subfactorial ! n este definit ca numărul de permutări de ordinul n , adică permutări ale unui set de n elemente fără puncte fixe .

Vezi și

Factorion

Note

↑ Şase miliarde două sute douăzeci şi şapte de milioane douăzeci de mii opt sute
↑ Optzeci și șapte de miliarde o sută șaptezeci și opt de milioane două sute nouăzeci și una mie două sute
↑ Un trilion trei sute șapte miliarde șase sute șaptezeci și patru de milioane trei sute șaizeci și opt de mii
↑ Douăzeci de trilioane nouă sute douăzeci și două de miliarde șapte sute optzeci și nouă de milioane opt sute optzeci și opt de mii
↑ Trei sute cincizeci și cinci de trilioane șase sute optzeci și șapte de miliarde patru sute douăzeci și opt de milioane nouăzeci și șase de mii
↑ Șase cvadrilioane patru sute două trilioane trei sute șaptezeci și trei miliarde șapte sute cinci milioane șapte sute douăzeci și opt de mii
↑ O sută douăzeci și unu cvadrilioane șase sute patruzeci și cinci de trilioane o sută de miliarde patru sute opt milioane opt sute treizeci și două de mii
↑ Două chintilioane patru sute treizeci și două de cvadrilioane nouă sute două trilioane opt miliarde o sută șaptezeci și șase milioane șase sute patruzeci de mii
↑ Cincisprezece septilioane cinci sute unsprezece sextilioane două sute zece chintilioane patruzeci și trei de cvadrilioane trei sute treizeci de trilioane nouă sute optzeci și cinci de miliarde nouă sute optzeci și patru de milioane
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один sextilioane cinci sute șaizeci și opt de chintilioane nouă sute șaizeci de trilioane cinci sute douăsprezece trilioane
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста cincizeci și opt de novemdecilion nouă sute treizeci și opt de octodecilion o sută patruzeci și doi de septdecilion cinci sute patruzeci și șase de cedecilion patru sute douăzeci și cinci de quindecilion opt sute cincizeci și șapte cvattuordecilion cinci sute cincizeci și cinci de decilioni trei sute cincizeci și cinci de decilioni -două dodecilion opt sute șaizeci și patru de undecilion șase sute douăzeci și opt decilioane nouă nonilioane cinci sute optzeci și doi de octilion șapte sute optzeci și nouă de septi milioane opt sute patruzeci și cinci de sextilioane trei sute nouăsprezece chintilioane șase sute optzeci de cvadrilioane
↑ Coeficienții acestei expansiuni dau A001163 (numeratori) și A001164 (numitori)
↑ Crump, Christian . Consultat la 19 septembrie 2016. Arhivat din original pe 19 septembrie 2016. (nedefinit)
↑ Pearson, Karl (1924), Notă istorică despre originea curbei normale a erorilor , Biometrika vol . 16: 402–404 [p. 403] , DOI 10.2307/2331714 : „Stirling a arătat doar că constanta aritmetică din formula lui De Moivre este . Cred că acest lucru nu îl face autorul teoremei”. ${\sqrt {2\pi ))$
↑ Donald Knuth . Arta programarii, Volumul I. Algoritmi de baza. - M .: Mir , 1976. - S. 79-81. — 736 p.
↑ Secvența OEIS A006882 _
↑ „Enciclopedia pentru copii” Avanta +. Matematica.
↑ wolframalpha.com Arhivat la 1 noiembrie 2013 la Wayback Machine .
↑ Secvența A002110 în OEIS
↑ Secvența OEIS A000178 _
↑ Secvența OEIS A055462 _

Semne matematice

Plus ( + )
minus ( - )
Semnul de înmulțire ( · sau × )
Semn de diviziune ( : sau / )
Obelus ( ÷ )
Semn rădăcină ( √ )
Factorial ( ! )
Semnul integral ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Semn egal ( = , ≈ , ≡ etc. )
Semne de inegalitate ( ≠ , > , < etc. )
Proporționalitate ( ∝ )
Paranteze ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Bară verticală ( | )
Slash, slash ( / )
Bară oblică inversă, bară oblică inversă ( \ )
Semnul infinit ( ∞ )
Semnul gradului ( ° )
Cursa ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Asterisc ( * )
Procent ( % )
ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflexă ( ˆ )
Plus-minus ( ± )
Semnul minus-plus ( ∓ )
Separator zecimal ( , sau . )
Caracterul de sfârșit al probei ( ∎ )