Ipotezele lui Tate

Ipotezele lui Tate  sunt trei ipoteze făcute de matematicianul din secolul al XIX-lea Peter Guthrie Tate în timp ce studia nodurile [1] . Ipotezele lui Tate implică concepte din teoria nodurilor, cum ar fi nodurile alternante , chiralitatea și numărul de răsucire . Toate conjecturile lui Tate au fost dovedite, ultima fiind conjectura inversă.

Fundal

Tate a venit cu ipotezele sale la sfârșitul secolului al XIX-lea, după ce a încercat să tabuleze toate nodurile. În calitate de fondator al teoriei nodurilor, opera sa nu a avut un fundament matematic riguros și nu este în întregime clar dacă și-a extins ipotezele la toate nodurile sau doar la nodurile alternante . S-a dovedit că cele mai multe dintre ele sunt adevărate doar pentru nodurile alternative [2] . În conjecturile lui Tate, se spune că o diagramă de noduri este „redusă” dacă toate „gâturile” sau „încrucișările banale” sunt eliminate.

Numărul de intersecții ale nodurilor alternative

Tate a sugerat că, în anumite circumstanțe , numărul de intersecție este un invariant de nod , în special:

Orice diagramă redusă a unei legături alternative are cel mai mic număr posibil de intersecții.

Cu alte cuvinte, numărul de intersecții ale unei legături alternative reduse este un invariant de nod. Această presupunere a fost dovedită de Louis Kaufman, Kunio Murasugi (村杉邦男) și Morven B. Thistlethwaite în 1987 folosind polinomul Jones [3] [4] [5] .

O demonstrație geometrică care nu folosește polinoame de noduri a fost dată în 2017 de Joshua Green [6] .

Numărul de răsucire și chiralitate

A doua ipoteză a lui Tate:

O legătură alternativă amfiharală (sau achirală) are un număr de răsucire zero.

Această presupunere a fost demonstrată și de Kaufman și Thistlethwaite [3] [7] .

Flipping

Ipoteza inversării lui Tate poate fi formulată după cum urmează:

Având în vedere două diagrame alternante abreviate și o legătură alternativă simplă orientată, atunci diagrama poate fi transformată într- o secvență de un fel de operații numite inversare [8]

Ipoteza inversării lui Tate a fost dovedită de Thistlethwaite și William Menasco în 1991 [9] . Mai multe alte ipoteze Tate decurg din conjectura de inversare a lui Tate:

Oricare două diagrame reduse ale aceluiași nod alternativ au același număr de răsucire.

Acest lucru decurge din faptul că răsucirea păstrează numărul de răsucire. Acest fapt a fost dovedit mai devreme de Murasugi și Thistlethwaite [7] [10] . Aceasta rezultă și din lucrarea lui Green [6] . Pentru nodurile nealternante, această presupunere nu este adevărată și perechea Perco este un contraexemplu [2] .

Acest rezultat implică și următoarea presupunere:

Nodurile amfichirale alternate au un număr par de intersecții [2] .

Acest lucru rezultă din faptul că nodul oglinzii are numărul de răsucire opus. Această ipoteză este din nou adevărată numai pentru nodurile alternante - există un nod amfichiral nealternant cu 15 intersecții [11] .

Vezi și

Note

  1. ↑ Lickorish, 1997 , p. 47.
  2. ↑ 1 2 3 Stoimenow, 2008 , p. 285–291.
  3. ↑ 1 2 Kauffman, 1987 , p. 395–407.
  4. ↑ Murasugi, 1987 , p. 187–194.
  5. ↑ Thistlethwaite, 1987 , p. 297–309.
  6. ↑ 12 Greene , 2017 , p. 2133–2151.
  7. ↑ 1 2 Thistlethwaite, 1988 , p. 311–318.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures  pe site-ul Wolfram MathWorld .
  9. ↑ Menasco, Thistlethwaite, 1993 , p. 113–171.
  10. ↑ Murasugi, 1987 , p. 317–318.
  11. ^ Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot pe site- ul Wolfram MathWorld .  

Literatură