Grupul clasei de transformare a suprafeței

Grupul de clasă al transformărilor de suprafață este grupul homeomorfismelor până la deformare continuă. Ea apare în mod natural în studiul varietăților tridimensionale și este legată de alte grupuri, în special de grupurile de împletituri și grupul de automorfisme exterioare ale unui grup.

Grupul de clase de cartografiere poate fi definit pentru varietăți arbitrare și pentru spații topologice arbitrare, dar cazul suprafețelor este cel mai studiat în teoria grupurilor .

Istorie

Studiul cartografierii grupurilor de clasă a fost inițiat de Max Dehn și Jakob Nielsen . Dehn a construit un sistem finit de generatoare pentru acest grup, [1] iar Nielsen a demonstrat că toate automorfismele grupurilor fundamentale de suprafețe sunt inițiate de homeomorfisme.

La mijlocul anilor șaptezeci , William Thurston a folosit acest grup în studiul varietăților tridimensionale. [2]

Mai târziu, grupul de clasă a început să fie studiat în teoria grupurilor geometrice , unde servește drept teren de testare pentru diverse ipoteze și dezvoltarea instrumentelor tehnice.

Definiție

Să existe o suprafață conectată , închisă , orientabilă și un grup de homeomorfisme care păstrează orientarea, echipate cu o topologie compact-deschisă . $S$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

Componenta conexă a unității în se notează cu . Se compune din homeomorfisme izotopice homeomorfismului identitar. Un subgrup este un subgrup normal . $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

Grupul de clasă al transformărilor suprafeței de cartografiere este definit ca grup de coeficient $S$

\mathrm {Mod} (S)=\mathrm {Homeo} ^{+}(S)/\mathrm {Homeo} _{0}(S).

Note

Dacă folosim toate homeomorfismele în această definiție (nu numai pe cele care păstrează orientarea), obținem un grup extins de clase de transformare , în care grupul este conținut ca subgrup de indice 2. $\mathrm {Mod} ^{\pm }(S)$ $\mathrm {Mod} (S)$

Această definiție poate fi dată și pentru categoria difeomorfisme . Mai exact, dacă cuvântul „homeomorfism” este înlocuit peste tot cu „ difeomorfism ”, obținem același grup, deoarece includerea induce un izomorfism de către clasele corespunzătoare. $\mathrm {Dif} ^{+}(S)\subset \mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

În cazul în care este o suprafață compactă cu graniță , în definiție sunt luate doar homeomorfisme care fixează toate punctele de pe graniță. $S$ $\partial S$

Pentru suprafețele cu puncte perforate, grupul este definit exact în același mod ca mai sus.
- Rețineți că maparea clasei este permisă pentru a rearanja punctele perforate, dar nu și componentele marginii.

Exemple

Grupul claselor de transformare ale sferei este banal.
Grupul de clasă de cartografiere a torilor este în mod natural izomorf cu grupul modular . $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2)$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$
Grupul de clasă de cartografiere al unui inel este grupul ciclic format dintr-o singură răsucire Dehn .
Grupul de împletituri cu n fire este izomorf în mod natural cu grupul de clase de transformare a discului cu n puncte perforate.

Proprietăți

Grupul de clase de transformări de suprafață este numărabil .

Grupul de clasă de transformare extins al unei suprafețe fără graniță este izomorf cu grupul de automorfism al grupului său fundamental.
- Mai mult, orice automorfism al grupului fundamental este indus de un homeomorfism de suprafață.
- În general, afirmația încetează să fie adevărată pentru suprafețele cu o limită. În acest caz, grupul fundamental este un grup liber, iar grupul de automorfisme exterioare ale grupului include grupul clasei de transformare a suprafeței ca subgrup propriu-zis.

Pentru o suprafață compactă și există o secvență exactă $S$ $x\în S$ $1\to \pi _{1}(S,x)\to \mathrm {Mod} (S\setminus \{x\})\la \mathrm {Mod} (S)\la 1.$

Orice element al grupului de clase de transformare a suprafeței se încadrează în una dintre cele trei categorii: $\alfa$
- $\alfa$ are o ordine finită (adică pentru unii ); $\alpha ^{n}=1$ $n$
- $\alfa$ este reductibilă, adică există un set de curbe închise neintersectate pe , care se păstrează sub acțiunea lui ; $S$ $\alfa$
- $\alfa$ pseudo-Anosov .

Se poate genera un grup de clase de transformare a suprafeței
- Două elemente [3]
- Involuții [4]
- Există o ultimă sarcină cu Den twist ca generatoare.
  - Cel mai mic număr de răsuciri Dehn care formează grupul de clasă de transformări ale suprafeței unui gen este . $g\geqslant 2$ $2g+1$

Grupul de clasă de transformare al unei suprafețe acționează în mod natural asupra spațiului său Teichmüller .
- Această acțiune este de fapt discontinuă , nu gratuită.
- Metricale din spațiul Teichmüller pot fi folosite pentru a stabili unele proprietăți globale ale unui grup de clase de transformare. De exemplu, rezultă din aceasta că planul maxim cvasiizometric încorporat în grupul de clasă de transformări ale suprafeței genului are dimensiunea . [5] $g$ $3g-3+k$

Grupul de clase de transformări ale unei suprafețe acționează în mod natural asupra complexului de curbe al suprafeței. Această acțiune, împreună cu proprietățile combinatoriale-geometrice ale unui complex de curbe, pot fi utilizate pentru a demonstra diferite proprietăți ale unui grup de clase de transformare.
- În special, aceasta explică proprietățile grupului apropiate de hiperbolicitatea lui Gromov .

Prima omologie a grupului de clase de transformări de suprafață este finită.
- De aici rezultă că primele grupuri de coomologie sunt, de asemenea, finite.

Grupul de clasă al transformărilor de suprafață este rezidual finit .

Grupul claselor de transformare a suprafeței are doar un număr finit de clase de conjugație.

Nu se știe dacă grupul de clasă al transformărilor de suprafață este un grup liniar. Pe lângă reprezentările simplectice despre omologie, există și alte reprezentări liniare care decurg din teoria cuantică topologică a câmpului. Imaginile acestor reprezentări sunt cuprinse în grupuri aritmetice care nu sunt simplectice [6] .
Dimensiunea unei acțiuni non-triviale a unui grup de clase de transformări ale unei suprafețe a unui gen nu poate fi mai mică de [7] . $g$ $2{\sqrt {g-1}}$

Note

↑ Dehn, Max. Die Gruppe de Abbildungsklassen (neopr.) // Acta Mathematica . - 1938. - T. 69 . - S. 135-206 . - doi : 10.1007/bf02547712 .
↑ Thurston, William P. On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces // Bull . amer. Matematică. soc. : jurnal. - 1988. - Vol. 19 . - P. 417-431 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1988-15685-6 .
↑ Wajnryb, B. Grupul de clasă de cartografiere al unei suprafețe este generat de două elemente // Topologie : jurnal. - 1996. - Vol. 35 . - P. 377-383 . - doi : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .
↑ Tara E. Brendle, Benson Farb. Fiecare grup de clase de cartografiere este generat de 3 elemente de torsiune și de 6 involuții // J. Algebra : jurnal. - 2004. - Vol. 278 . MR : 187C198
↑ Alex Eskin, Howard Masur, Kasra Rafi (2014), Large scale rank of Teichmüller space, arΧiv : 1307.3733 [math.GT]. .
↑ Masbaum, Gregor și Reid, Alan W. Toate grupurile finite sunt implicate în grupul clasei de cartografiere // Geom . Topol. : jurnal. - 2012. - Vol. 16 . - P. 1393-1411 . - doi : 10.2140/gt.2012.16.1393 . MR : 2967055
↑ Benson Farb, Alexander Lubotzky, Yair Minsky. Fenomene de rang 1 pentru cartografierea grupurilor de clasă (neopr.) // Duke Math. J.. - 2001. - T. 106 . - S. 581-597 . MR : 1813237

Literatură

Alexei Jirov. Conjugarea topologică a homeomorfismelor pseudo-Anosov. - MTSNMO, 2013. - 1000 de exemplare. - ISBN 978-5-4439-0213-5 .
AA Gayfulin , Grupuri de clase de cartografiere și subgrupurile lor Arhivat 17 septembrie 2017 la Wayback Machine .