Diferenţial (matematică)

Diferențial (din latină differentia „diferență, diferență”) este partea liniară a incrementului unei funcții .

Notație

De obicei, diferența unei funcții se notează cu . Unii autori preferă să folosească romanul pentru a sublinia că diferenţialul este un operator . $f$ $df$ ${{\rm {d}}}f$

Diferenţialul într-un punct este notat cu , iar uneori prin sau , precum şi prin , dacă sensul este clar din context. $x_{0}$ $d_{{x_{0}}}f$ $df_{{x_{0}}}}$ $df[x_{0}]$ $df$ $x_{0}$

În consecință, valoarea diferenţialului la punctul de la poate fi notat ca , și uneori sau , și de asemenea , dacă sensul este clar din context. $x_{0}$ $h$ $d_{{x_{0}}}f(h)$ $df_{{x_{0}}}(h)$ $df[x_{0}](h)$ $df(h)$ $x_{0}$

Utilizarea semnului diferențial

Semnul diferenţialului este folosit în expresia pentru integrală . În acest caz, uneori (și nu chiar corect) diferența este introdusă ca parte a definiției integralei $\int f(x)\, dx$ $dx$ .
De asemenea, semnul diferenţialului este folosit în notaţia Leibniz pentru derivată . Această notație este motivată de faptul că pentru diferențele unei funcții și ale funcției identice, relația este adevărată: $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$ $f$ $X$ $d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.$

Definiții

Pentru funcții

Diferenţialul unei funcţii într-un punct poate fi definit ca o funcţie liniară $f\colon {\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$ $x_{0}\în {\mathbb {R}}$

d_{{x_{0}}}f(h)=f'(x_{0})h,

unde denotă derivata în punctul , și este incrementul argumentului la trecerea de la la . $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $h$ $x_{0}$ $x_{0}+h$

Astfel, există o funcție a două argumente . $df$ $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{{x_{0}}}f(h)$

Diferenţialul poate fi definit direct, adică fără a implica definirea unei derivate, ca o funcţie care depinde liniar de , şi pentru care următoarea relaţie este adevărată $d_{{x_{0}}}f(h)$ $h$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Pentru afișaje

Diferenţialul unei mapări într-un punct este o mapare liniară astfel încât condiţia $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\la {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\în {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\la {\mathbb {R}}^{m}$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Definiții înrudite

O mapare este numită diferențiabilă într-un punct dacă diferența este definită . $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\la {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\în {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\la {\mathbb {R}}^{m}$

Proprietăți

Matricea unui operator liniar este egală cu matricea jacobiană ; elementele sale sunt derivate parțiale . $d_{{x_{0}}}f$ $f$
- Rețineți că matricea Jacobi poate fi definită într-un punct în care diferența nu este definită.
Diferenţialul unei funcţii este legat de gradientul acesteia prin următoarea relaţie constitutivă $f$ $\nabla f$ $d_{{x_{0}}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

Istorie

Termenul „diferențial” a fost introdus de Leibniz . Inițial, a fost folosit pentru a desemna „ infinizimal ” - o cantitate care este mai mică decât orice cantitate finită și totuși nu este egală cu zero. Această viziune sa dovedit a fi incomod în majoritatea ramurilor matematicii, cu excepția analizei non-standard . $dx$

Variații și generalizări

Conceptul de diferenţial conţine mai mult decât o diferenţială a unei funcţii sau mapare. Poate fi generalizat pentru a da diverse entități importante în analiza funcțională , geometria diferențială, teoria măsurării, analiza non-standard, geometria algebrică și așa mai departe.

Literatură

G. M. Fikhtengolts „Curs de calcul diferențial și integral”

Dicționare și enciclopedii	mare danez Un norvegian grozav in jurul lumii Micul Brockhaus și Efron Treccani

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare

Calculul infinitezimalelor și infinitezimalelor
Poveste	Notația Leibniz Semn integral Metoda indivizibililor
Destinații înrudite	Analiză personalizată
Formalisme	Diferenţial
Concepte	Parte standard a unui număr Principiul tranziției Hyperinteger Teorema creșterii Monad Set intern Câmpul din Levi-Civita Hyperfinite set Legea continuității preaplin Microcontinuitate Legea transcendentă a omogenității
Oamenii de știință	Arhimede Leibniz Robinson Fermă Cauchy Euler
Literatură	Analiza infinitezimale Calcule elementare Curs de analiză

Derivate ale literei latine D, d
Scrisori	РР ð̤ ð̞ Ꟈꟈ Ďď d̯ Đđ Ɖɖ Ɗɗ Ƌƌ Ḋḋ Ḍḍ Ḏḏ Ḑḑ D̦d̦ D̂d̂ D̓d̓ d̈ D̤d̤ Ḓḓ Dd Ḍ́ḍ́ D̲d̲ d̪ d͔ d͕ ȡ ᶑ ᶑ̥ ᴅ ᴆ ᴅ́ ᴅ̣ ᴅ͔ ᴅ͕ ᵭ ꝱ ȸ e̥ ᶁ Ǳǲǳ Ǆǅǆ ʣ ʤ 𝼒 𝼙 ꭦ ʥ Ꝺꝺ
Simboluri	ⅅ/ⅆ ∂ ₫ ₰ 𝄊 𝄉 Ⓓⓓ ⒟