Integrală dependentă de parametri

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 noiembrie 2014; verificările necesită 5 modificări .

O integrală care depinde de un parametru este o expresie matematică care conține o integrală definită și depinde de una sau mai multe variabile („parametri”).

Eigenintegral dependent de parametri

Fie dat un domeniu într-un spațiu euclidian bidimensional pe care este definită o funcție a două variabile. $\overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}$ $f(x,y)$

Mai departe, . $\forall y\în \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$

Funcția și se numește integrală în funcție de parametru. $I(y)$

Proprietățile unei integrale în funcție de un parametru

Continuitate

Fie funcția continuă în domeniu în funcție de două variabile. Apoi funcția este continuă pe segmentul . $f(x,y)$ $\overline{G}$ $I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\, dx$ $[c;d]$

Dovada

Luați în considerare incrementul integralei în funcție de parametru. $\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^bf\left(x,y+\Delta y\right) \,dx-\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

După teorema lui Cantor , o funcție continuă pe o mulțime compactă este uniform continuă pe ea, i.e. $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Prin urmare, pentru , ceea ce înseamnă continuitatea funcției $\Delta I(y) < \epsilon(ba)$ $\Delta y < \delta$

Diferențierea sub semnul integral

Să fie acum nu numai funcția continuă pe domeniu , ci și derivata sa parțială . $\overline{G}$ $f(x,y)$ $\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )$

Atunci , sau, care este același, $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ $\frac {d} {dy} \int\limits_a^bf(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$

Dovada

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+ \Theta \Delta y)dx$ $( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Aceste transformări au fost efectuate folosind teorema medie Lagrange . Luați în considerare acum expresia . $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\ limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x, y\dreapta) \dreapta) \, dx$

Folosind din nou teorema lui Cantor , dar pentru funcția obținem aceea pentru , ceea ce demonstrează această teoremă $\frac {\partial f} {\partial y}$ $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1 )$ $\Delta(y) \la 0$