O integrală care depinde de un parametru este o expresie matematică care conține o integrală definită și depinde de una sau mai multe variabile („parametri”).
Fie dat un domeniu într-un spațiu euclidian bidimensional pe care este definită o funcție a două variabile.
Mai departe, .
Funcția și se numește integrală în funcție de parametru.
Fie funcția continuă în domeniu în funcție de două variabile. Apoi funcția este continuă pe segmentul .
DovadaLuați în considerare incrementul integralei în funcție de parametru.
.
După teorema lui Cantor , o funcție continuă pe o mulțime compactă este uniform continuă pe ea, i.e.
.
Prin urmare, pentru , ceea ce înseamnă continuitatea funcției
Diferențierea sub semnul integralSă fie acum nu numai funcția continuă pe domeniu , ci și derivata sa parțială .
Atunci , sau, care este același,
DovadaAceste transformări au fost efectuate folosind teorema medie Lagrange . Luați în considerare acum expresia .
Folosind din nou teorema lui Cantor , dar pentru funcția obținem aceea pentru , ceea ce demonstrează această teoremă
Integrare sub semnul integralDacă funcția este continuă în domeniul , atunci
, sau, care este același:
Dovada
Luați în considerare două funcții:
pe , prin urmare .
De când , atunci Na . Inlocuind se obtine conditia teoremei.
Calcul integral | ||
---|---|---|
Principal | ||
Generalizări ale integralei Riemann | ||
Transformări integrale |
| |
Integrare numerică | ||
teoria măsurării | ||
subiecte asemănătoare | ||
Liste de integrale |