Poliedru cvasiregular

Un poliedru cvasiregular ( din latină quas (i) „cum ar fi”, „ceva asemănător”) este un poliedru semiregular care are exact două tipuri de fețe regulate , urmând alternativ în jurul fiecărui vârf. Acești politopi sunt tranzitivi de margine , și, prin urmare, cu un pas mai aproape de politopii obișnuiți decât cei semi-regulari, care sunt doar tranzitivi de vârf .

Cifre aproape regulate

(3.3) 2	(3.4) 2	(3,5) 2	(3.6) 2	(3,7) 2	(3,8) 2	(3.∞) 2
$\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 6 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 7 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ 8 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ \infin \end{Bmatrix}$
r{3,3}	r{3,4}	r{3,5}	r{3,6}	r{3,7	r{3,8	r{3,∞}


Poliedre sau plăci cvasi-regulate au exact două tipuri de fețe regulate, care sunt dispuse alternativ în jurul fiecărui vârf. Formele vârfurilor lor sunt dreptunghiuri .

Există doar două poliedre cvasiregulare convexe , cuboctaedrul și icosidodecaedrul . Numele acestor poliedre, date de Kepler , provin din înțelegerea faptului că fețele lor conțin toate fețele perechii duale de cub și octaedru în primul caz și ale perechii duale de icosaedru și dodecaedru în al doilea.

Aceste forme, reprezentate printr-o pereche (un politop obișnuit și dualul său), pot fi date de simbolul Schläfli vertical sau r{p, q} pentru a reprezenta fețele atât ale {p, q} regulate, cât și ale dualului {q, p} politopuri. Un poliedru cvasiregular cu acest simbol are o configurație de vârf pqpq (sau (pq) 2 ). $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$

Mai general, figurile cvasi-regulate pot avea o configurație de vârf (pq) r , reprezentând r (2 sau mai multe) tipuri diferite de fețe în jurul vârfului.

Mozaicele în plan pot fi, de asemenea, cvasi-regulate, în special, o placare trihexagonală cu configurație de vârf (3.6) 2 . În planul hiperbolic există și alte plăci cvasiregulare [en], cum ar fi trisemigonal (3.7) 2 . Aceasta include (pq) 2 plăci , cu 1/p+1/q<1/2.

Unele poliedre și plăci obișnuite (care au un număr par de fețe la fiecare vârf) pot fi, de asemenea, tratate ca cvasi-regulate prin împărțirea fețelor în două seturi (ca și cum le-am fi pictat în culori diferite). O figură obișnuită cu simbolul Schläfli {p, q} poate fi cvasi-regulară și va avea o configurație de vârf (pp) q/2 dacă q este par.

Cifre obișnuite și cvasi-regulate

Triunghiuri dreptunghiulare (pag. 2) [1]
{3,4} r{3,3}	{4,4} r{4,4}	{5,4} r{5,5}	{6,4} r{6,6}	{7,4} r{7,7}	{8,4} r{8,8}	{∞,4} r{∞,∞}
$\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 5 \\ 5 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 6 \\ 6 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 7 \\ 7 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} 8 \\ 8 \end{Bmatrix}$	$\begin{Bmatrix} \infin \\ \infin \end{Bmatrix}$
(3.3) 2	(4.4) 2	(5,5 2	(6,6 2	(7,7 2	(8,8 2	(∞.∞) 2

	Parchet pătrat	Placare cu 5 unghiuri de ordinul 4	Placare hexagonală de ordinul 4	Placarea 7-gonale de ordinul al 4-lea	Placare octogonală de ordinul 4	Tiling unghi ∞ de ordinul 4
Triunghiuri generale (pag. 3) [2]
{3,6}	{4,6	{5,6	{6,6	{7,6	{8,6	{∞,6}
(3.3) 3	(4.4) 3	(5,5) 3	(6,6) 3	(7,7) 3	(8,8) 3	(∞.∞) 3


Triunghiuri generale (pag. 4)
{3,8	{4,8	{5,8	{6,8	{7,8	{8,8	{∞,8
(3.3) 4	(4.4) 4	(5,5) 4	(6,6) 4	(7,7) 4	(8,8) 4	(∞.∞) 4


Un poliedru obișnuit sau tigla poate fi considerat cvasi-regular dacă are un număr par de fețe la fiecare vârf (și, prin urmare, poate fi vopsit în două culori, astfel încât fețele învecinate să aibă culori diferite).

Octaedrul poate fi considerat cvasiregular ca un tetratetraedru , (3 a .3 b ) 2 , cu fețe triunghiulare colorate alternativ. În mod similar, placarea pătrată (4 a .4 b ) 2 poate fi considerată cvasi-regulată atunci când este colorată în stilul unei table de șah . De asemenea, fețele unei plăci triunghiulare pot fi vopsite în două culori alternative, (3 a .3 b ) 3 .

Construcția lui Wythoff

Politopii regulați ( p \| 2 q ) și cvasi-regulari ( 2 \| pq ) sunt obținuți prin construcția Wythoff cu un punct generator la unul dintre cele 3 colțuri ale domeniului fundamental. Aceasta definește o singură muchie în interiorul regiunii fundamentale.

Coxeter definește un politop cvasi-regular ca un politop având un simbol Wythoff de forma p | qr , și va fi corect dacă q=2 sau q=r [3] .

Diagramele Coxeter-Dynkin sunt o altă formă de reprezentare simbolică care vă permite să arătați relația dintre două forme duale-regulate:

Simbolul Schläfli		Simbol Wythoff
$\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	{p, q}	q \| 2p
$\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	{q, p}	p \| 2 q
$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	r{p, q}	2 \| pq

Poliedre cvasiregulate convexe

Există două poliedre cvasiregulate convexe :

Cuboctaedru , configurația vârfurilor (3.4) 2 , diagrama Coxeter-Dynkin $\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}$
Icosidodecaedrul , configurația vârfurilor (3.5) 2 , diagrama Coxeter-Dynkin $\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}$

În plus, octaedrul , care este și regulat , , cu configurație de vârf (3.3) 2 , poate fi considerat și cvasiregular dacă fețelor adiacente li se dau culori diferite. În această formă, este uneori numit tetratetraedru. Politopurile regulate convexe rămase au un număr impar de fețe la fiecare vârf și nu pot fi colorate astfel încât să se asigure că muchiile sunt tranzitive. Tetratetraedrul are o diagramă Coxeter-Dynkin $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$ .

Fiecare dintre ele formează nucleul comun al perechii duale de poliedre regulate . Numele (două dintre) aceste nuclee amintesc de perechi duale înrudite, respectiv cub + octaedru și icosaedru + dodecaedru . Octaedrul este nucleul perechii duale de tetraedre , iar atunci când este pregătit în acest fel, este de obicei numit tetratetraedru .

Dreapta	Dual corect	Cvasi-corect	Figura de vârf
Tetraedru {3,3} 3 \| 2 3	Tetraedru {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetraedrul r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Cubul {4,3} 3 \| 24	Octaedru {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctaedru r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
Dodecaedru {5,3} 3 \| 25	Icosaedru {3,5} 5 \| 2 3	Icosidodecaedrul r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5

Fiecare dintre aceste poliedre cvasi-regulate poate fi construit prin trunchierea completă a oricărui părinte, trunchierea completă a marginilor până devin puncte.

Placuri cvasi-regulate

Această secvență este continuată de placarea trihexagonală cu vârful figura 3.6.3.6 , o placare cvasi-regulată bazată pe placarea triunghiulară și placarea hexagonală .

poligon regulat	Dual corect	Cvasi-corect	Figura de vârf
placare hexagonală {6,3} 6 \| 2 3	placare triunghiulară {3,6} 3 \| 26	placare trihexagonală r{5,3} 2 \| 3 6	3.6.3.6

Modelul de șah este o colorare cvasi-regulată a plăcilor pătrate cu piesa de vârf 4.4.4.4 :

poligon regulat	Dual corect	Cvasi-corect	Figura de vârf
{4,4} 4 \| 24	{4,4} 4 \| 24	r{4,4} 2 \| 4 4	4.4.4.4

O placă triunghiulară poate fi, de asemenea, considerată cvasi-regulată, cu trei seturi de triunghiuri alternative la fiecare vârf, (3.3) 3 :

h{6,3} 3 \| 3 3 =

Pe planul hiperbolic (planul Lobachevsky ) această secvență continuă mai departe, de exemplu, placarea trisemigonală cu figura de vârf 3.7.3.7 este o placare cvasi-regulară bazată pe placarea triunghiulară de ordinul 7 și placarea heptagonală .

poligon regulat	Dual corect	Cvasi-corect	Figura de vârf
Placare heptagonală {7,3} 7 \| 2 3	Parchet triunghiular {3,7} 3 \| 27	Placare trisemigonală [ r{3,7} 2 \| 3 7	3.7.3.7

Exemple neconvexe

Coxeter et al. (1954) au clasificat, de asemenea, unele poliedre stelate cu caracteristici cvasi-regulate:

Cele două poliedre se bazează pe perechi duale de solide Kepler-Poinsot obișnuite .

Icosidodecaedrul mare și dodecodecaedrul : $\begin{Bmatrix} 3 \\ 5/2 \end{Bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} 5 \\ 5/2 \end{Bmatrix}$

Dreapta	Dual corect	Cvasi-corect	Figura de vârf
Dodecaedru stelat mare { 5 / 2,3 } 3 \| 2 5/2	Icosaedrul mare {3, 5 / 2 } 5/2 \| 2 3	Icosidodecaedrul mare r{3, 5 / 2 } 2 \| 3 5/2	3,5 / 2,3 ._ _ 5/2 _ _
Dodecaedru mic stelat { 5 / 2,5 } 5 \| 2 5/2	Dodecaedru mare {5, 5 / 2 } 5/2 \| 25	Dodecodecaedru r{5, 5 / 2 } 2 \| 5 5/2	5,5 / 2,5 ._ _ 5/2 _ _

În cele din urmă, există trei tipuri bitrigonale ale căror figuri de vârfuri conțin trei tipuri de fețe alternative:

Imagine	Numele poliedrului Simbol Wythoff Diagrama Coxeter	Figura de vârf
	Dodecodedecaedru bitriunghiular [ 3 \| 5/3 5 sau	(5,5/3) 3
	Icosidodecaedru bitriunghiular mic [ 3 \| 5/2 3 sau	(3,5/2) 3
	Icosidodecaedru bitriunghiular mare [ 3/2 \| 35 sau	((3.5) 3 )/2

Duale aproape regulate

Unii autori exprimă opinia că, din moment ce poliedrele duale la poliedre cvasiregulare au aceleași simetrii, aceste corpuri duale ar trebui considerate și cvasi-regulate, dar nu toți matematicienii sunt de această părere. Aceste poliedre duale sunt tranzitive în ceea ce privește muchiile și fețele lor (dar nu vârfurile lor). Sunt solide catalane tranzitive de margine . Forme convexe, după ordinea poliedrului (ca mai sus):

Dodecaedru rombic cu două tipuri de vârfuri alternante, 8 vârfuri cu 3 fețe rombice și 6 vârfuri cu 4 fețe rombice.
Un rombotriacontaedru cu două tipuri de vârfuri alternante, 20 de vârfuri cu trei fețe rombice și 12 vârfuri cu cinci fețe rombice.

De asemenea, fiind dual cu octaedrul, cubul , care este regulat , poate fi făcut cvasi-regular colorându-și vârfurile cu două culori, astfel încât vârfurile de pe aceeași muchie să aibă culori diferite.

Configurația feței lor are forma V3.n.3.n și diagrama Coxeter-Dynkin


Cubul V(3.3) 2	Rombicodecaedrul V(3.4) 2	Rombotri -acontaedru V(3.5) 2	Placare rombică V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2

Aceste trei poliedre duale cvasiregulate se caracterizează prin prezența fețelor rombice .

Această structură rombică a feței continuă V(3.6) 2 , o placare rombică .

Politopi cvasi-regulari în spațiu 4-dimensional și faguri cvasi-regulari

În spațiul euclidian cu 4 dimensiuni, o celulă hexagonală regulată poate fi considerată cvasi-regulată ca un teseract alternant , h{4,3,3}, diagrame Coxeter-Dynkin :=, formată din celule tetraedrice și tetraedrice alternante . Figura sa de vârf este un tetratetraedru cvasiregular (un octaedru cu simetrie tetraedrică), .

Singurii faguri cvasi-regulați din spațiul euclidian 3 sunt fagurii cubi alternativi , h{4,3,4}, diagrama Coxeter-Dynkin:=, formată din celule tetraedrice şi octaedrice alternante . Figurile lor de vârf sunt cuboctaedre cvasiregulate , [4] .

Într-un spațiu 3-dimensional hiperbolic, fagurii cvasi-regulari sunt fagurii cubi alternativi de ordinul 5 , h{4,3,5}, diagrame Coxeter-Dynkin:=, compus din celule alternante tetraedrice si icosaedrice . Figura vârfului este un icosidodecaedru cvasiregular ,. Fagurii cubici alternanți de ordinul 6 paracompacți asociati , h{ 4,3,6 } au celule alternante tetraedrice și hexagonale cu o figură de vârf care este o placă trihexagonală ..

Politopi și faguri cvasi-regulați: h{4,p,q}

Spaţiu	final	afin	compact	Paracompact
Nume	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
Nume	$\left\{3,{3\atop3}\right\}$	$\left\{3,{3\atop4}\right\}$	$\left\{3,{3\atop5}\right\}$	$\left\{3,{3\atop6}\right\}$	$\left\{4,{3\atop4}\right\}$	$\left\{4,{4\atop4}\right\}$
Diagrama Coxeter


Imagine
Figura vârfurilor r{p,3}

Puteți reduce simetria fagurilor poliedrici regulați de forma {p,3,4} sauCumși obțineți o formă cvasi-corectă, creând o colorare alternativă a celulelor {p,3}. Acest lucru se poate face pentru fagurii cubici euclidieni {4,3,4} cu celule cubice , pentru fagurii hiperbolici compacti {5,3,4} cu celule dodecaedrice și pentru fagurii paracompacți {6,3,4} cu celule de plăci hexagonale finite . Au patru celule în jurul fiecărei margini, vopsite alternativ în 2 culori. Figurile lor de vârf sunt tetraedre cvasiregulate,=.

Celule regulate și cvasiregulate: {p,3,4} și {p,3 1,1 }

Spaţiu	Euclidian 4-dimensional	Euclidian tridimensional	3-dimensional hiperbolic
Nume	{3,3,4} {3,3 1,1 } = $\left\{3,{3\atop3}\right\}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = $\left\{4,{3\atop3}\right\}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } = $\left\{5,{3\atop3}\right\}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } = $\left\{6,{3\atop3}\right\}$
Diagrama Coxeter	=	=	=	=
Imagine
Celule {p,3}

În același mod, se poate înjumătăți simetria fagurilor hiperbolici regulați de forma {p,3,6} sauCumși obțineți o formă cvasi-corectă, setând culoarea alternativă a celulelor {p,3}. Au șase celule în jurul fiecărei margini, vopsite alternativ în 2 culori. Figurile de vârf ale acestora sunt teselații triunghiulare cvasi-regulate ,.

Faguri hiperbolici uniformi : {p,3,6} și {p,3 [3] }

Vedere	Paracompact				Necompact
Nume	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞,3,6} {∞,3 [3] }

Imagine
celule	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Vezi și

Note

↑ Aria fundamentală sub formă de triunghi dreptunghic
↑ Aria fundamentală sub forma unui triunghi general
↑ Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, 1954 , p. 401–450.
↑ Coxeter, 1973 , p. 69, 88.

Literatură

P. Cromwell. Poliedre. - Regatul Unit: Cambridge University Press, 1997. - ISBN 0-521-55432-2 .
HSM Coxeter . Politopi obișnuiți . — ediția a 3-a. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (p.17 Capitolul 2.3: Poliedre cvasi-regulare, p. 69 Faguri cvasi-regulari p. 69
HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Poliedre uniforme // Tranzacții filozofice ale Societății Regale din Londra. Seria A. Ştiinţe matematice şi fizice. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , nr. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — . (Secțiunea 7, Poliedre regulate și cvasi-regulate p | qr )

Link -uri

Weisstein, Eric W. Quasiregular polyhedron (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Uniform polyhedron (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld . Poliedre cvasiregulate: (pq) r
George Hart, Poliedre cvasiregulare Arhivat 2 septembrie 2013.

Dreapta	Dual corect	Cvasi-corect	Figura de vârf
Tetraedru {3,3} 3 \| 2 3	Tetraedru {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetraedrul r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Cubul {4,3} 3 \| 24	Octaedru {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctaedru r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
Dodecaedru {5,3} 3 \| 25	Icosaedru {3,5} 5 \| 2 3	Icosidodecaedrul r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5