Cinematica punctuală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 octombrie 2021; verificările necesită 7 modificări .

Cinematica unui punct este o secțiune a cinematicii care studiază mișcarea mecanică a punctelor materiale .

Sarcina principală a cinematicii este descrierea mișcării cu ajutorul unui aparat matematic fără a analiza motivele care provoacă această mișcare; sunt considerate de dinamică , în special de dinamica unui punct .

Deoarece orice mișcare este un concept relativ și are conținut numai atunci când se specifică la ce corpuri se mișcă obiectul în cauză, mișcarea oricărui obiect în cinematică este studiată cu privire la un cadru de referință , inclusiv:

organism de referință;
un sistem de măsurare a poziției unui corp în spațiu ( sistem de coordonate );
un instrument pentru măsurarea timpului ( ceas ).

Poziția unui punct este determinată de vectorul rază , care descrie complet poziția sa în cadrul de referință selectat. Cea mai vizuală reprezentare a vectorului rază poate fi obținută în sistemul de coordonate euclidian , deoarece baza din acesta este fixă și comună oricărei poziții a corpului. ${\vec {r}}(t)$

Concepte de bază

Un punct material este un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în comparație cu distanțele caracteristice unei probleme date. Deci, Pământul poate fi considerat un Punct Material (P.M.) atunci când se studiază mișcarea sa în jurul Soarelui, un glonț poate fi considerat M.P. atunci când se mișcă în câmpul gravitațional al Pământului, dar nu poate fi considerat ca atare atunci când mișcarea sa de rotație în țeava puștii este luată în considerare. Cu mișcarea de translație , într-un număr de cazuri, cu ajutorul conceptului de MT, se poate descrie și o schimbare a poziției obiectelor mai mari. Deci, de exemplu, o locomotivă care trece pe o distanță de 1 metru poate fi considerată M.T., deoarece orientarea sa față de sistemul de coordonate în timpul mișcării este fixă și nu afectează formularea și cursul rezolvării problemei.

Vector rază - un vector care determină poziția unui punct material în spațiu:. Iată coordonatele vectoruluirază. Reprezentat geometric printr-un vector desenat de la origine la un punct material. Dependența vectorului rază (sau coordonatele sale) de timpse numește legea mișcării . ${\vec {r}}=\{r_{1},r_{2},...,r_{n}}\}$ $r_{1},r_{2},...,r_{n)$ $r_{i}=r_{i}(t)$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$

Traiectorie - Hodograf al vectorului rază, adică o linie imaginară descrisă de sfârșitul vectorului rază în procesul de mișcare. Cu alte cuvinte, o traiectorie este o linie de-a lungul căreia se mișcă un punct material. În acest caz, legea mișcării acționează ca o ecuație care definește traiectoria parametric. Lungimea secțiunii traiectoriei dintre momentele inițiale și cele finale de timp este adesea numită distanța parcursă, lungimea traseului sau vulgar - calea și este notă cu litera. Cu o astfel de descriere a mișcăriiacționează ca o coordonată generalizată , iar legile mișcării în acest caz sunt scrise sub formăși sunt similare cu legile corespunzătoare pentru coordonate. $S$ $S$ $S=S(t)$

Descrierea mișcării folosind conceptul de traiectorie este unul dintre momentele cheie ale mecanicii clasice . În mecanica cuantică , mișcarea are un caracter fără traiectorie, ceea ce înseamnă că însuși conceptul de traiectorie își pierde sensul.

Mărimi cinematice de bază

Deplasarea este o mărime fizică vectorială egală cu diferența dintre vectorii cu rază în momentele finale și inițiale de timp:

\Delta {\vec {r}}(t_{2},t_{1})={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1} )

Cu alte cuvinte, deplasarea este o creștere a vectorului rază pe o perioadă de timp selectată.

Viteza medie este o mărime fizică vectorială egală cu raportul dintre vectorul deplasare și intervalul de timp în care are loc această mișcare:

{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}

Viteza medie la sol este o mărime fizică scalară egală cu raportul dintre modulul vectorului deplasare și intervalul de timp în care are loc această mișcare, de regulă, are sens atunci când descriem mișcarea cu : ${\vec {r}}(t_{2})={\vec {r}}(t_{1})$

{\vec {v}}_{cp\,S}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta |{\vec {r}}|}{\Delta t} }={\frac {|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}{t_{2}-t_{1}}}

Viteza instantanee este o mărime fizică vectorială egală cu prima derivată a vectorului rază în raport cu timpul:

{\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}\equiv {\dot {\vec {r}}}(t)

Caracterizează viteza de mișcare a unui punct material. Viteza instantanee poate fi definită ca limita vitezei medii, deoarece intervalul de timp pe care este calculată tinde spre zero:

{\vec {v}}(t_{1})=\lim _{t_{2}\rightarrow t_{1}}{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_ {2})=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}(t)}{\Delta t}}

Unitatea de măsură a vitezei în sistemul SI este m/s , în sistemul CGS este cm/s. Viteza instantanee este întotdeauna direcționată tangențial la traiectorie.

Accelerația instantanee este o mărime fizică vectorială egală cu derivata a doua a vectorului rază în raport cu timpul și, în consecință, derivata întâi a vitezei instantanee în raport cu timpul:

{\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r} }(t)}{dt^{2}}}

Caracterizează viteza de schimbare a vitezei. Unitatea de măsură a accelerației în sistemul SI este m/s², în sistemul CGS este cm/s².

Descriere în coordonate carteziene

Deoarece vectorii de bază ( ) din acest sistem de coordonate sunt ortonormali și nu depind de timp, legea mișcării poate fi scrisă după cum urmează: ${\vec e}_{i}$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t) {\vec {e}}_{z}

Viteza punctului:

{\vec {v}}(t)={\dot {x}}(t){\vec {e}}_{x}+{\dot {y}}(t){\vec { e}}_{y}+{\dot {z}}(t){\vec {e}}_{z}={\vec {v}}_{x}+{\vec {v}}_ {y}+{\vec {v}}_{z}

Modulul de viteză poate fi găsit:

v={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}={\frac {ds}{dt}}

, unde este diferenţialul de traiectorie .

ds

Accelerația este definită într-un mod similar:

{\vec {a}}(t)={\ddot {x}}{\vec {e}}_{x}+{\ddot {y}}{\vec {e}}_{y }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}

a={\sqrt {{\ddot {x}}^{2}+{\ddot {y}}^{2}+{\ddot {z}}^{2}}}

Alte sisteme de coordonate

Destul de des se dovedește a fi convenabil să nu folosiți sisteme carteziene, ci alte sisteme de coordonate.

Coordonatele polare

Descrierea mișcării se realizează într-un plan. Poziția punctului este determinată de distanța de la origine și de unghiul polar , măsurat de pe o axă fixă. Ca bază, se introduce un vector unitar , îndreptat de la origine spre punctul de mișcare, și un vector unitar perpendicular pe primul pe direcția unghiului crescător (această direcție se numește transversală). $r$ $\varphi$ ${\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $\varphi$

Legătura cu sistemul cartezian poate fi exprimată astfel: [1] . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \ varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}} _{y}\end{pmatrix}}$

Derivate în timp ale vectorilor de bază: ${\dot {\vec {e}}}_{r}={\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi },\;{\dot {\vec {e ))_{\varphi }=-{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{r}$

Unde sunt ecuațiile de mișcare:

{\vec {r}}(t)=r(t){\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}(t)={\dot {r}}(t){\vec {e}}_{r}+r(t){\dot {\varphi }}(t ){\vec {e}}_{\varphi }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ punct {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi }

Coordonate cilindrice

Într-un sistem de coordonate cilindric, problemele cu simetria axială sunt simplificate .

Pentru bază

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{z}\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Ecuații de mișcare

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}+z{\vec {e}}_{z}

{\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\punct {z}}{\vec {e}}_{z}

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ punct {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e} }_{z}

Coordonate sferice

Pentru bază

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{\theta }\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec { e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Ecuații de mișcare

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}\sin \theta {\vec {e}} _{\varphi }+r{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta } }^{2}]{\vec {e}}_{r}+[(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})\sin \ theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta ]{\vec {e}}_{\varphi }+[2{\dot {r}}{\dot { \theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +r{\ddot {\theta }}]{\vec {e}}_{\theta }

Baza asociată

Când se descrie în sistemul de coordonate comov, sunt luate în considerare trei puncte succesive ale traiectoriei . În limita micimii, primele două dau o tangentă la traiectorie, în timp ce toate trei dau un cerc de curbură situat în planul instantaneu al mișcării (planul contiguu). Baza este aleasă după cum urmează: ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3))$

{\vec {e}}_{\tau }={\vec {v}}/v

este vectorul unitar tangent la traiectorie;

{\vec {e}}_{n}

este un vector unitar situat într-un plan contiguu, perpendicular pe vector și îndreptat spre concavitatea traiectoriei (de-a lungul normalei principale);

{\vec {e}}_{\tau }

{\vec {e}}_{\beta }=[{\vec {e}}_{\tau }\times {\vec {e}}_{n}]

(vector binormal).

Accelerația este astfel , unde , și , este raza instantanee de curbură . ${\vec {a}}(t)=a_{n}(t){\vec {e}}_{n}+a_{\tau }(t){\vec {e}}_{ \tau}$ ${\vec {a}}_{\tau }={\dot {v}}$ ${\vec {a}}_{n}={\frac {v^{2}}{R_{k}}}$ $R_k$

În cazul mișcării într-un cerc, accelerația normală se numește centripetă . După cum se poate observa din formula anterioară, atunci când se deplasează de-a lungul unui cerc cu o viteză constantă, accelerația normală este constantă în valoare absolută și îndreptată spre centrul cercului.

Valoarea se numește accelerație tangențială și caracterizează mărimea modificării modulului de viteză: $a_{\tau )$

Transformări galileene

În cazul vitezelor non-relativiste (viteze mult mai mici decât viteza luminii ), trecerea de la un IFR la altul se realizează folosind transformări galileene :

Dacă IFR se mișcă în raport cu IFR cu o viteză constantă de -a lungul axei și originile coincid la momentul inițial în ambele sisteme, atunci transformările galileene au forma: $S'$ $S$ $u$ $X$

x'=x-ut,

y'=y,

z'=z,

t'=t

În cazul unei direcții arbitrare a axelor de coordonate, reprezentarea vectorială a transformărilor Galileo este valabilă:

{\vec {r'}}={\vec {r}}-{\vec {u}}t,

t'=t

Dacă mișcarea are loc la o viteză comparabilă cu viteza luminii, atunci trebuie aplicate transformările Lorentz .

Exemple de mișcare

Rectiliniu uniform

În acest caz , , de unde urmează legea mișcării . ${\vec {a}}=0$ ${\vec {v}}=const$ ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t$

Rectilinie uniform accelerată

Când axa este îndreptată de-a lungul liniei de deplasare, legea mișcării uniform accelerate se obține prin rezolvarea celei mai simple ecuații diferențiale de forma: $X$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a=const

Dubla integrare în timp duce la formula:

x(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {at^{2}}{2}}\;\Leftrightarrow \;x_{0}+v_{0}t+{\ frac {la^{2}}{2}}

;

Aici , și sunt constante arbitrare corespunzătoare coordonatei inițiale și vitezei inițiale. $C_{1}$ $C_{2}$

Dacă mișcarea este limitată în timp și viteza finală este cunoscută , atunci formula de calcul este valabilă: $v_{k}$

S={\frac {v_{k}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}

Mișcarea cu accelerație constantă se numește accelerată uniform . Legea căreia pentru o direcție arbitrară a axelor: ${\vec {a}}(t)=const$

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {{\vec {a} }t^{2}}{2}}

;

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t

În acest caz, ecuațiile de mișcare în forma de coordonate au o formă similară:

x(t)=x_{0}(t)+{v_{x_{0}}}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}

;

v_{x}(t)=v_{x_{0}}+a_{x}t

În acest caz, se vorbește adesea de mișcare uniform accelerată , dacă semnele și coincid, și de mișcare uniform lentă , dacă și au semne opuse. În acest caz, semnul fiecăreia dintre cantități depinde de alegerea inițială a sistemului de referință. $a_{x)$ $v_{x}(t)$ $a_{x)$ $v_{x}(t)$

Uniformă în jurul circumferinței

Este convenabil să luați în considerare problema în baza de însoțire. Accelerația va lua forma (accelerația centripetă îndreptată spre centrul cercului). Mișcarea în sine poate fi considerată în termeni de unghi în jurul unei axe. Pentru viteza unghiulara : ${\vec {a}}={\frac {v^{2}}{R}}{\vec {e_{n}}}$ $\varphi$ ${\dot {\varphi }}=\omega ={\frac {v}{R}}$

\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t

, și . Perioada de miscare: .

a_n = \omega^2 R

T={\frac {2\pi }{\omega }}

Un punct aruncat într-un unghi față de orizont

Pentru corpurile care se deplasează la viteze mici, rezistența aerului poate fi neglijată. Fie ca punctul din momentul zero să fie aruncat cu o viteză la un unghi față de orizont . Pentru o axă îndreptată vertical în sus și o axă îndreptată de-a lungul orizontului, ecuațiile de mișcare în proiecții pe axă: $\vec v_0$ $\alfa$ $y$ $X$

{\begin{cases}a_{x}=0,\\a_{y}=-g;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}v_{x}=v_ {0}\cos \alpha ,\\v_{y}=v_{0}\sin \alpha -gt;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}x=x_{0} +v_{0}\cos \alpha \cdot t,\\y=y_{0}+v_{0}\sin \alpha \cdot t-{\dfrac {gt^{2}}{2));\ sfârșit{cazuri}}

unde este accelerația de cădere liberă .

g

În cazul în care, în special, se obțin următoarele formule:

Dacă punctul a fost aruncat de la sol, atunci timpul de mișcare va fi , iar punctul va ajunge în vârful traiectoriei în . $t={\frac {2v_{0}\sin \alpha {g)}$ $t/2$

Lungimea zborului în acest caz , de unde rezultă că intervalul maxim de zbor la o viteză constantă este atins la . În general, pentru a arunca de-a lungul unui plan înclinat , distanța maximă de zbor este atinsă la aruncarea de-a lungul bisectoarei dintre linia verticală și dreapta de-a lungul planului de aruncare. $L={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{g))$ $\alpha =45^{\circ )$

În general, un corp poate ajunge în același punct de-a lungul a două traiectorii: plat și articulat .

Ecuația traiectoriei în notația considerată este: , adică proiectilul se deplasează de-a lungul unei parabole . $y=x\mathrm {tg} \,\alpha -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}x^{2}$

Cazul sistemului de puncte

Pentru a descrie mișcarea unui punct material, este necesară setarea a trei coordonate generalizate, care depind în general de sistemul de referință, dar numărul lor rămâne neschimbat. Altfel, putem spune că numărul de grade de libertate al unui punct este trei. Cu toate acestea, numărul de grade poate fi mai mic dacă, de exemplu, un punct se poate deplasa doar de-a lungul unei anumite suprafețe sau curbe . În acest caz, ei spun că asupra punctului material este impusă o constrângere cinematică . Numărul de grade de libertate de la fiecare legătură este redus cu unul. În cazul general, dacă sistemul este format din puncte materiale și le sunt impuse constrângeri cinematice , atunci numărul de grade de libertate al unui astfel de sistem de puncte materiale este .

n

k

3n-k

Dacă într-un sistem distanțele dintre oricare două puncte sunt întotdeauna constante, atunci un astfel de sistem se numește corp absolut rigid (vezi Cinematica unui corp rigid ). Descrierea sistemelor macroscopice de puncte materiale cu distante variabile este tratata de cinematica unui mediu continuu .

Note

↑ Înmulțirea matricei

Literatură

Strelkov S.P. Mecanica. Moscova: Nauka, 1975.
Sivukhin DV Curs general de fizică. - M . : Stiinta , 1979. - T. I. Mecanica. — 520 s.
Matveev A. N. Mecanica și teoria relativității. Moscova: Școala superioară, 1986.
Khaikin S. E. Fundamentele fizice ale mecanicii. Moscova: Nauka, 1971.