Curbura varietatilor riemanniene

Curbura varietăților riemanniene caracterizează numeric diferența dintre metrica riemanniană a unei varietăți și cea euclidiană într-un punct dat.

În cazul unei suprafețe, curbura într-un punct este complet descrisă de curbura gaussiană .

În dimensiunile 3 și mai sus, curbura nu poate fi pe deplin caracterizată printr-un singur număr într-un punct dat, ci este definită ca un tensor .

Modalități de exprimare a curburii

Tensor de curbură

Curbura unei varietăți riemanniene poate fi descrisă în diferite moduri. Cel mai standard este tensorul de curbură, dat în termeni de conexiunea Levi-Civita (sau diferențierea covariantă ) și bracketul Lie cu următoarea formulă: $\nabla$ $[\cdot ,\cdot]$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,\; v]}w.

Tensorul de curbură este o transformare liniară a spațiului tangent la varietatea în punctul ales. $R(u,\;v)$

Dacă și , adică sunt vectori de coordonate, atunci , și, prin urmare, formula este simplificată: $u=\partial /\partial x_{i}$ $v=\partial /\partial x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

adică tensorul de curbură măsoară necomutativitatea derivatelor covariante în raport cu vectorii.

Transformarea liniară se mai numește și transformarea de curbură . $w\mapsto R(u,\;v)w$

N.B. Există mai multe cărți în care tensorul de curbură este definit cu semnul opus.

Simetrii și identități

Tensorul de curbură are următoarele simetrii:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Ultima identitate a fost găsită de Ricci , dar este adesea menționată drept prima identitate Bianchi, deoarece este similară cu identitatea Bianchi descrisă mai jos .

Aceste trei identități formează o listă completă de simetrii ale tensorului de curbură, adică dacă un tensor satisface aceste identități, atunci se poate găsi o varietate Riemanniană cu un astfel de tensor de curbură la un moment dat. Calculele simple arată că un astfel de tensor are componente independente. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Din aceste trei rezultă o altă identitate utilă:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Identitatea Bianchi (numită adesea a doua identitate Bianchi ) conține derivate covariante:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Împreună cu simetriile de bază, această identitate oferă o listă completă de simetrii tensorale . Mai mult, dacă o pereche de tensori 4-valenti și 5-valenti satisfac toate aceste identități, atunci se poate găsi o varietate Riemanniană prin tensorul de curbură și derivata sa covariantă la un moment dat. Generalizarea la derivate superioare a fost dovedită de Kowalski și Berger. [unu] $\nabla R$ $A$ $B$ $R=A$ $\nabla R=B$

Curbură secțională

Curbura secțională este o altă descriere echivalentă a curburii varietăților riemanniene cu o descriere mai geometrică.

Curbura secțiunii este o funcție a lui , care depinde de direcția secțiunii într-un punct (adică un plan bidimensional în spațiul tangent la ). Este egală cu curbura gaussiană a suprafeței formate prin maparea exponențială, măsurată în punctul . $K(\sigma )$ $\sigma$ $p$ $p$ $p$

Dacă sunt doi vectori liniar independenți în , atunci $v,\;u$ $\sigma$

K(\sigma)=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},

Unde

K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle .

Următoarea formulă arată că curbura secțională descrie complet tensorul de curbură:

6\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =

[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-

[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].

Sau într-o formă mai simplă, folosind derivate parțiale :

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\t parțial}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.

Forma curbură

Forma de conexiune definește o modalitate alternativă de a descrie curbura. Această reprezentare este utilizată în principal pentru pachetele vectoriale generale și pentru pachetele principale, dar funcționează bine pentru un pachet tangent cu o conexiune Levi-Civita .

Curbura într-o varietate Riemanniană -dimensională este dată de o matrice antisimetrică de 2 forme (sau echivalent, o formă de 2 cu valori în , adică într- o algebră Lie dintr -un grup ortogonal care este grupul de structură al fascicul tangent al varietatii Riemanniane). $n$ $n\ ori n$ $\Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i)$ $\operatorname {deci} (n)$ $\operatorname {O} (n)$

Să fie un cadru local ortonormal. Forma de conexiune este determinată de matricea antisimetrică de 1-forme , următoarea identitate $e_{i}$ $\omega =\omega _{\j}^{i)$

\omega _{\j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},\;e_{k}\rangle .

Apoi forma curburii este definită ca $\Omega =\Omega _{\j}^{i)$

\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega .

Următoarea ecuație descrie relația dintre forma curburii și tensorul curburii:

R(u,\;v)w=\Omega (u\wedge v)w.

Această abordare include automat toate simetriile tensorului de curbură, cu excepția primei identități Bianchi , care devine

\Omega \wedge \theta =0.

unde este vectorul 1-forme definit ca . $\theta =\theta ^{i}$ $n$ $\theta ^{i}(v)=\langle e_{i},\;v\rangle$

A doua identitate Bianchi ia forma

D\Omega =0.

$D$ denotă derivata covariantă exterioară.

Forma de curbură este generalizată la un pachet principal cu un grup de structură Lie , după cum urmează: $E$ $G$

\Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ],

unde este forma de conexiune pe și este algebra Lie tangentă a grupului $\omega$ $E$ $\mathfrak g$ $G$

Forma de curbură dispare dacă și numai dacă conexiunea este local plată.

Operator de curbură

Uneori este convenabil să ne gândim la curbură ca un operator pe bivectori tangenți (elementele ), care sunt definite în mod unic de următoarea identitate: $Q$ $\Lambda ^{2}(T)$

\langle Q(u\wedge v),\;w\wedge z\rangle =\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle .

Acest lucru este posibil datorită simetriilor tensorului de curbură (și anume, antisimetria primei și ultimei perechi de indici și a simetriei bloc a acestor perechi).

Alte curburi

În general, următorii tensori și funcții nu descriu pe deplin tensorul de curbură, dar joacă un rol important.

Curbură scalară

Curbura scalară este o funcție pe o varietate Riemanniană, de obicei notată . $\operatorname {Sc}$

Aceasta este urma completă a tensorului de curbură. Pentru o bază ortonormală în spațiul tangent în avem $\{e_{i}\}$ $p$

\operatorname {Sc} =\sum _{i,\;j}\langle R(e_{i},\;e_{j})e_{j},\;e_{i}\rangle =\ suma _{i}\langle \operatorname {Ric} (e_{i}),\;e_{i}\rangle ,

unde denota tensorul Ricci . Rezultatul nu depinde de alegerea unei baze ortonormale. $\operatorname {Ric}$

Pornind de la dimensiunea 3, curbura scalară nu descrie complet tensorul de curbură.

Curbura Ricci

Curbura Ricci este un operator liniar pe spațiul tangent într-un punct, de obicei notat . Pentru o bază ortonormală în spațiul tangent la un punct , este definită ca $\operatorname {Ric}$ $\{e_{i}\}$ $p$

\operatorname {Ric} (u)=\sum _{i}R(u,\;e_{i})e_{i}.

Rezultatul nu depinde de alegerea unei baze ortonormale. În dimensiunile patru sau mai multe, curbura Ricci nu descrie complet tensorul de curbură.

Expresii explicite pentru tensorul Ricci în ceea ce privește conexiunile Levi-Civita sunt date în articolul despre simbolurile Christoffel .

Tensorul Weyl

Tensorul Weyl are aceleași simetrii ca și tensorul de curbură, plus un în plus: urma (la fel ca și curbura Ricci) este 0. $W$

În dimensiunile 2 și 3, tensorul Weyl este zero, dar dacă dimensiunea este > 3, atunci poate fi diferit de zero.

Tensorul de curbură poate fi descompus în părți: una va depinde de curbura Ricci, cealaltă de tensorul Weyl.
O modificare conformă a metricii nu schimbă tensorul Weil.
Pentru o varietate de curbură constantă, tensorul Weyl este zero.
- În plus, , dacă și numai dacă metrica este conformă local euclidiană. $W=0$

descompunerea Ricci

Împreună, tensorul Ricci și tensorul Weyl definesc complet tensorul de curbură.

Calculul curburei

Pentru calcularea curburii hipersuprafețelor și subvarietăților, vezi a doua formă fundamentală ,
Pentru calcularea curburii în coordonate, consultați derivatele covariante .
Pentru calcularea curburii prin metoda de referință în mișcare, consultați Forma de curbură .
Ecuația Jacobi poate fi utilă dacă este cunoscut comportamentul geodezicilor .

Note

↑ Kowalski, Oldrich; Belger, Martin Riemann metrică cu tensorul de curbură prescris și toate derivatele sale covariante la un moment dat. Matematică. Nachr. 168 (1994), 209–225.

Link -uri

Kobayashi Sh ., Nomizu K. Fundamentele geometriei diferenţiale / transl. din engleza. L. V. Sabinina . - M .: Știință. Ediția principală de literatură fizică și matematică , 1981. - T. 1. - 344 p.