Ecuația cubică

O ecuație cubică este o ecuație algebrică de gradul al treilea, a cărei formă generală este următoarea:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\;a\neq 0.

Aici coeficienții sunt numere reale sau complexe . $a,b,c,d$

Pentru a analiza și rezolva o ecuație cubică, puteți desena un grafic al părții stângi într-un sistem de coordonate carteziene , curba rezultată se numește parabolă cubică (vezi figurile).

O ecuație cubică generală poate fi redusă la o formă canonică prin împărțirea și schimbarea variabilei. Ca rezultat, se obține o formă simplificată a ecuației: $A$ $x=y-{\tfrac {b}{3a}}.$

y^{3}+py+q=0,

Unde

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}= {\frac {27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{27a^{3}}}.

O ecuație cubică este rezolvabilă în radicali , vezi formula lui Cardano .

Istorie

Perioada antică

Ecuațiile cubice erau cunoscute de vechii egipteni, babilonieni, greci antici, chinezi și indieni [1] [2] . S-au găsit tăblițe cuneiforme din perioada vechi babiloniană (sec. XX-XVI î.Hr.) care conțineau tabele cu rădăcini cubice și cubice [3] [4] . Babilonienii s-ar putea să fi folosit aceste tabele pentru a rezolva ecuații cubice, dar nu există dovezi că au făcut acest lucru [5] .

Problema de dublare a cubului folosește cea mai simplă și mai veche dintre ecuațiile cubice, iar egiptenii antici nu credeau că există o soluție pentru aceasta [6] . În secolul al V-lea î.Hr., Hipocrate a redus această problemă la găsirea a două proporționale medii între un segment și altul de două ori mai mari decât acesta, dar nu a putut să o rezolve cu o busolă și o linie dreaptă [7] , ceea ce, după cum se știe acum, este imposibil de do.

În secolul al III-lea d.Hr., matematicianul grec antic Diophantus a găsit soluții întregi și raționale pentru unele ecuații cubice cu două necunoscute ( ecuații diofantine ) [2] [8] . Se crede că Hipocrate , Menechmus și Arhimede s -au apropiat de rezolvarea problemei dublării cubului folosind secțiuni conice [7] , deși unii istorici, precum Reviel Netz, spun că nu se știe dacă grecii s-au gândit la ecuații cubice, sau pur și simplu despre probleme care pot duce la ecuații cubice. Alții, cum ar fi Thomas Heath , traducătorul și comentatorul tuturor lucrărilor existente ale lui Arhimede , nu sunt de acord, indicând dovezi că Arhimede a rezolvat de fapt ecuațiile cubice prin încrucișarea a două conuri [9] .

Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor cubice apar în textul matematic chinez Mathematics in Nine Books , compilat în jurul secolului al II-lea î.Hr. și comentat de matematicianul chinez Liu Hui în secolul al III-lea [1] .

În secolul al VII-lea în timpul dinastiei Tang, astronomul și matematicianul Wang Xiaotong în tratatul său de matematică, intitulat Jigu Suanjing, a afirmat și a rezolvat 25 de ecuații cubice de forma , din care 23 , și în două ecuații [10] . $x^{3}+px^{2}+qx=N$ $p,q\neq 0$ $q=0$

Evul Mediu

În secolul al XI-lea, poetul și matematicianul persan Omar Khayyam (1048-1131) a făcut progrese semnificative în teoria ecuațiilor cubice. În lucrările sale timpurii despre ecuațiile cubice, el a descoperit că o ecuație cubică ar putea avea două soluții (cazul a trei rădăcini a fost lăsat neobservat de el [11] ) și a susținut că ecuația nu poate fi rezolvată cu o busolă și o linie dreaptă. A găsit și o soluție geometrică [12] [13] . În lucrarea sa ulterioară, Treatise on the Demonstration of Problems in Algebra , el a descris o clasificare completă a ecuațiilor cubice cu soluțiile lor geometrice generale folosind intersecțiile secțiunilor conice [14] [15] .

În secolul al XII-lea, matematicianul indian Bhaskara II a încercat să rezolve ecuații cubice fără prea mult succes. Cu toate acestea, a dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații cubice [16] :

x^{3}+12x=6x^{2}+35.

În același secol al XII-lea, matematicianul persan Sharaf al-Din a scris Al-Mu'adalat ( Tratat de ecuații ), care vorbește despre opt tipuri de ecuații cubice cu soluții pozitive și cinci tipuri fără soluții pozitive. El a folosit ceea ce mai târziu a devenit cunoscut ca abordarea „ Ruffini - Horner ” pentru a aproxima numeric rădăcina unei ecuații cubice. De asemenea, a dezvoltat conceptul de derivată a unei funcții și extremele unei curbe pentru rezolvarea ecuațiilor cubice care ar putea să nu aibă valori pozitive [17] . El a înțeles importanța discriminantului unei ecuații cubice pentru găsirea unei soluții algebrice a unor tipuri speciale de ecuații cubice [18] .

În Europa medievală, până în secolul al XVI-lea, nu au existat succese în rezolvarea ecuațiilor cubice. Leonardo din Pisa, cunoscut și sub numele de Fibonacci (1170-1250), a reușit să găsească soluții pozitive pentru o ecuație cubică folosind numere babiloniene . El a indicat soluția , care este egală în notație standard și diferă de soluția exactă cu doar trei trilioane. [19] $x^{3}+2x^{2}+10x=20$ $1,22,7,42,33,4,40,$ ${\displaystyle 1+22/60+7/60^{2}+42/60^{3}+33/60^{4}+4/60^{5}+40/60^{6))$

Luca Pacioli , în tratatul său „Suma aritmeticii, geometriei, raporturilor și proporțiilor” (1494) a scris că soluția generală a ecuațiilor cubice „ este la fel de imposibilă în starea actuală a științei ca și pătrarea unui cerc cu busolă și riglă ” . 20] .

Descoperirea lui del Ferro-Tartaglia

La începutul secolului al XVI-lea, matematicianul italian Scipio del Ferro a găsit o metodă generală de rezolvare a unei clase importante de ecuații cubice, și anume ecuații de forma cu n și m nenegative . De fapt, toate ecuațiile cubice pot fi reduse la această formă, dacă permitem posibilitatea ca și să fie negative, dar numerele negative la acel moment nu erau considerate încă acceptabile. Del Ferro și-a ținut secret descoperirea până când i-a spus despre ea elevului său Antonio Fiore înainte de moartea sa. $x^{3}+mx=n$ $m$ $n$

În 1535, Niccolo Tartaglia a primit două probleme sub formă de ecuații cubice de la Zuanne da Coi și a anunțat că le poate rezolva. La scurt timp a primit o provocare de la Fiore pentru un concurs de matematică, care după finalizarea lui a devenit celebru. Fiecare dintre ei trebuia să ofere un anumit număr de probleme adversarului pentru a le rezolva. S-a dovedit că toate problemele obţinute de Tartaglia au fost reduse la ecuaţii cubice de tipul . Cu puțin timp înainte de termenul limită, Tartaglia a reușit să dezvolte o metodă generală de rezolvare a ecuațiilor cubice de acest tip (redescoperirea metodei lui del Ferro), precum și să o generalizeze la alte două tipuri ( și ). După aceea, a rezolvat rapid toate sarcinile care i s-au propus. Fiore, pe de altă parte, a primit de la Tartaglia probleme din diferite ramuri ale matematicii, dintre care multe s-au dovedit a fi peste puterea lui; ca urmare, Tartaglia a câștigat competiția. $x^{3}+mx=n$ $x^{3}=mx+n$ $x^{3}+n=mx$

Mai târziu , Gerolamo Cardano (1501-1576) a încercat în mod repetat să-l convingă pe Tartaglia să dezvăluie secretul rezolvării ecuațiilor cubice. În 1539, a reușit: Tartaglia și-a raportat metoda, dar cu condiția ca Cardano să nu o deschidă nimănui până la publicarea propriei cărți a lui Tartaglia despre ecuațiile cubice, la care a lucrat și unde urma să publice metoda. Sase ani mai tarziu, Tartaglia nu si-a publicat niciodata cartea, iar Cardano, aflat la acel moment despre opera lui Ferro, a gasit posibil sa publice metoda lui del Ferro (cu mentionarea numelui lui Tartaglia ca a descoperit-o independent) in cartea sa Ars Magna in 1545. . Cardano s-a justificat promițând că nu va spune nimănui rezultatele lui Tartaglia, și nu lui del Ferro. Cu toate acestea, Tartaglia a crezut că Cardano și-a încălcat promisiunea și i-a trimis o provocare la competiție, pe care Cardano nu a acceptat-o. Provocarea a fost acceptată în cele din urmă de elevul lui Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565), iar acesta s-a dovedit a fi învingător [21] .

Cardano a observat că metoda lui Tartaglia uneori (și anume, când există trei rădăcini reale) necesită luarea rădăcinii pătrate a unui număr negativ. A inclus chiar și calcule cu aceste numere complexe în Ars Magna , dar nu a înțeles cu adevărat problema. Rafael Bombelli a studiat această problemă în detaliu și, prin urmare, este considerat descoperitorul numerelor complexe.

François Viète (1540–1603) a derivat independent o soluție a unei ecuații cubice cu trei rădăcini reale. Soluția sa s-a bazat pe formula trigonometrică

(2{\cdot}\cos \phi)^3-3{\cdot}(2{\cdot}\cos \phi)=2{\cdot}\cos(3{\cdot}\phi).

În special, substituția are ca rezultat ecuația $x=2{\cdot}a{\cdot}\cos\phi$

x^{3}-3{\cdot }a^{2}{\cdot }x=a^{2}\cdot b.

la minte

2{\cdot}a{\cdot}\cos (3{\cdot}\phi)= b.

Mai târziu , René Descartes (1596-1650) a aprofundat opera lui Vieta [22] .

Rădăcinile ecuației

Numărul care transformă o ecuație într-o identitate se numește rădăcină sau soluție a ecuației . Este, de asemenea, rădăcina unui polinom de gradul al treilea, care se află în partea stângă a notației canonice. $X$

In domeniul numerelor complexe , conform teoremei fundamentale a algebrei , ecuatia cubica

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

are întotdeauna 3 rădăcini (ținând cont de multiplicitate). $x_{1},x_{2},x_{3}$

Deoarece fiecare polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală, toate cazurile posibile de compoziție a rădăcinilor unei ecuații cubice sunt limitate la cele trei descrise mai jos.

Aceste cazuri se disting folosind semnul discriminant :

\Delta =a^{4}{\cdot }(x_{1}-x_{2})^{2}{\cdot }(x_{1}-x_{3})^{2}{ \cdot }(x_{2}-x_{3})^{2}=

=-4{\cdot }b^{3}\cdot d+b^{2}{\cdot }c^{2}-4{\cdot }a{\cdot }c^{3}+ 18{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }c{\cdot }d-27{\cdot }a^{2}{\cdot }d^{2}.

Sunt posibile trei cazuri:

Dacă atunci ecuația are trei rădăcini reale distincte. $\Delta >0,$
Dacă atunci ecuația are o rădăcină reală și o pereche de rădăcini conjugate complexe dacă coeficienții ecuației sunt numere reale și nu neapărat conjugați complexe altfel. $\Delta<0,$
Dacă atunci cel puțin două rădăcini coincid. Aceasta poate fi atunci când ecuația are o rădăcină reală dublă și o altă rădăcină reală diferită de acestea; sau toate cele trei rădăcini coincid, formând o rădăcină a multiplicității 3. Rezultanta ecuației cubice și derivata a doua a acesteia ajută la separarea acestor două cazuri : polinomul are o rădăcină de multiplicitate 3 dacă și numai dacă rezultanta indicată este, de asemenea, egală cu zero. . $\Delta =0,$

Conform teoremei Vieta, rădăcinile ecuației cubice sunt legate de coeficienți prin următoarele relații [23] : $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ $a,\,b,\,c,\,d$

x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},

x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}=-{\frac {d}{a}}.

Împărțind aceste rapoarte între ele, puteți obține mai multe rapoarte:

{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}=-{\frac {c}{ d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}}}+{\frac {1}{x_{2}x_{3}}}+{\frac {1}{x_{1} x_{3}}}={\frac {b}{d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}x_{3))}=-{\frac {a}{d)),\quad d\neq 0.

Metode de rezolvare

Metode generale de rezolvare exactă:

Pentru unele tipuri speciale de ecuații cubice, există metode speciale de rezolvare a acestora. Vezi de exemplu:

De asemenea, puteți aplica metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor .

Substitution Vieta

După cum sa menționat mai sus, orice ecuație cubică poate fi redusă la forma:

t^{3}+pt+q=0,

Facem o substituție cunoscută sub numele de substituție Vieta:

t=w-{\frac {p}{3w))

Ca rezultat, obținem ecuația:

w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.

Înmulțind cu , obținem ecuația gradului al șaselea a lui , care, de fapt, este o ecuație pătratică a : $w^{3)$ $w$ $w^{3)$

w^{6}+qw^{3}-{\frac {p^{3}}{27}}=0

Rezolvând această ecuație, obținem . Dacă , și sunt trei rădăcini cubice , atunci rădăcinile ecuației inițiale pot fi obținute prin formulele $w^{3)$ $w_{1}$ $w_{2)$ $w_{3)$ $w^{3)$

t_{1}=w_{1}-{\frac {p}{3w_{1}}},\quad t_{2}=w_{2}-{\frac {p}{3w_{2}}}\ quad

și

\quad t_{3}=w_{3}-{\frac {p}{3w_{3))}.

Decizia lui Omar Khayyam

După cum se arată în grafic, pentru a rezolva ecuația gradului al treilea , în care Omar Khayyam a construit un cerc parabolă , al cărui diametru este un segment al semiaxei pozitive și o linie verticală care trece prin intersecția parabolei și a cercului. Soluția este determinată de lungimea segmentului orizontal de la origine până la intersecția liniei verticale cu axa . $x^{3}+a^{2}x=b$ $b>0,$ $y={\frac {x^{2}}{a)),$ $\left[0,{\frac {b}{a^{2}}}\right]$ $X$ $X$

O dovadă modernă simplă a construcției: înmulțiți cu ecuația și grupați termenii $X$

{\frac {x^{4}}{a^{2}}}=x\,\left({\frac {b}{a^{2}}}-x\right)\,.

Partea stângă este valoarea de pe parabolă. Ecuația unui cerc, coincide cu partea dreaptă a ecuației și dă valoarea cercului. $y^{2}$ $y^{2}+x\,\left(x-{\frac {b}{a^{2}}}\right)=0,$ $y^{2}$

Vezi și

Note

↑ 1 2 John Crossley, Anthony W.-C. Lun. Cele nouă capitole despre arta matematică: însoțitor și comentariu. - Oxford University Press, 1999. - P. 176. - ISBN 978-0-19-853936-0 .
↑ 12 Van der Waerden . Geometria și algebra civilizațiilor antice . - Zurich, 1983. - p. capitolul 4. - ISBN 0-387-12159-5 .
↑ Roger Cooke. Istoria matematicii. - John Wiley & Sons, 2012. - P. 63. - ISBN 978-1-118-46029-0 .
↑ Karen Rhea Nemet-Nejat. Viața de zi cu zi în Mesopotamia Antică. - Greenwood Publishing Group, 1998. - P. 306. - ISBN 978-0-313-29497-6 .
↑ Roger Cooke. Algebra clasică: natura, originile și utilizările sale. - John Wiley & Sons, 2008. - P. 64. - ISBN 978-0-470-27797-3 .
↑ Guilbeau, 1930 afirmă că „egiptenii credeau că soluția este imposibilă, dar grecii s-au apropiat de soluție”.
↑ 1 2 Guilbeau, 1930
↑ Thomas L. Heath. Diophantus din Alexandria: un studiu în istoria algebrei grecești. - Martino Pub, 2009. - ISBN 978-1578987542 .
↑ Arhimede (traducere de TL Heath). Lucrările lui Arhimede. - Rough Draft Printing, 2007. - ISBN 978-1603860512 .
↑ Yoshio Mikami. Dezvoltarea matematicii în China și Japonia. — Ed. a II-a. - New York: Chelsea Publishing Co., 1974. - S. 53-56. - ISBN 978-0-8284-0149-4 .
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 225.
↑ Lucrare de Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), p. 323-337
↑ O'Connor și Robertson's Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, poate fi citit . Această problemă l-a condus pe Khayyam la ecuația cubică x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000 și a găsit o rădăcină pozitivă a lui. această ecuație ca intersecția unei hiperbole isoscelă și a unui cerc. O soluție numerică aproximativă a fost apoi găsită prin interpolarea tabelelor trigonometrice .
↑ JJ O'Connor și E.F. Robertson (1999), Omar Khayyam Arhivat la 1 martie 2012 la Wayback Machine , MacTutor Archives for the History of Mathematics afirmă: „Khayyam pare să fi fost primul care s-a gândit la teoria generală a cubicului. ecuații.”
↑ Guilbeau, 1930 afirmă: „Omar Al Hay Khorasan în jurul anului 1079 a făcut mult pentru a avansa metodele de rezolvare a ecuațiilor algebrice prin intermediul secțiunilor conice care se intersectează”.
↑ Datta, Singh. Istoria matematicii hinduse. - Delhi, India, 2004. - S. 76,. — ISBN 81-86050-86-8 . p. 76, Ecuația de grad superior; Bharattya Kala Prakashan
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi”, arhiva MacTutor History of Mathematics, Universitatea St Andrews.
↑ JL Berggren. Inovație și tradiție în Muadalat al lui Sharaf al-Din al-Tusi // Journal of the American Oriental Society. - 1990. - Vol. 110. - Problema. 2 . - P. 304-309. - doi : 10.2307/604533 .
↑ RN Knott și echipa Plus. Viața și numerele lui Fibonacci // Revista Plus. — 2013.
↑ Andronov I. K. Matematica numerelor reale și complexe. - Iluminismul, 1975. - S. 91-92. — 158 p.
↑ Victor Katz. O istorie a matematicii . - Boston: Addison Wesley, 2004. - p . 220 . — ISBN 9780321016188 .
↑ RWD Nickalls. Viète, Descartes și ecuația cubică // Mathematical Gazette. - iulie 2006. - T. 90 . - P. 203-208.
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Manual de matematică. - Ed. al 7-lea, stereotip. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1967. - P. 139.

Literatură

Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Manual de matematică. - Ed. al 7-lea, stereotip. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1967. - S. 138-139.
Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 352 p.
Cursul 4 la Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Divertisment matematic . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-731-7 .
Guilbeau, Lucye (1930), The History of the Solution of the Cubic Equation , Mathematics News Letter vol . 5 (4): 8–12 , DOI 10.2307/3027812

Link -uri

Soluție online detaliată a unei ecuații cubice

Ecuații algebrice
Ecuație liniară Ecuație pătratică ecuația cubică Ecuația gradului al patrulea Ecuația gradului al cincilea Ecuația gradului al șaselea Ecuația gradului al șaptelea