Varietate Shimura

O varietate Shimura (uneori o varietate Shimura ) este un analog al curbei modulare în dimensiuni mai mari care apare ca un coeficient al unui spațiu simetric hermitian de către un subgrup congruent al grupului algebric reductiv definit peste Q . Termenul de „colectivitate Shimura” se referă la dimensiuni mari, în cazul varietăților unidimensionale se vorbește de curbele Shimura . Suprafețele Hilbert modulare și colectoarele Siegel modulare sunt printre cele mai cunoscute clase de varietăți Shimura.

Cazuri speciale de soiuri Shimura au fost introduse de Goro Shimura în cursul generalizării teoriei înmulțirii complexe (curbe modulare). Shimura a arătat că, definite inițial analitic, obiectele sunt aritmetice în sensul că satisfac modele definite pe un câmp numeric , câmpul de reflexie al unei varietăți Shimura. În anii 1970, Pierre Deligne a creat un cadru axiomatic pentru munca lui Shimura. Aproximativ în aceeași perioadă, Robert Langlands a observat că varietățile Shimura formează un domeniu natural de exemple pentru care se poate verifica echivalența dintre funcțiile L motivice și automorfe , postulate în programul Langlands . Formele automorfe , așa cum sunt implementate în coomologia de varietate Shimura, sunt mai susceptibile de studiat decât formele automorfe generale . În special, există o construcție care le atașează reprezentările Galois .

Definiție

Fundalul lui Shimura

Fie S = Res C / R G m restricția Weil a grupului multiplicativ de la numere complexe la numere reale . Este un grup algebric al cărui grup de puncte R este S ( R ) - C * , iar grupul de puncte C este . Datele inițiale ale lui Shimura sunt o pereche ( G , X ) formată dintr-un grup algebric reductiv G definit pe câmpul Q de numere raționale și o clasă de conjugație G ( R ) X de homomorfisme h : care satisface următoarele axiome: $\mathbf {C} ^{*}\times \mathbf {C} ^{*}$ $S\rightarrow G{\mathbf {R} }$

Pentru orice h din X , numai greutățile (0,0), (1,−1), (−1,1) pot apărea în g C , adică algebra Lie complexată a grupului G se descompune într-o sumă directă

{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{- },

unde pentru orice z ∈ S h ( z ) acţionează trivial asupra primului termen al sumei şi, prin şi ) asupra celui de-al doilea şi respectiv al treilea termen.

z/{\bar {z)}

{\bar {z}}/z

Acțiunea conjugată h( i ) generează o involuție Cartan asupra grupului conjugat al grupului G R .
Grupul conjugat pentru G R nu se supune factorului H definit peste Q , deci proiecția lui h pe H este trivială.

Aceste axiome implică faptul că X are o structură complexă unică (posibil deconectată) astfel încât, pentru orice reprezentare , familia este o familie holomorfă de structuri Hodge . Mai mult, formează o variație a structurii Hodge și X este o uniune finită a regiunilor simetrice hermitiene (disjunctive) . $\rho :G_{\mathbf {R} }\rightarrow GL(V)$ $(V\rho \cdot h)$

Varietatea Shimura

Fie A ƒ inelul adele [ al grupului Q . Pentru orice subgrup deschis compact suficient de mic al lui G ( A ƒ ) setul dublu

Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q})\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K

este o uniune finită de varietăți local simetrice de forma , unde superscriptul plus denotă o componentă conexă . Varietățile sunt varietăți algebrice complexe și formează un sistem invers peste toate subgrupurile deschise compacte suficient de mici ale lui K . Acest sistem invers $\Gamma \smallsetminus X^{+)$ $Sh_{K}(G,X)$

(Sh_{K}(G,X))_{K}

se supune actiunii corecte naturale . Se mai numește și varietatea Shimura asociată cu datele originale Shimura ( G , X ) și se notează Sh ( G , X ). $G(\mathbf {A} _{f})$

Istorie

Pentru tipuri speciale de domenii simetrice hermitian și subgrupuri congruente Γ , varietatea algebrică a formei și compactarea ei au fost introduse într-o serie de lucrări de Goro Shimura în anii 1960. Abordarea lui Shimura, prezentată ulterior în monografiile sale, a fost în mare măsură fenomenologică și a urmărit scopul unei generalizări ample a formulării legii de reciprocitate a teoriei înmulțirii complexe (curbe modulare). În mod retrospectiv, numele „Shimura manifold” a fost inventat de Deligne , care a încercat să izoleze proprietățile abstracte care joacă un rol în teoria lui Shimura. În formularea lui Deligne, varietățile Shimura sunt domeniul parametrilor unor tipuri de structuri Hodge . Apoi formează o generalizare naturală a curbelor modulare de dimensiuni superioare , care sunt considerate ca spații de module ale curbelor eliptice cu o structură de nivel. $\Gamma \smallsetminus X=Sh_{K}(G,X)$

Exemple

Fie F un câmp numeric complet real și D o algebră cuaternionică de diviziune peste F . Grupul multiplicativ D × generează o varietate canonică Shimura. Dimensiunea sa d este numărul de locuri infinite în care D se împarte. În special, dacă d = 1 (de exemplu, dacă F = Q și ), fixând un subgrup aritmetic suficient de mic al grupului D × , se obține curba Shimura și curbele care decurg din această construcție sunt deja compacte (adică proiective ). $D\otimes \mathbf {R} \cong \mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )$

Câteva exemple de curbe cu ecuații cunoscute date de suprafețele Hurwitz de genul scăzut :

Klein quartic (genul 3)
Suprafața Macbeath (genul 7)
Primul triplet Hurwitz (genul 14)

iar curba Fermat de gradul 7 [1] .

Alte exemple de manifolds Shimura includ suprafețele modulare Picard și Hilbert-Blumenthal manifolds .

Modele canonice și puncte speciale

Orice varietate Shimura care poate fi definită pe un câmp numeric canonic E se numește câmp de reflexie . Acest rezultat important, datorat lui Shimura, arată că varietățile Shimura, care sunt a priori doar soiuri complexe, au un câmp algebric de definire și deci au o valoare aritmetică. Acesta formează punctul de plecare în formularea legii reciprocității, în care anumite puncte speciale definite aritmetic joacă un rol important .

Natura calitativă a închiderii Zariski de seturi de puncte pe o varietate Shimura este descrisă de conjectura André-Oort . Rezultate condiționate pot fi derivate din această ipoteză, pe baza ipotezei Riemann generalizate .

Rol în programul Langlands

Varietățile Shimura joacă un rol proeminent în programul Langlands . Din relația de congruență Eichler-Shimura rezultă că funcția zeta Hasse-Weyl a unei curbe modulare este produsul funcțiilor L asociate cu forme modulare de greutate 2 definite în mod explicit. De fapt, Goro Shimura și-a prezentat varietățile și a demonstrat legea sa de reciprocitate în generalizarea acestei teoreme. Funcțiile zeta ale varietăților Shimura asociate cu grupul GL 2 față de alte câmpuri numerice și formele lor interioare (adică grupurile multiplicative ale algebrelor cuaternioane) au fost studiate de Eichler, Shimura, Kuga, Sato și Ihara. Pe baza rezultatelor lor, Robert Langlands a prezis că funcția zeta Weyl a oricărei varietăți algebrice W definită pe un câmp numeric trebuie să fie produsul puterilor pozitive și negative ale funcțiilor L automorfe, adică trebuie să apară dintr-un set de reprezentări automorfe . . Cu toate acestea, afirmațiile de acest tip pot fi dovedite dacă W este o varietate Shimura. Potrivit lui Langlands:

Afirmația că toate funcțiile L asociate cu varietățile Shimura, și apoi cu orice motiv definit de o varietate Shimura, pot fi exprimate în termeni de funcții L automorfe [din lucrarea sa din 1970] este mai slabă, chiar foarte slabă, decât afirmația că toate funcțiile L-motivice sunt egale cu astfel de funcții L. Cu toate acestea, în timp ce afirmația mai strictă este de așteptat să fie adevărată, nu există niciun motiv întemeiat, după cunoștințele mele, să mă aștept ca toate funcțiile L-motivice să fie atașate soiurilor Shimura.

Note

↑ Elkis , secțiunea 4.4 (p. 94-97) în Levy, 1999 .

Literatură

Montserrat Alsina, Pilar Bayer. Ordine cuaternioane, forme pătratice și curbe Shimura. - Providence, RI: Societatea Americană de Matematică , 2004. - V. 22. - (Seria de monografii CRM). — ISBN 0-8218-3359-6 .
Analiza armonică, formula urmelor și varietățile Shimura / James Arthur, David Ellwood, Robert Kottwitz. - AMS, 2005. - V. 4. - (Clay Mathematics Proceedings). — ISBN 978-0-8218-3844-0 .
Pierre Deligne . Travaux de Shimura // Séminaire Bourbaki, 23ème année 1970/71 Exp. Nu. 389 . - Springer, Berlin, 1971. - T. 244. - S. 123-165. — (Note de curs la matematică).
Pierre Deligne . Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques // Forme automorfe, reprezentări și funcții L; Proc. Simpozioane. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Partea 2. - Providence, RI: Amer. Matematică. Soc., 1979, p. 247–289.
Pierre Deligne , James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi. Cicluri Hodge, motive și varietăți Shimura. - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982. - T. 900. - P. ii + 414. — (Note de curs la matematică). — ISBN 3-540-11174-3 .
Calea de opt ori / Silvio Levy. - Cambridge University Press , 1999. - V. 35. - (Publicațiile Institutului de Cercetare în Științe Matematice). - ISBN 978-0-521-66066-2 .
Enciclopedia de matematică / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Milne J. Shimura varietăți și motive // Motive , Proc. Symp. Pure Math, 55:2 / Jannsen U., Kleiman S.. Serre J.-P.. - Amer. Matematică. Soc, 1994, p. 447–523.
Milne JS Introducere în soiurile Shimura . — 2004.
Harry Reimann. The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties / Dold E., Takens F.. - New York, London, Paris, Tokio: Springer, 1997. - T. 1657. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-62645-X .
Goro Shimura . Operele colectate ale lui Goro Shimura // . - 2003-2016. — V. 1–5.
Goro Shimura . Introducere în teoria aritmetică a funcțiilor automorfe. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. - V. 11. - (Publicațiile societății matematice din Japonia). - ISBN 0-691-08092-5 .