Julia a stabilit

În dinamica holomorfă , mulțimea Julia a unei hărți raționale este mulțimea de puncte a căror dinamică de vecinătate este într-un anumit sens instabilă în raport cu micile perturbații ale poziției inițiale. Dacă f este un polinom, se consideră și o mulțime Julia plină , adică o mulțime de puncte care nu tind spre infinit. Setul Julia obișnuit este atunci granița sa . $J(f)$ $f:\mathbb {C} P^{1}\la \mathbb {C} P^{1}$

Setul Fatou este complementul setului Julia. Cu alte cuvinte, dinamica iterației lui f nu este obișnuită, dar nu este haotică. $F(f)$ $F(f)$ $J(f)$

Complementează marea teoremă a lui Picard despre „comportamentul unei funcții analitice într-o vecinătate a unui punct esențial singular”.

Aceste seturi sunt numite după matematicienii francezi Gaston Julia și Pierre Fatou , care au inițiat studiul dinamicii holomorfe la începutul secolului al XX-lea.

Definiții

Să fie o mapare rațională. Mulțimea Fatou constă din puncte z astfel încât, în restricția asupra unei vecinătăți suficient de mici de z , succesiunea de iterații $f:\mathbb {C} P^{1}\la \mathbb {C} P^{1}$

(f^n)_{n\in\mathbb{N}}

formează o familie normală în sensul Montel . Setul Julia este complementul setului Fatou.

Această definiție permite următoarea reformulare echivalentă: mulțimea Fatou este mulțimea acelor puncte ale căror orbite sunt Lyapunov stabile . (Echivalența reformulării nu este evidentă, dar rezultă din teorema lui Montel .)

Proprietăți

După cum reiese din definiții, setul Julia este întotdeauna închis , în timp ce setul Fatou este întotdeauna deschis .
Setul Julia pentru o mapare de grad mai mare decât 1 este întotdeauna nevid (altfel s-ar putea alege o subsecvență uniform convergentă de iterații.) În ceea ce privește mulțimea Fatou, o afirmație similară nu este adevărată: există exemple în care Julia set se dovedește a fi întreaga sferă Riemann . Un astfel de exemplu poate fi construit luând harta de dublare pe torus (a cărui dinamică este peste tot haotică) și trecând-o prin funcția Weierstrass . $z\mapsto 2z (mod\, \Z[i])$ $\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]$ $\wp$ $\wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\la \mathbb {C} P^{1)$
Mulțimea Julia este închiderea uniunii tuturor orbitelor periodice respingătoare.
Seturile Fatou și Julia sunt ambele complet invariante sub acțiunea lui f , adică coincid atât cu propria lor imagine, cât și cu preimaginea completă:

\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),

\f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).

Mulțimea Julia J(F) este limita bazinului de atracție (total) al oricărei orbite atractive sau superatractive; un caz special în acest sens este afirmația că J(F) este granița unei mulțimi Julia umplute (deoarece pentru o mapare polinomială, infinitul este un punct fix superatractiv, iar o mulțime Julia plină este complementul bazinului său de atracție). În plus, luând o mapare polinomială cu trei puncte fixe care atrag diferite, obținem un exemplu de trei mulțimi deschise (deconectate în mod natural) pe un plan cu o limită comună.
Dacă o mulțime deschisă intersectează mulțimea Julia, atunci, pornind de la un n suficient de mare , imaginea coincide cu întreaga mulțime Julia . Cu alte cuvinte, iterațiile întind un cartier arbitrar mic din setul Julia peste întregul set Julia. $U$ $f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J$ $J$
Deoarece întinderea indicată mai sus are loc cel mai adesea destul de repede, mapările holomorfe sunt conforme , iar mulțimea Julia este invariabilă în dinamică - se dovedește a avea o structură fractală : părțile sale mici sunt similare cu cele mari.
Dacă mulţimea Julia este diferită de întreaga sferă Riemann , atunci nu are puncte interioare .
Pentru toate punctele z ale sferei Riemann, cu excepția poate două, setul de puncte limită a secvenței de preimagini complete este mulțimea Julia. Această proprietate este utilizată în algoritmii de calculator pentru construirea mulțimii Julia. $f^{-n}(z)$
Teorema lui Sullivan afirmă că orice componentă conexă a unei mulțimi Fatou este preperiodică. La rândul său, teorema privind clasificarea componentelor periodice ale mulțimii Fatou afirmă că componentele periodice sunt de unul dintre cele patru tipuri: bazinul de atracție al unui punct fix sau periodic atrăgător sau supraatractiv , lobul Fatou al unui punct parabolic, discul Siegel si inelul Hermann .

Concepte înrudite

O mapare pătratică prin modificarea coordonatelor este întotdeauna redusă la forma . Rezultă că mulțimea Julia este conectată dacă și numai dacă punctul critic z=0 (sau, echivalent, imaginea sa z=c ) nu merge la infinit. Dacă iterațiile 0 tind spre infinit, mulțimea Julia (coincide, în acest caz, cu mulțimea Julia umplută) se dovedește a fi homeomorfă cu mulțimea Cantor și are măsura zero. În acest caz, se numește praf Fatou (în ciuda numelui confuz, este tocmai setul Julia - setul dinamicii haotice!). $z\mapsto P_2(z)$ $z\mapsto z^2 +c$

Setul de parametri c pentru care se conectează mulțimea Julia de dinamică pătratică se numește mulțime Mandelbrot . Are, de asemenea, o structură fractală (și este probabil unul dintre cei mai faimoși fractali).

Construcție numerică

Metoda de scanare a limitelor (BSM)

Dacă funcția f are mai mulți atractori (atractori fiși sau periodici), mulțimea Julia este limita bazinului de atracție pentru oricare dintre ei. Această proprietate stă la baza algoritmului de imagistică Julia set numit metoda de scanare a limitelor (BSM). Se compune din următoarele. Luați în considerare o grilă de pixeli dreptunghiulari. Pentru a determina dacă un pixel ar trebui pictat ca aparținând setului Julia, se calculează imaginea fiecărui „colț” său sub acțiunea unui număr mare de iterații f. Dacă imaginile sunt departe unele de altele, atunci colțurile aparțin bazinelor diferiților atractori. De aici rezultă că granița dintre bazine trece prin acest pixel și este pictat peste. Trecând prin toți pixelii, obținem o imagine care aproximează setul Julia.

Această metodă poate fi folosită și atunci când nu există doi atractori, dar există discuri Siegel , inele Ehrman sau bazine parabolice. (Dacă două puncte apropiate rămân apropiate, atunci orbitele lor sunt stabile Lyapunov, iar o mică vecinătate a acestor puncte aparține regiunii Fatou; în caz contrar, există puncte ale setului Julia în apropierea lor.) În același timp, această metodă nu funcționează atunci când maparea are un singur atractor și aproape întreaga sferă Riemann este bazinul său de atracție. (De exemplu, .) [1] $z\mapsto z^2+i$

Metoda de calcul inversă iterație (IIM)

Setul Julia este închiderea uniunii tuturor imaginilor inverse complete ale oricărui punct fix respingător. Astfel, dacă există un algoritm eficient pentru calcularea mapării inverse și este cunoscut cel puțin un punct fix respingător, se pot calcula secvențial imaginile sale inverse pentru a construi mulțimea Julia. La fiecare pas, fiecare punct are tot atâtea preimagini cât puterea lui f, astfel încât numărul total de preimagini crește exponențial, iar stocarea coordonatelor lor necesită multă memorie. [1] În practică, se folosește și următoarea modificare: la fiecare pas, este selectată o preimagine aleatorie. În același timp, totuși, trebuie luat în considerare faptul că un astfel de algoritm ocolește setul Julia nu în mod uniform: unele zone pot fi atinse doar într-un timp foarte lung (practic de neatins) și nu vor fi afișate pe graficul rezultat. . $f^{-1}$

Fapte interesante

Matematicienii au demonstrat că o figură închisă arbitrară în plan poate fi aproximată în mod arbitrar aproape de mulțimea Julia pentru un polinom adecvat. Printre altele, ca o demonstrație a propriei tehnici, oamenii de știință au reușit să construiască o aproximare destul de bună a siluetei unei pisici. Potrivit oamenilor de știință, exemplul lor demonstrează clar că dinamica sistemelor dinamice polinomiale (adică date de polinoame) poate fi aranjată în cel mai divers mod. Ei spun că exemplul lor va fi util în teoria unor astfel de sisteme [2] .

Galerie

Setul Julia umplut pentru maparea f ( z ) = z 2 −1. Simetria axială indică absența unei componente imaginare în termenul liber al mapării f ( z )
Setul Julia umplut pentru maparea f ( z ) = z 2 +0.28+0.0113 i . Vârtejurile în sens invers acelor de ceasornic indică o componentă imaginară pozitivă în termenul liber al mapării f ( z )
Setul Julia umplut pentru f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i
Setul Julia umplut pentru f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i (fragment)
Setul Julia umplut pentru f ( z ) = cos z . Centrul imaginii este originea coordonatelor 0+0 i , perioada orizontală a ornamentului este $\pi$
Setul Julia umplut pentru f ( z ) = sin z . Dacă rotiți imaginea cu 90°, obțineți un set Julia complet pentru f ( z ) = sh z

Link -uri

Milnor, J. Dinamica holomorfă. Prelegeri introductive. = Dinamica într-o variabilă complexă. Prelegeri introductive. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2000. - 320 p. - ISBN 5-93972-006-4 .
Un program simplu pentru generarea de seturi Julia (Windows, 370 kB)
Mandelbrot și Julia setează la FractalWorld

Note

↑ 1 2 D. Saupe. Calcularea eficientă a mulțimilor Julia și a dimensiunii lor fractale // Physica. - Amsterdam, 1987. - Numărul. 28D . - S. 358-370 . Arhivat din original pe 11 iunie 2007.
↑ Matematicienii au aproximat pisica cu seturile Julia . Preluat la 29 septembrie 2012. Arhivat din original la 21 ianuarie 2021. (nedefinit)

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului