Logaritmul natural 2

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 iulie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Logaritmul natural de 2 în notație zecimală (secvența A002162 în OEIS ) este de aproximativ

\ln 2\aprox 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\ ,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326 \,996\,418\,687

după cum arată primul rând din tabelul de mai jos. Logaritmul numărului 2 cu o bază diferită ( b ) poate fi calculat din relație

\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b)).

Logaritmul zecimal al numărului 2 ( A007524 ) este aproximativ egal cu

\log _{10}2\aprox 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026 \,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\, 927\,252\,118\,186\,172\,040\,684

Reciproca numărului dat este logaritmul binar de 10:

\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\aprox 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\ ,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593 \,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015

( A020862 ).

Număr	Valoarea aproximativă a logaritmului natural	OEIS
2	0,693147180559945309417232121458	secvența A002162 în OEIS
3	1,09861228866810969139524523692	secvența A002391 în OEIS
patru	1,38629436111989061883446424292	secvența A016627 în OEIS
5	1,60943791243410037460075933323	secvența A016628 în OEIS
6	1,79175946922805500081247735838	secvența A016629 în OEIS
7	1,94591014905531330510535274344	secvența A016630 în OEIS
opt	2,07944154167983592825169636437	secvența A016631 în OEIS
9	2,19722457733621938279049047384	secvența A016632 în OEIS
zece	2,30258509299404568401799145468	secvența A002392 în OEIS

După teorema Lindemann-Weierstrass, logaritmul natural al oricărui număr natural, altul decât 0 și 1 (în general, pentru orice număr algebric pozitiv cu excepția lui 1) este un număr transcendental .

Nu se știe dacă ln 2 este un număr normal .

Reprezentarea rândurilor

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.

( seria Mercator )

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)))=\ln 2.

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)))=\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)))=2\ln 2-{\ tfrac {3}{2}}.

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n)}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1} {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2 {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)))\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2 {2}}.

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n))=\operatorname {Li} _{1}\left({\ frac {1}{2}}\dreapta).

( Polilogaritm )

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n)}}+{\frac {1}{4^{n} }}\dreapta){\frac {1}{n}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}} +{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16 ^{k}}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1))).

\ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)})+{\frac {6}{161^ {2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)))\dreapta).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n)).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}- 4n}}.

(aici γ desemnează constanta Euler-Mascheroni , ζ este funcția zeta Riemann ).

Uneori, această categorie de formule include formula Bailey - Borwain - Pluff :

{\begin{aliniat}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3 \cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\ &=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k))={\frac {1}{2))\sum _{k=0 }^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\ frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}

Reprezentarea ca integrale

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ sau echivalent }}\int _{1}^{2} {\ frac {dx}{x}}=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2))}={\frac {1-\ln 2}{4}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx)}}={\frac {\ln 2}{n));\int _{0} ^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx =\ln 2.

\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.

\int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\ gamma .

\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatorname {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}} \operatorname {tg} x\,dx=\ln 2.

\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx= -{\frac {\pi \ln 2}{4)).

\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{ optsprezece}}.

\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.

\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2))}\,dx=-\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2))}\,dx=1-2\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)))=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3))}\,dx=-{\frac {\gamma + \ln 2}{2}}.

Alte forme de reprezentare a numerelor

Expansiunea Peirce are forma ( A091846 )

\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .

Descompunerea Engel ( A059180 ):

\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{ \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .

Expansiunea sub formă de cotangenți are forma A081785

\ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\ cdots}).

Reprezentare ca sumă infinită de fracții [1] ( seria armonică alternantă de semne ):

\ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5 }}-\cdots .

De asemenea, este posibil să se reprezinte logaritmul natural al lui 2 ca o expansiune a seriei Taylor :

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56 ))+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Reprezentare ca o fracție continuă generalizată : [2]

\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{} 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots ))))))))))))))))))) ={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ ddots }} }}}}}}

Calcularea altor logaritmi

Dacă valoarea lui ln 2 este cunoscută , atunci pentru a calcula logaritmii altor numere naturale, puteți tabula logaritmii numerelor prime și apoi determinați logaritmii numerelor mixte c pe baza descompunerii în factori primi:

c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ ln 7+\cdots

Tabelul prezintă logaritmii unor numere prime.

număr prim	Valoarea aproximativă a logaritmului natural	OEIS
unsprezece	2,39789527279837054406194357797	secvența A016634 în OEIS
13	2,56494935746153673605348744157	secvența A016636 în OEIS
17	2,83321334405621608024953461787	secvența A016640 în OEIS
19	2,94443897916644046000902743189	secvența A016642 în OEIS
23	3.13549421592914969080675283181	secvența A016646 în OEIS
29	3,36729582998647402718327203236	secvența A016652 în OEIS
31	3,43398720448514624592916432454	secvența A016654 în OEIS
37	3,61091791264422444436809567103	secvența A016660 în OEIS
41	3,71357206670430780386676337304	secvența A016664 în OEIS
43	3,76120011569356242347284251335	secvența A016666 în OEIS
47	3,85014760171005858682095066977	secvența A016670 în OEIS
53	3,97029191355212183414446913903	secvența A016676 în OEIS
59	4,07753744390571945061605037372	secvența A016682 în OEIS
61	4.11087386417331124875138910343	secvența A016684 în OEIS
67	4,20469261939096605967007199636	secvența A016690 în OEIS
71	4,26267987704131542132945453251	secvența A016694 în OEIS
73	4,29045944114839112909210885744	secvența A016696 în OEIS
79	4,36944785246702149417294554148	secvența A016702 în OEIS
83	4,41884060779659792347547222329	secvența A016706 în OEIS
89	4,48863636973213983831781554067	secvența A016712 în OEIS
97	4,57471097850338282211672162170	secvența A016720 în OEIS

La a treia etapă se calculează logaritmii numerelor raționale r = a / b ca ln r = ln a − ln b , logaritmii rădăcinilor: ln n √ c = 1/ n ln c .

Logaritmul lui 2 este util în sensul că puterile lui 2 sunt destul de dens distribuite: a găsi o putere a lui 2 i care este aproape de puterea lui b j a unui alt număr b este relativ ușor.

Valori cunoscute

Acesta este un tabel cu intrări recente privind calculul numerelor . Din decembrie 2018, a calculat mai multe cifre decât orice alt logaritm natural [3] [4] al unui număr natural, cu excepția lui 1. $\ln(2)$

data	Numărul de cifre semnificative	Autorii de calcul
7 ianuarie 2009	15 500 000 000	A.Yee și R.Chan
4 februarie 2009	31 026 000 000	A.Yee și R.Chan
21 februarie 2011	50 000 000 050	Alexander Yee
14 mai 2011	100.000.000.000	Shigeru Kondo
28 februarie 2014	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12 iulie 2015	250.000.000.000	Ron Watkins
30 ianuarie 2016	350.000.000.000	Ron Watkins
18 aprilie 2016	500.000.000.000	Ron Watkins
10 decembrie 2018	600.000.000.000	Michael Kwok
26 aprilie 2019	1.000.000.000.000	Jacob Riffee
19 august 2020	1 200 000 000 100	Seungmin Kim [5] [6]

Note

↑ Wells, David. Dicționarul Pinguin al numerelor curioase și interesante . - Pinguin, 1997. - P. 29 . — ISBN 0140261494 .
↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. Despre fracția Ramanujan AGM, I: The Real-Parameter Case // Exper . Matematică. : jurnal. - 2004. - Vol. 13 . - P. 278-280 . doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504540 .
↑ y-cruncher - Un program Pi cu mai multe fire . www.numberworld.org . Consultat la 19 februarie 2021. Arhivat din original la 16 aprilie 2015. (nedefinit)
↑ Jurnalul natural de 2 . www.numberworld.org . Consultat la 19 februarie 2021. Arhivat din original pe 9 iulie 2021. (nedefinit)
↑ y-cruncher - Un program Pi cu mai multe fire . web.archive.org (15 septembrie 2020). Data accesului: 19 februarie 2021. (nedefinit)
↑ Logaritmul natural al lui 2 (Log(2) ) . Polymath Collector (19 august 2020). Preluat la 19 februarie 2021. Arhivat din original la 17 octombrie 2020.

Literatură

Brent, Richard P. Evaluare rapidă cu precizie multiplă a funcțiilor elementare // J. ACM : journal. - 1976. - Vol. 23 , nr. 2 . - P. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
Uhler, Horace S. Recalcularea și extinderea modulului și a logaritmilor lui 2, 3, 5, 7 și 17 // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal . - 1940. - Vol. 26 . - P. 205-212 . - doi : 10.1073/pnas.26.3.205 .
Sweeney, Dura W. Despre calculul constantei lui Euler // Matematica calculului : jurnal. - 1963. - Vol. 17 . - P. 170-178 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X .
Chamberland, Marc. Formule binare BBP pentru logaritmi și prime generalizate Gaussian-Mersenne (engleză) // Journal of Integer Sequences : journal. - 2003. - Vol. 6 . — P. 03.3.7 . Arhivat din original pe 6 iunie 2011.
Gourevitch, Boris; Guillera Goyanes, Isus. Construcția de sume binomiale pentru constante π și polilogaritmice inspirate din formulele BBP // Matematică aplicată. E-Note: jurnal. - 2007. - Vol. 7 . - P. 237-246 .
Wu, Qiang. Despre măsura independenței liniare a logaritmilor numerelor raționale // Matematica calculului : jurnal. - 2003. - Vol. 72 , nr. 242 . - P. 901-911 . - doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Logaritmul natural de 2 la Wolfram MathWorld .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal Constanta logaritmului:log 2 . (nedefinit)

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric