Integrala definita

O integrală definită este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice , unul dintre tipurile de integrală . O integrală determinată este un număr egal cu limita sumelor de o formă specială ( sume integrale ) . Integrala definită geometric exprimă aria „ trapezului curbiliniu ” mărginită de graficul funcției . [1] În ceea ce privește analiza funcțională , o integrală definită este o funcție monotonă aditivă definită pe un set de perechi, a cărei primă componentă este o funcție integrabilă sau funcțională , iar a doua este o zonă din setul de atribuire a acestei funcții. (funcțional) [2] .

Definiție

Să fie definită funcția pe segment . Să - l împărțim în părți cu mai multe puncte arbitrare: . Apoi spunem că segmentul a fost partiționat . În plus, pentru fiecare de la până la alegem un punct arbitrar . $f(x)$ $[a;b]$ $[a;b]$ $a=x_{{0}}<x_{{1}}<x_{{2}}<\ldots <x_{{n}}=b$ $R$ $[a;b].$ $i$ $0$ $n-1$ $\xi _{{i}}\in [x_{{i}};x_{{i+1}}]$

Integrala definită a unei funcțiipe un segmenteste limita sumelor integrale deoarece rangul partiției tinde spre zero, dacă există indiferent de partițiași alegerea punctelor, adică $f(x)$ $[a;b]$ $\lambda _{{R}}\rightarrow 0$ $R$ $\xi _{{i}}$

\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx=\lim \limits _{{\Delta x\rightarrow 0}}\sum \limits _{{i=0}}^ {{n-1}}f(\xi _{{i}})\Delta x_{{i}}

Dacă există limita specificată, atunci se spune că funcția este integrabilă Riemann pe . $f(x)$ $[a;b]$

Notație

$A$ - limita inferioara.
$b$ - Limita superioară.
$f(x)$ este integrantul.
$\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i)$ este lungimea segmentului parțial.
$\lambda _{{R}}=\up {\Delta x_{i}}$ este rangul partiției, maximul lungimilor segmentelor parțiale.

Sensul geometric

Integrala definită a unei funcții nenegative este numeric egală cu aria figurii delimitată de axa x, drepte și graficul funcției . [unu] $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ $x=a$ $x=b$ $f(x)$

Proprietăți

Dacă și sunt integrabile pe un interval al unei funcții, atunci combinația lor liniară este de asemenea integrabilă pe o funcție și $f$ $g$ $[a,b]$ $\alpha f+\beta g$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\beta \ int \limits _{a}^{b}g(x)dx.$
Dacă este o funcție integrabilă pe un interval , atunci $f$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx.$
Dacă este o funcție integrabilă într-o vecinătate a unui punct , atunci avem [3] $f$ $A$ $\int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0.$
Dacă o funcție este Riemann-integrabilă pe , atunci este mărginită pe ea. $f(x)$ $[a;b]$

Exemple de calcul

Următoarele sunt exemple de calcul a integralelor definite folosind formula Newton-Leibniz .

$\int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9 }={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\aproximativ 72{,}3$
$\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b$
$\int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\aprox 2{,}8$

Note

↑ 1 2 Integrală definită // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
↑ Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. Ed. 10, rev. . — M. : MTsNMO, 2019. — S. 321-323. — 564 p. - ISBN 978-5-4439-4029-8 , 978-5-4439-4030-4. Arhivat pe 16 mai 2021 la Wayback Machine

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph126953

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale