Antiderivat

O antiderivată pentru o funcție (uneori numită funcție antiderivată sau primitivă ) este o funcție a cărei derivată este . Acesta este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice a unei variabile reale (există și generalizări ale acestui concept pentru funcții complexe [1] ). $f(x)$ $f(x)$

Definiție

O antiderivată pentru o funcție dată se numește [2] o astfel de funcție a cărei derivată este (pe întregul domeniu al definiției ), adică . Găsirea antiderivatei este o operație inversă diferențierii - aceasta din urmă își găsește derivata față de o funcție dată, iar după ce am găsit antiderivată, noi, dimpotrivă, am determinat funcția inițială cu o derivată dată. $f(x)$ $F(x)$ $f$ $f$ $F'(x)=f(x)$

Antiderivatele sunt importante deoarece vă permit să calculați anumite integrale . Dacă este antiderivată a unei funcții continue integrabile , atunci: $F$ $f$

\int\limits_a^bf(x)\, dx = F(b) - F(a).

Această relație se numește formula Newton-Leibniz .

Din punct de vedere tehnic, găsirea antiderivatei înseamnă a calcula integrala nedefinită pentru , iar procesul în sine se numește integrare . Pentru aplicarea acestei teorii la geometrie, vezi calcul integral . $f(x)$

Exemplu: funcția este antiderivată pentru deoarece $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ $f(x)=x^{2},$ $F'(x)=f(x).$

Ambiguitate

Dacă este o antiderivată pentru , atunci orice funcție obținută prin adăugarea constantei : este și o antiderivată pentru . Astfel, dacă o funcție are o antiderivată, atunci ea este inclusă în întreaga familie de antiderivate [2] , care se numește integrală nedefinită și se scrie ca integrală fără limite: $F$ $f$ $F$ $G(x) = F(x) + C$ $f$ $F(x)+C,$ $f(x)$

\int f(x)\, dx

Reversul este de asemenea adevărat: dacă este antiderivată pentru , iar funcția este definită pe un anumit interval , atunci fiecare antiderivată diferă de printr-o constantă: există întotdeauna un număr astfel încât pentru toți . Graficele unor astfel de antiderivate sunt deplasate vertical unele față de altele, iar poziția lor depinde de valoare.Numărul se numește constantă de integrare . $F$ $f$ $f$ $G$ $F$ $C$ $G(x) = F(x) + C$ $X$ $C.$ $C$

De exemplu, familia de antiderivate pentru o funcție are forma: , unde este orice număr. $x^{2}$ $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}+C$ $C$

Dacă domeniul unei funcții nu este un interval continuu, atunci antiderivatele sale nu trebuie să difere cu o constantă [3] . Deci, de exemplu, funcția nu există la zero, deci domeniul ei de definiție constă din două intervale: și În consecință, se obțin două familii independente de antiderivate pe aceste intervale: , unde este o constantă la și, în general, o altă constantă. la : $f$ ${\frac {1}{x^{2)})$ $x>0$ $x<0.$ $-{\frac {1}{x}}+{\hat {C}}$ ${\pălărie {C)}$ $x>0$ $x<0$

{\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ if }}x<0\\C_{2},{\text{ dacă }}x>0\end{aliniat}}\right.

Existenta

Fiecare funcție continuă are o antiderivată , dintre care una este reprezentată ca o integrală a cu o limită superioară variabilă: $f$ $F$ $f$

F(x) = \int\limits_a^xf(t)\,dt.

Există și funcții necontinue (discontinue) care au un antiderivat. De exemplu, c nu este continuu la , dar are o antiderivată cu . Pentru funcțiile mărginite discontinue, este convenabil să folosiți integrala Lebesgue mai generală în loc de integrala Riemann . Condițiile necesare pentru existența antiderivatei sunt ca funcția să aparțină primei clase Baire și ca proprietatea Darboux să fie îndeplinită pentru aceasta [2] . $f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ $f(0) = 0$ $x=0$ $F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}$ $F(0) = 0$ $f$

Multe antiderivate, deși există, nu pot fi exprimate în termeni de funcții elementare (adică în termeni de polinoame , funcții exponențiale , logaritmi , funcții trigonometrice , funcții trigonometrice inverse și combinații ale acestora). De exemplu:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\, dx

Pentru astfel de funcții, integrala acestora, dacă există, poate fi calculată aproximativ folosind integrarea numerică .

Proprietăți antiderivate

Antiderivată a sumei funcțiilor este egală cu suma antiderivatelor pentru termeni.
Antiderivată a produsului unei constante și a unei funcții este egală cu produsul unei constante și antiderivată a unei funcții.
Toate funcțiile care sunt continue pe un interval au atât o antiderivată, cât și o integrală Riemann . Totuși, în cazul general, existența unei antiderivate și integrabilitatea unei funcții nu sunt legate [4] :
- Funcția semn (sgn) este integrabilă Riemann, dar nu are antiderivată (din cauza discontinuității la zero).
- Funcția (să presupunem și ) are o derivată finită pe segmentul , astfel, funcția are o antiderivată (și anume, ), dar nu este limitată la și, prin urmare, nu este integrabilă Riemann. $f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2)}}$ $f(0)=0$ $[-1,1]$ $g(x);$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $[-1,1]$

Tehnica de integrare

Găsirea antiderivatelor este mult mai dificilă decât găsirea derivatelor. Există mai multe metode pentru aceasta:

liniaritatea integrării face posibilă împărțirea integralelor complexe în părți,
integrarea de substituție , adesea aplicată împreună cu identitățile trigonometrice sau logaritmul natural ,
integrare prin piese pentru operații cu produse de funcții,
metoda lanțului invers , un caz special de integrare pe părți,
metoda de integrare a fracțiilor raționale vă permite să integrați orice funcții raționale (fracții cu polinoame în numărător și numitor),
Algoritmul Risch - un algoritm pentru integrarea oricăror funcții elementare,
unele integrale pot fi găsite în tabele, vezi Categoria:Liste de integrale .
atunci când se integrează de mai multe ori, se poate folosi o tehnică suplimentară, de exemplu, vezi coordonate duble integrale și polare , teorema lui Jacobian și Stokes .
Sistemele de algebră computerizată ajută la automatizarea unora dintre operațiile simbolice de mai sus (în special, algoritmul Risch), ceea ce este foarte convenabil atunci când calculele algebrice devin prea greoaie.

Note

↑ Antiderivată de funcții ale variabilelor complexe . Preluat la 7 mai 2019. Arhivat din original pe 7 mai 2019. (nedefinit)
↑ 1 2 3 Antiderivat // Enciclopedia Matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 237.
↑ Shibinsky, 2007 , p. 139-140.
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 57, 51. - 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 .

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică superioară. - Ed. a XII-a - M . : Nauka, 1977. - 872 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral în trei volume. - Ed. al 6-lea. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 p.
Shibinsky VM Exemple și contraexemple în cursul analizei matematice. Tutorial. - M . : Şcoala superioară, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Link -uri

Wolfram Integrator - calcularea integralelor online folosind Mathematica
Asistent matematic pe web - Calcul simbolic online Arhivat la 1 decembrie 2008 la Wayback Machine
Calculator online de integrale Arhivat 6 ianuarie 2010 la Wayback Machine