Integrală multiplă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 decembrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

În analiza matematică , o integrală multiplă sau multiplă este un set de integrale luate din variabile. De exemplu: $\d > 1$

\underbrace {\int \cdots \int } _{d}f(x_{1},\ldots,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d)

Notă: o integrală multiplă este o integrală definită, iar atunci când este calculată, se obține întotdeauna un număr.

Definiția unei integrale multiple

Fie o mulțime măsurabilă [1] a unui spațiu real n-dimensional, fie o funcție pe . $B\sub \R^n$ $f:B\la\R$ $B$

O partiție a unei mulțimi $\sigma$ este un set de submulțimi disjunse în perechi care se combină pentru a da totul . $B$ $\sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}$ $B$

Finețea despărțitorului este cel mai mare diametru al seturilor . $\left| \sigma \right|$ $U_i \in \sigma$

\left| \sigma \right|=\max \left\{ \operatorname{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

O partiție se numește finită dacă este o mulțime finită și măsurabilă dacă toate elementele sale sunt mulțimi măsurabile (în acest caz, conform lui Jordan).

O integrală multiplă (n-fold) a unei funcții dintr-o mulțime este un număr (dacă există) astfel încât, oricât de mică este vecinătatea numărului pe care îl setăm, există întotdeauna o astfel de partiție a mulțimii și o mulțime de puncte intermediare că suma produselor valorii funcției în punctul intermediar al partiției de pe măsura partiției va cădea în această vecinătate. Oficial: $f$ $B$ $eu$ $\varepsilon$ $eu$ $B$

\forall \varepsilon>0\;\; \exists\delta>0

: :

\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}

\left| \sigma \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \left| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon

Iată măsura setului . $\mu(U_i)$ $U_{i}$

Această definiție poate fi formulată într-o altă formă folosind sume integrale. Și anume, pentru o partiție dată și un set de puncte , luați în considerare suma integrală $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^mf(\xi_i) \mu(U_i)

Integrala multiplă a unei funcții este limita $f:B\la \R$

I = \lim_{\left| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

dacă există. Limita este preluată de setul tuturor secvențelor de partiții, cu finețea tinzând spre 0. Desigur, această definiție diferă de cea anterioară, de fapt, doar în limbajul folosit.

Integrala se notează după cum urmează:

În formă vectorială [2]

\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I

Sau pun timpii pictogramei integrale, notează funcția și diferențele: . $\d$ $\d$ $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1} }\cdots d{{x}_{d}}=I$
Pentru integralele duble și triple se folosesc și notația și , respectiv. $\int$ $\iiiint$

În articolele moderne de matematică și fizică, utilizarea repetată a semnului integral nu este utilizată.

O astfel de integrală multiplă se numește integrală proprie .

În cazul integrală multiplă este aceeași cu integrala Riemann . $n=1$

Existența unei integrale multiple

Condiții suficiente

Dacă o funcție este continuă pe un set compact măsurabil de Jordan, atunci este integrabilă pe ea.
- O funcție nemărginită dintr-o mulțime poate să nu fie integrabilă chiar dacă este continuă. De exemplu, funcția nu este integrabilă în intervalul . $y=1/x$ $\left( 0;1 \dreapta)$
Dacă o funcție este definită pe o mulțime măsurabilă de Jordan care are partiții arbitrar mici pentru care funcția dată este nelimitată la unirea tuturor elementelor lor de măsură pozitivă, atunci această funcție nu este integrabilă în această mulțime.

criteriul Darboux

Să existe integrale Darboux superioare și inferioare ale funcției pe . Atunci, dacă integralele Darboux superioare și inferioare sunt egale, atunci această funcție este integrabilă pe , și: $eu^*$ $eu_*$ $G$ $G$

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left(X \right)dX}

criteriul Lebesgue

Să fie un set măsurabil Jordan. Funcția este integrabilă dacă: $G$ $G$

Caracteristica este limitată la . $G$
Funcția este continuă pe , unde mulțimea are măsura zero Lebesgue . $G\setminus E$ $E$

Proprietățile integralelor multiple

Liniaritate în funcție . Lăsați măsurabil, funcții și integrabil pe , atunci $\G$ $\ f$ $\g$ $\G$

\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\ mu \int\limits_{G}{gdX}

Aditivitate față de setul de integrare . Lasă seturile și să fie măsurabile, și . Fie, de asemenea, funcția să fie definită și integrabilă pe fiecare dintre mulțimile și . Atunci integrala peste există și este egală cu ${G}_{1}$ $G_{2}$ $G_1\cap G_2 = \varnothing$ $G_1\cup G_2 = G$ $f(X)$ $G_{1}$ $G_{2}$ $G$

\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX

Monotonitate în funcție . Lăsați măsurabil, funcții și să fie integrabil pe , și . Apoi $G$ $f$ $g$ $G$ $\forall X\în G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right)$

\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX

Inegalitatea triunghiului integral . Consecința proprietății anterioare.

\left| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X)\dreapta| dX

Teorema valorii medii integrale . Fie compact, funcția este continuă și integrabilă pe , atunci $G$ $f(X)$ $G$

\există Y\în G\colon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)

Funcția constantă este integrabilă pe orice set măsurabil și $f(X) = c$ $G$

\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)

În consecință, . $\ \int_G dX = \mu(G)$

Calculul integralelor multiple

Reducerea unei integrale multiple la cele iterative

Să fie o mulțime măsurabilă, să fie și o mulțime măsurabilă, să fie definită și integrabilă pe . Apoi $D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ $G=\left\{ \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\în D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right )\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ $f\stânga(X\dreapta)$ $\G$

$\int \limits _{\\varphi \left({{x}_{1)),\ldots, {{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x} _{d}}\right)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ dreapta)$ există peste tot pe , cu excepția unui set de măsură Lebesgue zero ( poate fi gol); $D$ $D_0$ $D_0$
există unde $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1)),\ldots, {{x}_{d-1}}\right)d{ {x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({ {x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}}),\ldots ,{{ x }_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{ d }}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$

\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{ 1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \ în D \backslash D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D_0, \end{cases}

numită integrală iterată a unei funcții peste o mulțime ;

f\left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}} \right)

G

$\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots, {{x}_{d}}\right)d{{x}_{1} }\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}\ dreapta)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{ x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Orice integrală d-dimensională poate fi redusă la d unidimensionale.

Modificarea variabilelor într-o integrală multiplă

Să fie dată o mapare bijectivă care transformă domeniul în : ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ $\ {{D}'}$ $\D$

\left\{ \begin{align} {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ \ldots \\ {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{ {x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.

unde sunt coordonatele „vechi” și sunt coordonatele „noile”. Mai mult, lăsați funcțiile care definesc maparea să aibă derivate parțiale continue de ordinul întâi în domeniu, precum și un jacobian mărginit și diferit de zero. $t$ $X$ $\ {{D}'}$

\frac{D\left(t \right)}{D\left(x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d }} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}

Apoi, cu condiția ca integrala să existe

\int\limits_{D}{f\left(T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}

formula pentru schimbarea variabilelor este valabilă:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ldots ,{{t}_{d)) \right)d{{t} _{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left ( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

Utilizarea simetriei

Dacă domeniul de integrare este simetric față de originea coordonatelor pentru cel puțin una dintre variabilele de integrare și integrandul este impar în această variabilă, integrala este egală cu zero, deoarece integralele din cele două jumătăți ale domeniului de integrare au aceeași valoare absolută, dar semne opuse. Dacă integrandul este par peste această variabilă, integrala este egală cu de două ori integrala peste una dintre jumătățile domeniului de integrare, deoarece integralele peste fiecare dintre jumătăți sunt egale.

Exemplul 1. Lăsați funcția să fie integrată peste domeniu $f(x,y) = 2\sin(x)-3y^3+5$

T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

un cerc cu raza 1 centrat la origine.

Folosind proprietatea de liniaritate, integrala poate fi descompusă în trei părți:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \ , dx \, dy

2sin( x ) și 3 y 3 sunt funcții impare și, de asemenea, este clar că discul T este simetric atât față de axa x , cât și față de axa y . Astfel, doar constanta 5 contribuie la rezultatul final.

Exemplul 2. Fie ca funcția f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) să fie integrată pe o sferă de rază 2 centrată la origine,

T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.

„Mingea” este simetrică de-a lungul tuturor celor trei axe, dar este suficient să se integreze de-a lungul axei x pentru a arăta că integrala este 0, deoarece funcția este impară în această variabilă.

Integrală dublă

O integrală dublă este o integrală multiplă cu . $\d=2$

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }

. Aici , este elementul zonă în coordonatele considerate.

\d\sigma

În coordonate dreptunghiulare: , unde este elementul de zonă în coordonate dreptunghiulare. $\iint\limits_{D}{f\left(x,y \right)dxdy}$ $\dxdy$

Sensul geometric al integralei duble

Lăsați funcția să ia numai valori pozitive în domeniu. Atunci integrala dublă este numeric egală cu volumul unui corp cilindric vertical construit pe bază și delimitat de sus de piesa corespunzătoare de suprafață . $f\stânga(x,y\dreapta)$ $\D$ $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma}::$ $\V$ $\D$ $z=f\stanga(x,y\dreapta)$

Exprimarea integralei duble în termeni de coordonate polare

În unele cazuri, este mai ușor să se calculeze integrala dublă nu în dreptunghiulare, ci în coordonate polare , deoarece în acest caz poate avea loc o simplificare semnificativă a formei regiunii de integrare și a întregului proces de integrare în ansamblu.

Aplicăm teorema schimbării variabilelor. Transformarea corespunzătoare tranziției are forma:

\left\{{\begin{aliniat}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{aliniat}}\right.

Modulul jacobianului mapării este . Astfel obținem asta $\r$

\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\ varphi },\quad

unde .

g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi, r\sin \varphi \right)

Aici este elementul zonă în coordonate polare. $\rdrd\varphi$

Un exemplu de tranziție la un sistem de coordonate arbitrar

Să calculăm aria regiunii . $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$

Trecerea la un sistem de coordonate polare nu va ușura zona:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1} {4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}

Multiplicatorul din fața sinusului „intervine”. În acest caz, tranziția poate fi ușor ajustată:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.

Această transformare va traduce zona inițială în următoarele:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0 \le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.

Afișare iacobiană :

\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} și {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi } } & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matrice} \right|=\left| \begin{matrice} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrice} \right|=2r

Modulul jacobian este de asemenea . $2r$

De aici

S\left(D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\ limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi

Rezultatul este corect deoarece aria este delimitată de elipsa dată de ecuația canonică. Aria poate fi calculată folosind formula . Prin substituție, ne asigurăm că calculul integralei este corect. $\D$ $S=\pi ab$

Aplicații ale integralelor duble

Nume valoare	Expresie generală	Coordonate dreptunghiulare	Coordonate polare
Aria unei figuri plate	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Masa unei plăci plate subțiri densitate $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Suprafața piesei $^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right )}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2))}drd\varphi }$
Volumul unui corp cilindric, stând în avion $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Momentul de inerție al unei figuri plate $^{2)}$ despre axa $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Momentul de inerție al unei figuri plate $^{2)}$ despre axa $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Coordonatele centrului de masă placă omogenă $^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}$ ${{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}$	$\begin{align} și \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ și \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \ \ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ & \frac{1}{ S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ \end{align}$
Note	1) Aria - proiectie pe un plan ; numai un punct al suprafeței este proiectat în fiecare punct al zonei; $G$ $XOY$ $\gamma$ este unghiul dintre planul tangent și planul . $XOY$ 2) Combinat cu avionul . $XOY$ 3) Sau, care este același, în raport cu centrul O.

Integrală triplă

O integrală triplă este o integrală multiplă cu : $\d=3$

\iiiint\limits_{D}{f\left(P \right)dV }

unde este elementul de volum în coordonatele considerate. $\dV$

Exprimarea integralei triple în termeni de coordonate dreptunghiulare

În coordonate dreptunghiulare, integrala triplă are următoarea formă:

\iiiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

unde este elementul de volum în coordonate dreptunghiulare. $\dxdydz$

Exprimarea integralei triple în termeni de coordonate cilindrice

În mod similar, în unele cazuri, integrala triplă este mai ușor de calculat nu în coordonate dreptunghiulare, ci în coordonate cilindrice . Aplicăm teorema schimbării variabilelor. Transformarea corespunzătoare tranziției are forma:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.

Modulul jacobianului mapării este . Astfel obținem asta $\r$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd \varphi dh}

unde este elementul de volum în coordonate cilindrice. $rdrd\varphi dh$

Exprimarea integralei triple în termeni de coordonate sferice

Pe lângă coordonatele cilindrice, puteți comuta și la coordonatele sferice . Aplicăm teorema schimbării variabilelor. Transformarea corespunzătoare tranziției are forma:

\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{ aliniază}\dreapta.

Modulul jacobianului mapării este . Astfel obținem asta $\ {{r}^{2}}\sin \theta$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right ){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

unde este elementul de volum în coordonate sferice. ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$

Aplicații ale integralelor triple

Nume valoare	Expresie generală	Coordonate dreptunghiulare	Coordonate cilindrice	Coordonate sferice
volumul corpului	$V=\iiiint\limits_{G}{dV }$	$\iiiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Momentul de inerție al geometricului corpuri în jurul axei $oz$	${{I}_{z}}=\iiiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Masa unui corp fizic cu densitate $\mu$	$m=\iiiint\limits_{G}{\mu dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Coordonatele centrului de masă corp omogen	$\begin{align} & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdV }} \\ & {{y}_{c}} ={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ydV }} \\ & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\ limits_{G}{zdV }} \\ \end{align}$	$\begin{align} și {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ și {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ ydxdydz)) \\ & {\frac{1}{V)){\iiiint\limits_{G}{zdxdydz)) \\ \end{align}$	—	—

Vezi și

Note

↑ Aici și peste tot mai jos, dacă nu se specifică altfel, măsurabilitatea unui set este înțeleasă în sensul iordanian.
↑ Este destul de tipic într-o astfel de notație să se folosească o literă diferită pentru elementul domeniului ( n - dimensional) al integrării decât pentru desemnarea argumentului vectorial al funcției integrabile, i.e. nu ci de exemplu sau pur și simplu sau etc., deoarece în notația de coordonate acest element de volum este în cele mai simple cazuri produsul diferenţialelor de coordonate , iar în cazul mai general al coordonatelor curbilinii X trebuie să includă şi determinantul metricii : $\int\limits_{G}{f\left(X \right)dX},$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV_X}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)d\Omega}$ $dV_X = \prod_i dX_i$ $dV_X = |\det g| \prod_i dX_i.$

Literatură

Vygodsky, M. Ya. Diferențierea și integrarea funcțiilor mai multor argumente // Manual de matematică superioară. - M . : Astrel, AST, 2005. - 991 p. — 10.000 de exemplare. - ISBN 5-17-012238-1 , 5-271-03651-0.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Capitolul 2. Integrale duble și n-fold // Fundamentele analizei matematice. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 2. - 464 p. — (Curs de matematică superioară și fizică matematică). - 5000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0131-5 .
Kudryavtsev, L. D. Capitolul 6. Calculul integral al funcțiilor mai multor variabile // Curs de analiză matematică. - M . : Şcoala superioară, 1981. - T. 2. - 584 p.
Budak, B. M., Fomin S. V. Integrale multiple și serii. — M .: Nauka , 1967. — 608 p.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNE : XX552555 NKC : ph385192

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale