Mozaic pitagoreic

O placă pitagoreică ( tiling cu două pătrate ) este o placare a planului euclidian cu pătrate de două dimensiuni diferite, în care fiecare pătrat atinge patru pătrate de o dimensiune diferită cu cele patru laturi ale sale. Pe baza acestui mozaic se poate demonstra (intuitiv) teorema lui Pitagora [2] , pentru care mozaicul a fost numit pitagorean [1] . Mozaicul este adesea folosit ca model de podea cu gresie . În acest context, un tiling este cunoscut și ca un model de clasă [3] .

Topologie și simetrie

Plasarea lui Pitagora este singura placare cu două pătrate de dimensiuni diferite, în care nu există două pătrate care au o latură comună și, în același timp, oricare două pătrate de aceeași dimensiune pot fi mapate între ele prin simetria plăcii [ 4] .

Din punct de vedere topologic, placarea lui Pitagora are aceeași structură ca și placarea pătrată trunchiată a pătratelor și octagoanelor regulate [5] . Pătratele mai mici din placarea lui Pitagora sunt adiacente la patru plăci mari, la fel și pătratele din placarea pătrată trunchiată, în timp ce pătratele mai mari din placarea pitagoreică sunt adiacente la opt vecini, alternativ mari și mici, la fel ca octagooanele din plăcile trunchiate. placare pătrată. Cu toate acestea, cele două plăci au simetrii diferite - plăcuța pătrată trunchiată are simetrie diedră în jurul centrului fiecărei plăci, în timp ce placarea pitagoreică are un set ciclic mai mic de simetrii în jurul punctelor corespunzătoare, formând o simetrie p4 [6] . Mozaicul este chiral , ceea ce înseamnă că nu poate fi obținut din imaginea în oglindă doar prin translații și rotații paralele.

O placă uniformă  este o placă în care fiecare plăci este un poligon regulat și în care există o simetrie care mapează orice vârf la orice alt vârf. În mod obișnuit, este necesară în plus o placă uniformă pentru ca plăcile să atingă margine la margine, dar dacă această restricție este renunțată, atunci există opt plăci uniforme suplimentare - patru sunt formate din benzi infinite de pătrate sau triunghiuri regulate, trei sunt formate de plăci obișnuite. triunghiuri și hexagoane regulate, iar al optulea este mozaicul pitagoreic [7] .

Teorema lui Pitagora și tăieturi

Mozaicul se numește pitagora deoarece a fost folosit pentru a demonstra teorema lui Pitagora de către matematicienii arabi din secolul al IX-lea An-Nairizi și Thabit ibn Qurra , iar în secolul al XIX-lea de către matematicianul amator britanic Henry Perigal [1] [8] [9] . Dacă laturile a două pătrate care formează un mozaic sunt notate cu litere și , atunci distanța cea mai apropiată dintre punctele corespunzătoare ale pătratelor identice va fi , unde este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt egale cu și . De exemplu, în imaginea din stânga, două pătrate ale plăcuței pitagoreice au lungimi de 5 și 12 unități, iar lungimea laturii plăcii pătrate suprapuse (linii roșii) este de 13, ceea ce corespunde triplei pitagoreice (5 ,12,13).

Suprapunând o rețea pătrată cu o latură pe o placare pitagoreică, se poate obține o tăietură în cinci părți din două pătrate inegale cu laturile și , din care se poate face un pătrat cu latura , aceasta arată că cele două pătrate mai mici din total au aceeași suprafață ca și pătratul mare. În același mod, suprapunerea a două plăci pitagorice poate fi folosită pentru a obține o tăietură în șase părți a două pătrate inegale, din care se pot adăuga alte două pătrate inegale [8] [10] .

Secțiuni aperiodice

Deși placarea lui Pitagora în sine este periodică (are o rețea pătrată de translații paralele), secțiunile sale pot fi folosite pentru a forma secvențe neperiodice unidimensionale [11] .

În „construcția bloc” a secvențelor aperiodice, un mozaic pitagoreic este construit cu două pătrate, raportul dintre lungimile laturilor cărora este irațional (egal cu ). În acest caz, se alege o linie care este paralelă cu laturile pătratelor și se generează o succesiune de valori binare în funcție de pătratul pe care linia îl intersectează - 0 corespunde intersecției pătratului mai mare, iar 1 corespunde până la intersecția pătratului mai mic. În această secvență, raportul dintre aparițiile zerourilor și unuurilor este în relație . Această proporție nu poate fi obținută printr-o succesiune periodică de zerouri și unu, deoarece este irațională [11] .

Dacă alegeți raportul de aur drept calitate , succesiunea de zerouri și unități astfel formată are aceeași structură recursivă ca și cuvântul Fibonacci  - poate fi împărțită în subșiruri de forma „01” și „0” ( adică fără două consecutive ) și dacă aceste două subșiruri sunt înlocuite succesiv cu șiruri mai scurte „0” și „1”, obținem un alt șir cu aceeași structură [11] .

Rezultate înrudite

Conform conjecturii lui Keller , orice placare a planului cu pătrate identice trebuie să conțină două pătrate care se ating de la margine la margine [12] . Nu există două pătrate într-o placă pitagoreică care se ating de la margine la margine [4] , dar acest fapt nu încalcă conjectura lui Keller, deoarece nu toate pătratele sunt la fel.

Plasarea lui Pitagora poate fi generalizată la spațiul euclidian tridimensional ca o placare de cuburi de două dimensiuni diferite care se ating într-un mod similar. Attila Bölcskey numește astfel de teselații tridimensionale Rogers tilings . El a sugerat că în orice dimensiune mai mare de trei, există o modalitate unică de a tesela un spațiu hipercub de două dimensiuni diferite cu proprietăți similare cu cele descrise mai sus (nu există două hipercuburi care au o latură comună și orice două hipercuburi de aceeași dimensiune pot fi mapate). unul față de celălalt prin simetrie de placare) [13] [14] .

Burns și Rigby au găsit câteva prototile , inclusiv fulgul de zăpadă Koch , care pot fi folosite pentru a tesela un avion cu două sau mai multe copii de diferite dimensiuni [15] [16] . O lucrare anterioară a lui Danzer, Grünbaum și Shepard oferă un alt exemplu, un pentagon convex care teselează doar planul într-o combinație de două dimensiuni [17] . Deși placarea lui Pitagora folosește două dimensiuni diferite de pătrate, pătratele nu au aceleași proprietăți ca și prototilele indicate, care pot fi placate numai cu două (sau mai multe) plăci de dimensiuni diferite, deoarece planul poate fi placat cu pătrate ale aceeași mărime.

Note

1. ↑ 1 2 3 Nelsen, 2003 , p. 5–8.
2. ↑ Wells, 1991 , p. 260–261.
3. ↑ Hopscotch: Este mai mult decât un joc pentru copii. — Tile Inc., august 2008. .
4. ↑ 1 2 Martini, Makai, Soltan, 1998 , p. 481–495.
5. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. 171.
6. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. 42.
7. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. 73–74.
8. ↑ 1 2 Aguilo, Fiol, Fiol, 2000 , p. 341–352.
9. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. 94.
10. ↑ Frederickson, 1997 , p. 30–31.
11. ↑ 1 2 3 Steurer, Deloudi, 2009 , p. 91–92.
12. ↑ Corectitudinea acestei conjecturi pentru plăcile bidimensionale era deja cunoscută de Keller, dar mai târziu s-a dovedit că presupunerea nu este adevărată pentru dimensiunile opt și mai mari. Pentru recenzii ale rezultatelor legate de ipoteză, a se vedea ( Zong 2005 ).
13. ↑ Bölcskei, 2001 , p. 317–326.
14. ↑ Dawson ( 1984 ) a oferit un desen al unui mozaic tridimensional pe care îl atribuie lui Rogers, dar a citat o lucrare din 1960 a lui Richard Guy .
15. ↑ Burns, 1994 , p. 193–196.
16. ↑ Rigby, 1995 , p. 560–561.
17. ↑ Danzer, Grünbaum, Shephard 1982 , p. 568–570+583–585, Figura 3.

Literatură

• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Cristalografia cvasicristalelor: concepte, metode și structuri. - Springer, 2009. - T. 126. - S. 91–92. - (Seria Springer în Știința Materialelor). - ISBN 978-3-642-01898-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 .
• David Wells. Dicționarul pinguinului de geometrie curioasă și interesantă . - New York: Penguin Books, 1991. - p  . 260-261 . — ISBN 0-14-011813-6 .
• Horst Martini, Endre Makai, Valeriu Soltan. Placuri unilaterale ale planului cu pătrate de trei dimensiuni // Beiträge zur Algebra und Geometrie. - 1998. - T. 39 , nr. 2 . — S. 481–495 . .
• Branko Grünbaum, GC Shephard. Placuri și modele. - W.H. Freeman, 1987. - P. 171.
• Francesc Aguilo, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Tilingurile periodice ca metodă de disecție  // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , nr. 4 . — S. 341–352 . - doi : 10.2307/2589179 .
• Greg N. Frederickson. Disecții: avion și fantezie . - Cambridge University Press, 1997. - S.  30-31 .
• Chuanming Zong. Ce se știe despre cuburile unităților // Buletinul Societății Americane de Matematică. - 2005. - T. 42 , nr. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Attila Bolcskei. Umplerea spațiului cu cuburi de două dimensiuni // Publicationes Mathematicae Debrecen. - 2001. - T. 59 , nr. 3-4 . — S. 317–326 .
• RJM Dawson. Despre umplerea spațiului cu diferite cuburi întregi // Journal of Combinatorial Theory. Seria A. - 1984. - T. 36 , nr. 2 . — S. 221–229 . - doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 .
• Chuanming Zong. Ce se știe despre cuburile unităților // Buletinul Societății Americane de Matematică. - 2005. - T. 42 , nr. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Roger B. Nelsen. Tablouri, plăci plane și dovezi // Math Horizons. - 2003. - Emisiune. noiembrie . — P. 5–8 .
  • Retipărit în Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. Marginea universului: Sărbătorirea a zece ani de orizonturi matematice. - Mathematical Association of America, 2007. - S. 295-298. - ISBN 978-0-88385-555-3 .
  • Vezi și Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Dovezi fermecătoare: o călătorie în matematica elegantă. - Mathematical Association of America, 2010. - V. 42. - S. 168-169. — (Expoziţii matematice Dolciani). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• Aidan Burns. 78.13 Tilings fractali  // Gazeta Matematică. - 1994. - T. 78 , nr. 482 . — S. 193–196 . — .
• John Rigby. 79.51 Placarea planului cu poligoane similare de două dimensiuni  // Gazeta Matematică. - 1995. - T. 79 , nr. 486 . — S. 560–561 . — .
• Danzer L., Grünbaum B., Shephard GC Probleme nerezolvate: pot toate plăcile unei plăci să aibă o simetrie în cinci ori? // The American Mathematical Monthly. - 1982. - T. 89 , nr. 8 . - doi : 10.2307/2320829 .
• Aguilo F., Fiol MA, Fiol ML Tiling periodic ca metodă de disecție // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , nr. 4 . - doi : 10.2307/2589179 .