Funcție aproape periodică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 martie 2022; verificările necesită 4 modificări .

O funcție aproape periodică este o funcție pe mulțimea numerelor reale care este periodică cu orice precizie dorită, având în vedere „aproape perioade” distribuite uniform suficient de mari. Conceptul a fost studiat pentru prima dată de Harald Bohr și, ulterior, generalizat, printre alții, de Vyacheslav Vasilyevich Stepanov , Herman Weil și Abram Samoylovich Besikovici . Există, de asemenea, noțiunea de funcții aproape periodice pe grupuri abeliene compacte local , care a fost studiată pentru prima dată de John von Neumann .

Aproape periodicitatea este o proprietate a sistemelor dinamice care se manifestă atunci când trasează calea sistemului prin spațiul fazelor . Un exemplu ar fi un sistem planetar cu planete pe orbite care se mișcă cu perioade disparate (adică cu un vector de perioade care nu este proporțional cu un vector de numere întregi ). Teorema lui Kronecker din teoria aproximărilor diofantine poate fi folosită pentru a arăta că orice configurație anume, odată întâlnită, se va repeta cu orice precizie specificată - dacă așteptăm suficient de mult, putem observa că toate planetele se vor întoarce în secunde de arc. , în care se aflau.

Motivație

Există mai multe definiții neechivalente ale funcțiilor aproape periodice. Prima definiție a fost dată de Harald Bohr . El a fost inițial interesat de seria finită Dirichlet . De fapt, dacă tăiem seria funcției zeta Riemann pentru a o face finită, obținem sume finite ale membrilor de tip $\zeta (s)$

e^{(\sigma +it)\log n}\,

cu s scris ca , suma realului și a imaginarului pe care îl împarte. Dacă fixăm , care limitează atenția la o singură linie verticală în plan complex, putem reprezenta aceasta ca $(\sigma +it)$ $\sigma$ $\sigma$

n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,

Dacă luăm o sumă finită a unor astfel de termeni, dificultățile cu continuarea analitică merg la domeniul . Aici „frecvențele” nu sunt comparabile (toate sunt independente liniar față de numerele raționale). $\sigma <1$ $\log{n}$

Din aceste motive, luăm în considerare tipuri de polinoame trigonometrice cu frecvențe independente și folosim calculul pentru a discuta închiderea acestui set de funcții de bază în diverse norme .

Pentru alte norme, teoria a fost dezvoltată de Besikovici , Stepanov , Weil , von Neumann , Turing , Bochner și alții în anii 1920-1930.

Uniforme (Bohr, Bochner) funcții aproape periodice

Bohr (1925) [1] a definit uniform funcțiile aproape periodice ca închiderea polinoamelor trigonometrice în norma uniformă

\|f\|_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|

(pentru funcțiile mărginite f pe R ). Cu alte cuvinte, o funcție f este uniform aproape periodică dacă pentru oricare există o combinație liniară finită de unde sinusoidale la o distanță mai mică decât f în norma uniformă. Bohr a demonstrat că această definiție este echivalentă cu existența unui set relativ dens de perioade apropiate pentru toate . Adică existenţa translaţiilor paralele în variabila t pentru care $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $\epsilon-$ $\epsilon >0$ $T(\epsilon )=T$

\left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .

Definiția alternativă a lui Bochner (1926) este echivalentă cu cea a lui Bohr și a afirmat relativ simplu:

O funcție f este aproape periodică dacă orice succesiune de translații paralele f are o subsecvență care converge uniform în t la . $\{(t+T_{n})\}$ $(-\infty,+\infty)$

Funcțiile Bohr aproape periodice sunt în esență aceleași cu funcțiile continue pe compactarea Bohr a numerelor reale.

Funcțiile aproape periodice ale lui Stepanov

Spațiul funcțiilor Steanov aproape periodice (pentru ) a fost introdus de V.V. Stepanov (1925) [2] [3] Conține spațiul funcțiilor Bohr aproape periodice. Spațiul este închiderea normală a polinoamelor trigonometrice $S^{p)$ $p\geqslant 1$

\|f\|_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)| ^{p}\,ds\right)^{1/p}

pentru orice r fix pozitiv . Pentru valori diferite ale lui r , această normă oferă aceeași topologie și același spațiu de funcții aproape periodice (deși norma în acest spațiu depinde de alegerea lui r ).

Funcții Weyl aproape periodice

Spațiul funcțiilor Weyl aproape periodice (pentru ) a fost introdus de Weil (1927) [4] . Conține spațiul funcțiilor Stepnov aproape periodice. Este închiderea polinoamelor trigonometrice în seminorm $W^{p}$ $p\geqslant 1$ $S^{p)$

\|f\|_{W,p}=\lim _{r\la \infty }\|f\|_{S,r,p)

Atenție: există funcții diferite de zero cu , precum și orice funcție limitată pe un suport compact, așa că pentru a obține un spațiu Banach ar trebui să luați spațiul coeficient peste aceste funcții. $f$ ${\lVert }f{\rVert }_{W,p}=0$

Funcții Besicovitch aproape periodice

Spațiul funcțiilor Besikovici aproape periodice a fost introdus de Besikovici (1926) [5] . Este închiderea polinoamelor trigonometrice în seminorm $B^{p)$

\|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s) |^{p}\,ds\right)^{1/p}

Funcțiile aproape periodice din Besicovitch au o expansiune (nu neapărat convergentă) $B^{2}$

\sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t)

cu suma finita si reala . În schimb, orice astfel de serie este o extensie a unei funcții periodice Besicovitch (nu unică). $\sum {a_{n}^{2}}$ $\lambda_n$

Spațiul funcțiilor Besicovitch aproape periodice (pentru ) conține spațiul funcțiilor Weyl aproape periodice. Dacă creăm un spațiu coeficient peste subspațiul funcțiilor „zero”, acesta poate fi identificat cu spațiul funcțiilor pe compactificarea Bohr a numerelor reale. $B^{p)$ $p\geqslant 1$ $W^{p}$ $L^{p}$

Funcții aproape periodice pe grupuri abeliene compacte local

Odată cu dezvoltarea teoretică și apariția metodelor abstracte ( teorema Peter-Weil , dualitatea Pontryagin și algebrele Banach ), o teorie generală a devenit posibilă. Ideea de bază de aproape periodicitate în raport cu un grup abelian compact local G este redusă la ideea unei funcții F astfel încât translațiile paralele pe G formează o mulțime relativ compactă . În mod echivalent, spațiul funcțiilor aproape periodice este închiderea normală a combinațiilor liniare finite de caractere ale grupului G . Dacă G este compact, funcțiile aproape periodice sunt aceleași cu funcțiile continue. $L^{\infty }(G)$

Compactificarea Bohr a lui G este grupul abelian compact al tuturor caracterelor posibil discontinue ale grupului dual cu G și este un grup compact care conține G ca subgrup dens. Spațiul funcțiilor uniform aproape periodice pe G poate fi identificat cu spațiul tuturor funcțiilor continue pe compactificarea lui Bohr a lui G . Mai general, compactarea Bohr poate fi definită pentru orice grup topologic G , iar spațiile continue sau funcțiile de pe compactificarea Bohr pot fi considerate funcții aproape periodice pe G. Pentru grupurile conexe local compacte G , o mapare de la G la compactarea lui Bohr este injectivă dacă și numai dacă G este o extensie centrală a unui grup compact sau, echivalent, un produs al unui grup compact de un spațiu vectorial cu dimensiuni finite. $L^{p}$

Semnale cvasi-periodice în procesarea audio și sinteza muzicii

În procesarea semnalului de vorbire , procesarea semnalului audio și sinteza muzicii , un semnal cvasi -periodic are o formă de undă care este periodică microscopic , dar nu neapărat periodică macroscopic. Aceasta nu dă o funcție cvasi-periodică în sensul articolului Wikipedia cu acel nume, ci ceva mai mult ca o funcție aproape periodică, fiind o funcție aproape periodică, unde orice perioadă este practic identică cu perioadele adiacente, dar nu. neapărat asemănătoare cu perioade mai mult decât îndepărtate în timp. Acest lucru este valabil pentru tonurile muzicale (după tranzitoriul inițial) în care toate armonicile sau armoniile sunt armonice (adică toate harmonicile au o frecvență care este un multiplu al frecvenței de referință a tonului).

Dacă semnalul este complet periodic cu punct , atunci semnalul satisface identitatea $x(t)\$ $P\$

x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R}

{\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\

Reprezentarea sub forma unei serii Fourier va fi

x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{ n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}

x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})

unde este frecvența de referință și coeficienții seriei Fourier sunt $f_{0}={\frac {1}{P)}$

a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\

a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{ 0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1

b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_ {0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\

unde poate fi oricând în interval .

t_{0}\

-\infty <t_{0}<+\infty \

Frecvența de referință și coeficienții seriei Fourier, ,, sau, sunt constante, adică nu depind de timp. Frecvențele armonice sunt multipli ai frecvenței de referință. $f_{0}\$ $a_{n}\$ $b_{n}\$ $r_{n}\$ $\varphi _{n}\$

Dacă este cvasi-periodic , atunci $x(t)\$

x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\

{\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \

Unde

0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert}={\sqrt {\overline {x^{2}}})={\sqrt {\lim _{\tau \ la \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt)).\

Acum va fi reprezentarea seriei Fourier

x(t)=a_{0}(t)\ +\\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n \int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^ {t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]

x(t)=a_{0}(t)\ +\\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _ {0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)

x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0} ^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)

unde , probabil, este frecvența de referință care variază în timp, iar coeficienții care variază în timp ai seriei Fourier sunt $f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}$

a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \

a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t )}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau { \big )}\,d\tau \qquad n\geq 1

b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P( t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \

iar frecvența instantanee pentru fiecare armonică este

f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,

Spre deosebire de cazul cvasi-periodic, frecvența de referință , frecvențele armonice și coeficienții din seria Fourier , , sau nu sunt neapărat constanți și sunt funcții de timp, deși se schimbă lent . $f_{0}(t)\$ $f_{n}(t)\$ $a_{n}(t)\$ $b_{n}(t)\$ $r_{n}(t)\$ $\varphi _{n}(t)\$

Frecvențele sunt foarte apropiate de armonice, dar nu neapărat exact așa. Derivata în timp a , adică , are efectul nepotrivirii de frecvență a valorii armonice întregi exacte . Variarea rapidă înseamnă că frecvența instantanee pentru acea armonică este mult departe de valoarea armonicii întregi, ceea ce înseamnă că nu este cvasi-periodică. $f_{n}(t)$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi _{n}^{\prime }(t)$ $nf_{0}(t)$ $\varphi _{n}(t)$ $x(t)$

Funcție cvasi-periodică

În matematică, se spune că o funcție este cvasi-periodică atunci când are o oarecare asemănare cu o funcție periodică , dar nu urmează definiția strictă. Pentru a fi mai precis, aceasta înseamnă că funcția este cvasi-periodică cu o cvasi-perioadă dacă , unde este o funcție mai simplă decât . $f$ $\omega$ $f(z+\omega)=g(z,f(z))$ $g$ $f$

Un caz simplu (numit uneori aritmetic-cvasi-periodic) în care funcția respectă ecuația:

f(z+\omega)=f(z)+C

Un alt caz (uneori numit geometric-cvasi-periodic) este că funcția respectă ecuația:

f(z+\omega)=Cf(z)

Un alt exemplu este funcția:

f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)

Dacă raportul A/B este rațional, funcția va avea o perioadă, dar dacă A/B este irațional nu există o astfel de perioadă, deși există o succesiune de numere , numită „aproape” perioade, astfel încât pentru orice , există unul astfel încât $\omega _{i)$ $\epsilon$ $i$

|f(z+\omega _{i})-f(z)|<\epsilon

Un alt exemplu de funcție cu aproape puncte este funcția Jacobi theta , unde

\vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau )

Aceasta arată că există o cvasi-perioadă pentru fix ; este si periodica cu perioada egala cu unu. Un alt exemplu este funcția Weierstrass Sigma , care este cvasi-periodică, cu două cvasi-perioade independente corespunzătoare funcțiilor Weierstrass Sigma. $\tau$ $\tau$

Funcții cu ecuație funcțională aditivă

f(z+\omega)=f(z)+az+b\

numită şi cvasi-periodică. Un exemplu în acest sens este funcția zeta Weierstrass , unde

\zeta (z+\omega)=\zeta (z)+\eta \

pentru o constantă fixă când este perioada funcției Weierstrass corespunzătoare. $\eta$ $\omega$

Vezi și

Funcție cvasi-periodică
Seria Fourier

Note

↑ Bohr, 1925 , p. 29–127.
↑ Stepanoff, 1925 , p. 90–92.
↑ Stepanov, 1925 , p. 473–498.
↑ Weyl, 1927 , p. 338–356.
↑ Besicovici, 1926 , p. 495–512.

Literatură

H. Bohr. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I // Acta Math .. - 1925. - Issue. 45 .
H. Bohr. Funcții aproape periodice. - Chelsea, 1947. - (retipărire).
W. Stepanoff(=VV Stepanov). Sur quelques generalizations des fonctions presque périodiques // CR Acad. Sci .. - Paris, 1925. - T. 181 .
W. Stepanoff(=VV Stepanov). Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen // Math. Ann .. - 1925. - Emisiune. 45 .
H. Weyl. Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen // Math. Ann .. - 1927. - Emisiune. 97 .
AS Besicovitch. Despre funcții generalizate aproape periodice // Proc. London Math. Soc.. - 1926. - Vol. 2 , nr. 25 .
AS Besicovitch. Funcții aproape periodice . — Cambridge University Presă, 1932.
Luigi Amerio, Giovanni Prouse. Funcții aproape periodice și ecuații funcționale. - New York-Cincinnati-Toronto-Londra-Melbourne: Van Nostrand Reinhold , 1971. - p. viii+184. — ( Seria universitară în matematică superioară ). - ISBN 0-442-20295-4 .
Bochner, S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen. - 1926. - T. 96 . — S. 119–147 . - doi : 10.1007/BF01209156 .
J. von Neumann. Funcții aproape periodice într-un grup I.—Trad. amer. Matematică. Soc .. - 1934. - T. 36. - S. 445-492.
S. Bochner, J. von Neumann. Funcție aproape periodică într-un grup II // Trans. amer. Matematică. Soc .. - 1935. - T. 37 , nr. 1 . — S. 21–50 .
Bredikhina, EA (2001), Almost-periodic functions , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Besicovitch aproape funcții periodice , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Funcțiile Bohr aproape periodice , în Hazewinkel, Michiel, Enciclopedia Matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Stepanov aproape funcții periodice , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Funcțiile Weyl aproape periodice , în Hazewinkel, Michiel, Enciclopedia Matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4