Spațiu proiectiv

Un spațiu proiectiv peste un câmp $K$ este un spațiu format din linii ( subspații unidimensionale ) ale unui spațiu liniar peste un câmp dat. Spațiile drepte se numesc puncte ale spațiului proiectiv. Această definiție poate fi generalizată la un corp arbitrar.În cazul în care câmpul sau , spațiul proiectiv corespunzător se numește real sau , respectiv, complex . $L(K)$ $L(K)$ $K.$ $K=\mathbb {R}$ $K=\mathbb {C}$

Dacă are dimensiunea , atunci dimensiunea spațiului proiectiv se numește număr , iar spațiul proiectiv însuși este notat și se numește asociat cu (pentru a indica acest lucru, se adoptă notația ). $L$ $n+1$ $n$ $KP^n$ $L$ $P(L)$

Trecerea de la un spațiu vectorial de dimensiune la spațiul proiectiv corespunzător se numește proiectizare spațială . $L(K)$ $n+1$ $KP^n$ $L(K)$

Punctele pot fi descrise folosind coordonate omogene . $KP^n$

Definiție ca spațiu de coeficient

Identificând punctele în care este diferit de zero, obținem un set de factori (prin relația de echivalență ) $(x_{0},\ldots,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots,\lambda x_{n})$ $\lambda$ $\sim$

\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }

Punctele spațiului proiectiv sunt notate cu , unde numerele se numesc coordonate omogene [1] . De exemplu, și notează același punct în spațiul proiectiv. $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ $x_{i}$ $[1:2:3]$ $[2:4:6]$

Definiție axiomatică

Un spațiu proiectiv poate fi definit și printr-un sistem de axiome de tip Hilbert . În acest caz, un spațiu proiectiv este definit ca un sistem format dintr-un set de puncte , un set de linii și o relație de incidență , care este de obicei exprimată ca „un punct se află pe o dreaptă”, satisfăcând următoarele axiome: $P$ $L$ $eu$

Pentru oricare două puncte distincte, există o linie incidentă unică la ambele puncte;
Fiecare linie este incidentă la cel puțin trei puncte;
Dacă liniile și se intersectează (au un punct incident comun), punctele și se află pe linie , iar punctele și se află pe linie , atunci liniile și se intersectează. $L$ $M$ $p$ $q$ $L$ $s$ $r$ $M$ $ps$ $qr$

Un subspațiu al unui spațiu proiectiv este o submulțime a mulțimii astfel încât pentru oricare din această submulțime toate punctele dreptei să aparțină lui . Dimensiunea unui spațiu proiectiv este cel mai mare număr astfel încât să existe un lanț strict crescător de subspații de forma $T$ $P$ $p,q\în P$ $pq$ $T$ $P$ $n$

\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P

Clasificare

Dimensiunea 0: spațiul este format dintr-un singur punct.
Dimensiunea 1 ( linia proiectivă ): un set arbitrar de puncte nevide și singura linie pe care se află toate aceste puncte.
Dimensiunea 2 ( plan proiectiv ): în acest caz, clasificarea este mai complexă. Toate planurile de vedere pentru un corp satisfac axioma lui Desargues , dar există și planuri non-desarguesiene . $KP^n$ $K$
Dimensiuni mari: Conform teoremei Veblen - Young [2] , orice spațiu proiectiv de dimensiune mai mare de două poate fi obținut ca proiectivizare a unui modul peste un inel de diviziune.

Definiții și proprietăți înrudite

Să existe un hiperplan într-un spațiu liniar . Spațiul proiectiv se numește hiperplan proiectiv în . $M$ $L$ $P(M)\subset P(L)$ $P(L)$
Există o structură spațială afină naturală pe complementul unui hiperplan proiectiv . $A=P(L)\backslash P(M)$
În schimb, luând ca bază spațiul afin , se poate obține un spațiu proiectiv ca unul afin, la care așa-numitul. puncte la infinit. Spațiul proiectiv a fost introdus inițial în acest fel. $A$
Fie și două subspații proiective. Mulțimea se numește corpul proiectiv al mulțimii și se notează cu . [3] $P(L')$ $P(L'')$ $P(L' + L'')$ $P(L') \cup P(L'')$ $P(L' + L'') = \overline {P(L') \cup P(L'')}$

Pachet tautologic

Un fascicul tautologic este un fascicul vectorial al cărui spațiu mănunchiului este un subset al produsului direct $\gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} P^{n}$ $\mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1)$

E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \))

iar stratul este o linie reală . Proiecția canonică mapează linia prin puncte către punctul corespunzător din spațiul proiectiv. Mai mult , acest pachet nu este banal . Când spațiul pachetului este banda Möbius . $\mathbb {R}$ $\gamma^n$ $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $n\geqslant 1$ $n=1$

Note

↑ Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Algebră liniară și geometrie, partea 3, par. 6, M. : Nauka 1986
↑ Veblen, Oswald; Tânăr, John Wesley . geometrie proiectivă. Vol. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-Londra, 1965 (Retipărire a ediției din 1910)
↑ Şafarevici I. R., Remizov A. O. Algebră liniară şi geometrie, cap. 9, alin. 1, - Fizmatlit, Moscova, 2009.

Literatură

Artin E. Geometric Algebra - M .: Nauka, 1969.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații. — M .: Nauka, 1979.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linear Algebra and Geometry - M. : Nauka 1986.
Hartshorne R. Fundamentele geometriei proiective - M. : Mir, 1970.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear Algebra and Geometry, Fizmatlit, Moscova, 2009.
Alexandrov A. D. , Netsvetaev N. Yu. Geometrie. — Nauka, Moscova, 1990.
Baer R. Algebră liniară și geometrie proiectivă. - URSS, Moscova, 2004.
Finikov S.P. Geometrie analitică: un curs de prelegeri. — URSS, Moscova, 2008.

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica