Raportul Skene
Întrebarea centrală a teoriei nodurilor este dacă două diagrame reprezintă același nod . Unul dintre instrumentele folosite pentru a răspunde la această întrebare este polinomul nod , care este invariantul nodului . Dacă două diagrame corespund unor polinoame diferite , atunci ele reprezintă noduri diferite. Reversul nu este întotdeauna adevărat.
Relația scheină (sau relația de tip Conway ) este adesea folosită pentru a defini un polinom cu nod într-un mod simplu. Informal vorbind, relația schelet definește o relație liniară între valorile polinomului nod pe trei legături , care diferă unele de altele doar într-o zonă mică. Pentru unele polinoame, cum ar fi polinoamele Conway , Alexander și Jones , este suficientă o relație de schelet adecvată pentru a calcula polinomul recursiv . Alții, cum ar fi polinomul HOMFLY , necesită algoritmi mai complexi.
Definiție
Există trei diagrame de legătură implicate în relația de piele , care sunt identice peste tot, cu excepția unei intersecții. Aceste trei diagrame ar trebui să exprime trei posibilități care ar putea avea loc la această intersecție: un fir ar putea trece pe sub un alt fir, peste el sau să nu se traverseze deloc. Este necesar să se ia în considerare diagramele de legături , deoarece schimbarea chiar și a unei intersecțiuni poate transforma o diagramă de noduri într-o diagramă de legături și invers. În funcție de polinomul particular al nodului, legăturile care apar în relația de piele pot fi orientate sau neorientate.
Cele trei diagrame sunt desemnate după cum urmează. Întoarceți nodul astfel încât direcțiile ambelor fire de la intersecția în cauză să fie orientate aproximativ spre nord. Într-o diagramă, firul direcției nord-vest va trece peste firul nord-est, îl vom nota . Într-o altă diagramă, firul de nord-est trece peste cel de nord-vest, acesta este . Ultima diagramă este lipsită de această intersecție și se notează cu .
(De fapt, notația este independentă de direcție, în sensul că atunci când toate direcțiile sunt inversate, notația rămâne aceeași. Prin urmare, polinoamele sunt definite în mod unic chiar și la noduri nedirecționate. Cu toate acestea, orientarea pe legătură este fundamental de reținut în care ordinea efectuării recursiunii.)
Este util să ne gândim la acest lucru ca la compunerea a două diagrame dintr-o diagramă, corecându-le cu orientările corespunzătoare.
Pentru a defini recursiv polinomul unui nod (link), funcția și este fixă pentru orice triplu de diagrame și polinoamele lor, notate ca mai sus,
sau mai atent
pentru toată lumea .
(Găsirea unei funcții care face polinomul independent de ordinea intersecțiilor în recursivitate nu este o sarcină ușoară.)
Mai formal, relația scheină poate fi considerată ca definiția nucleului hărții coeficientului din algebra coroanei plate . O astfel de mapare corespunde unui polinom de nod dacă toate diagramele închise sunt mapate la tipuri complexe de diagrame goale.