Polinomul Alexandru

Polinomul Alexander este un invariant de nod care mapează un polinom cu coeficienți întregi la un nod de orice tip. James Alexander l- a descoperit, primul polinom cu nod , în 1923. În 1969, John Conway a introdus o versiune a acestui polinom, numită acum polinomul Alexander-Conway . Acest polinom poate fi calculat utilizând relația scheină , deși importanța acesteia nu a fost recunoscută până la descoperirea polinomului Jones în 1984. La scurt timp după rafinarea polinomului Alexander de către Conway, a devenit clar că o relație schein similară a fost în lucrarea lui Alexander pentru polinomul lui [1] .

Definiție

Fie K un nod pe o 3-sferă . Fie X o acoperire ciclică infinită a complementului nodului K . Această acoperire poate fi obținută prin tăierea complementului nodului de-a lungul suprafeței Seifert a nodului K și lipirea unui număr infinit de copii ale colectorului rezultat la graniță. Există o transformare de acoperire t care acționează asupra X . Notați primul grup de omologie întreg X ca . Transformarea t acţionează asupra acestui grup, deci putem să ne gândim la el ca la un modul de . Se numește invariantul lui Alexandru sau modulul lui Alexandru . $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ ${\mathbb {Z}}[t,t^{{-1}}]$

Acest modul este desigur generat. Matricea de prezentare pentru acest modul se numește matricea Alexander . Dacă numărul de generatori r este mai mic sau egal cu numărul de relații s, atunci considerăm idealul generat de minorele matricei Alexander de ordinul r . Acesta este idealul nul al lui Fitting , sau idealul lui Alexander și nu depinde de alegerea matricei de prezentare. Dacă r > s , se stabilește idealul egal cu 0. Dacă idealul Alexander este principal , atunci elementul generator al acestui ideal se numește polinomul Alexander al nodului dat. Deoarece generatorul poate fi ales în mod unic până la înmulțirea cu monomiul Laurent , adesea duce la o anumită formă unică. Alexander a ales o normalizare în care polinomul are un termen constant pozitiv. $\pm t^{n}$

Alexandru a dovedit că idealul lui Alexandru este diferit de zero și întotdeauna principal. Astfel, polinomul Alexander există întotdeauna și este clar că acesta este un invariant de nod, notat cu . Polinomul Alexander pentru un nod format dintr-un singur fir are gradul 2, iar pentru imaginea în oglindă a nodului, polinomul va fi același. $\Delta _{K}(t)$

Calcul polinom

Următorul algoritm pentru calcularea polinomului Alexander a fost dat de J. V. Alexander în articolul său.

Luați o diagramă de noduri orientate cu n intersecții. Există n + 2 zone de diagramă. Pentru a obține polinomul Alexander, construim mai întâi o matrice de incidență de dimensiune ( n , n + 2). n rânduri corespund n intersecții, iar n + 2 coloane corespund regiunilor. Valorile elementelor matricei vor fi 0, 1, −1, t , − t .

Considerăm un element de matrice care corespunde unei anumite zone și intersecție. Dacă regiunea nu este adiacentă intersecției, elementul este 0. Dacă regiunea este adiacentă intersecției, valoarea elementului depinde de poziție. Figura din dreapta arată valoarea elementelor din matrice pentru intersecție (secțiunea inferioară a nodului este marcată cu direcția de parcurgere, pentru cea superioară direcția nu contează). Următorul tabel stabilește valorile elementelor în funcție de poziția zonei față de linia de bază.

de la stânga la intersecție: − t dreptul la intersectie: 1 stânga după intersecție: t imediat după traversare: −1

Să ștergem două coloane corespunzătoare regiunilor adiacente din matrice și să calculăm determinantul matricei n x n rezultate . În funcție de ce coloane sunt eliminate, răspunsul va diferi cu un factor de . Pentru a evita ambiguitatea, împărțim polinomul la cea mai mare putere posibilă a lui t și înmulțim cu −1, dacă este necesar, pentru a obține un coeficient pozitiv. Polinomul rezultat este polinomul Alexander. $\pm t^{n}$

Polinomul Alexander poate fi calculat din matricea Seifert .

După lucrarea lui Alexander, R. Fox a luat în considerare o prezentare a grupului de noduri și a propus o metodă de calcul necomutativă [2] care permite, de asemenea, să se calculeze . O expunere detaliată a acestei abordări poate fi găsită în Crowell & Fox (1963 ). $\pi _{1}(S^{3}\backslash K)$ $\Delta _{K}(t)$

Un exemplu de construire a unui polinom

Să construim polinomul Alexander pentru trefoil . Figura prezintă zonele (A0, A1, A2, A3, A4) și punctele de intersecție (P1, P2, P3), precum și valorile intrărilor din tabel (lângă punctele de intersecție).

Masa lui Alexandru pentru trifoi va lua forma:

Punct	A0	A1	A2	A3	A4
P1	-unu	0	-t	t	unu
P2	-unu	unu	-t	0	t
P3	-unu	t	-t	unu	0

Aruncăm primele două coloane și calculăm determinantul: . $-t^{3}-t+t^{2}$

Împărțind expresia rezultată la , obținem polinomul Alexander pentru shamrock: . $-t$ $t^{2}-t+1$

Proprietățile de bază ale unui polinom

Polinomul Alexander este simetric: pentru toate nodurile K. $\Delta _{K}(t^{{-1}})=\Delta _{K}(t)$

Din punctul de vedere al definiției de mai sus, aceasta este expresia izomorfismului Poincaré unde este coeficientul câmpului fracțiilor inelului , considerat ca un -modul, și este modulul conjugat al lui k (ca abelian). grup, este identic cu , dar maparea de acoperire acționează ca ).

{\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)

G

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\overline {H_{1}X}

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

H_{1}X

H_{1}X

t

t^{{-1}}

În plus, polinomul Alexander ia valoarea 1, modulo egal cu unu: . $\Delta _{K}(1)=\pm 1$

Din punctul de vedere al definiției, aceasta este o expresie a faptului că complementul unui nod este un cerc omologic a cărui primă omologie este generată de o transformare de acoperire . Mai general, dacă este o varietate de 3 astfel încât , are un polinom Alexander definit ca idealul de ordin al unui spațiu ciclic infinit de acoperire. În acest caz , până la semn, este egal cu ordinea subgrupului de torsiune .

t

M

\mathrm {rang} (H_{1}M)=1

\Delta _{M}(t)

\Delta _{M}(1)

H_{1}M

Se știe că orice polinom Laurent cu coeficienți întregi, care este simetric și are modulo 1 în punctul 1, este un polinom Alexander de un nod [3] .

Importanța geometrică a polinomului

Deoarece idealul Alexander este principal dacă și numai dacă grupul de noduri este perfect ( comutatorul său coincide cu întregul grup de noduri). $\Delta _{K}(t)=1$

Pentru un nod trunchiat topologic , polinomul Alexander satisface condiția Fox-Milnor , unde este un alt polinom Laurent cu coeficienți întregi. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{{-1}})$ $f(t)$

Genul dublu al nodului este mărginit mai jos de gradul polinomului Alexander.

Michael Friedman a demonstrat că un nod pe o sferă de 3 sfere este trunchiat topologic , adică limitele unui disc topologic „local plat” pe o bilă de 4 bile, dacă polinomul Alexander al nodului este trivial [4] .

Kaufman [5] descrie construcția polinomului Alexander prin sumele stărilor modelelor fizice. O privire de ansamblu asupra acestei abordări, precum și a altor legături către fizică, este dată în lucrarea lui Kauffman ( Kauffman, 2001 ).

Există și alte conexiuni cu suprafețe și topologie 4-dimensională netedă. De exemplu, în anumite ipoteze, este admisibilă intervenția chirurgicală pe o varietate de 4 , în care vecinătatea unui tor bidimensional este înlocuită cu complementul unui nod înmulțit cu S 1 . Rezultatul este o homeomorfă netedă cu 4 variante față de cea originală, deși invariantul Seiberg-Witten se modifică (este înmulțit cu polinomul nodului Alexander) [6] .

Se știe că nodurile cu simetrie au polinoame Alexander mărginite. Vezi secțiunea despre simetrie din lucrarea lui Kawauchi [3] . Cu toate acestea, polinomul Alexander poate lipsi unele simetrii, cum ar fi reversibilitatea puternică.

Dacă complementul nodului este un mănunchi peste un cerc, atunci polinomul Alexander al nodului este monaren (coeficienții termenilor superiori și inferiori sunt egali ). Fie un pachet, unde este complementul unui nod. Notați maparea monodromiei ca . Apoi , unde este maparea indusă în omologie. $\pm 1$ $S\la C_{K}\la S^{1}$ $C_{K}$ $g:S\la S$ $\Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})$ $g_{*}:H_{1}(S)\la H_{1}(S)$

Conexiune cu operațiuni prin satelit

Fie un nod satelit cu un satelit , adică există o încorporare astfel încât , unde este un torus solid neînnodat care conține . Apoi . Iată un număr întreg care reprezintă în . $K$ $K'$ $f:S^{1}\ori D^{2}\la S^{3}$ $K=f(K')$ $S^{1}\time D^{2}\subset S^{3}$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\Delta _{{f(S^{1}\times \{0\})}}(t^{a})\Delta _{{K'}}(t )$ $a\în {\mathbb Z}$ $K'\subset S^{1}\time D^{2}$ $H_{1}(S^{1}\times D^{2})={\mathbb Z}$

Exemplu: Pentru o sumă conectată de noduri . Dacă este un nod Whitehead dublu nerăsucit, atunci . $\Delta _{{K_{1}\#K_{2}}}(t)=\Delta _{{K_{1}}}(t)\Delta _{{K_{2}}}(t)$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\pm 1$

Polinomul Alexander-Conway

Alexandru a arătat că polinomul Alexander satisface relația scheină. John Conway a redescoperit mai târziu acest lucru într-o formă diferită și a arătat că relația de schelet, împreună cu alegerea valorii la un nod trivial, este suficientă pentru a defini un polinom. Versiunea Conway este un polinom în z cu coeficienți întregi, notat și numit polinomul Alexander-Conway (și, de asemenea , polinomul Conway sau polinomul Conway-Alexander ). $\nabla (z)$

Luați în considerare trei diagrame de legături orientate . $L_{+},L_{-},L_{0}$

Relațiile schelete ale lui Conway:

$\nabla (O)=1$ (unde O este o diagramă trivială a nodurilor )
$\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

Legătura cu polinomul standard Alexander este dată de relația . Aici trebuie normalizat în mod corespunzător (prin înmulțire cu ), astfel încât relația schelet să fie valabilă . Rețineți că aceasta dă un polinom Laurent în t 1/2 . $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(tt^{{-1}})$ $\Delta _{L}$ $\pm t^{{n/2}}$ $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{{1/2}}-t^{{-1/2}})\Delta (L_{0})$

Legătura cu omologia lui Khovanov

În lucrările lui Ozwat și Sabo [7] și Rasmussen [8] , polinomul Alexander este prezentat ca caracteristica lui Euler a unui complex a cărui omologie este invariantă izotopică a nodului luat în considerare , deci teoria omologiei lui Floer este o categorizare a polinomul Alexandru. Consultați articolul „ Omologie Khovanov ” [9] pentru detalii . $K$

Variații și generalizări

Polinomul HOMFLY este un invariant similar, dar mai subtil, de noduri și legături.

Note

↑ Alexandru descrie relația schelet la sfârșitul articolului sub titlul „teoreme diverse”, motiv pentru care nu au fost observate. Joan Bierman menționează în lucrarea sa „ Noi puncte de vedere în teoria nodurilor ” ( Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), nr. 2, 253-287) că Mark Kidwell i-a atras atenția asupra raportului Alexander. în 1970.
↑ Vulpea, 1961 .
↑ 12 Kawauchi , 1996 .
↑ Freedman, Quinn, 1990 .
↑ Kauffman, 1983 .
↑ Fintushel și Stern (1997) - Noduri, legături și 4-variete . Consultat la 9 iunie 2015. Arhivat din original pe 29 iunie 2021. (nedefinit)
↑ Ozsvath, Szabo, 2004 .
↑ Rasmussen, 2003 .
↑ Hovanov, 2006 .

Literatură

JW Alexandru. Invarianți topologici ai nodurilor și legăturilor // Trans. amer. Matematică. soc. . - 1928. - T. 30 , nr. 2 . — S. 275–306 . - doi : 10.2307/1989123 .
R. Crowell, R. Fox. Introducere în teoria nodurilor . — Ginn and Co. după 1977 Springer Verlag, 1963.
Colin C. Adams. Cartea nodurilor: o introducere elementară în teoria matematică a nodurilor. — Retipărire revizuită a originalului din 1994. - Providence, RI: Societatea Americană de Matematică, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 . (introducere accesibilă utilizând o abordare a relației de schei)
R. Fox. O călătorie rapidă prin teoria nodurilor, În Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, editat de MKFort. — Englewood Cliffs. NJ: Prentice-Hall, 1961. pp. 120–167 .
Michael H. Freedman, Frank Quinn. Topologia cu 4-variete. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. - V. 39. - (Princeton Mathematical Series). - ISBN 0-691-08577-3 .
Louis Kauffman. Teoria nodurilor formale. — Princeton University Press, 1983.
Louis Kauffman. Noduri și fizică. — World Scientific Publishing Company, 2001.
Akio Kawauchi. Un studiu al teoriei nodurilor. — Birkhauser, 1996. (acoperă mai multe abordări diferite, explică relațiile dintre diferite versiuni ale polinomului Alexander)
M. Khovanov. Omologie și categorizare de legături . - 2006. - arXiv : math/0605339 .
Peter Ozvath, Zoltan Szabo. Discuri holomorfe și invarianți de noduri // Adv. Matematică, nr., 58--6. - 2004. - T. 186 , nr. 1 . — p. 58–116 . - doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . - Cod biblic . - arXiv : math/0209056 .
J. Rasmussen. Omologie Floer și complemente de noduri . - 2003. - S. 6378 . - Cod biblic . - arXiv : math/0306378 .
Dale Rolfsen. Noduri și legături. — al 2-lea. - Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. - ISBN 0-914098-16-0 . (explică abordarea clasică folosind invariantul Alexander; tabelul de noduri și legături cu polinoamele Alexander)

Link -uri

Enciclopedia de matematică / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Pagina principală și polinomul Alexander-Conway , Atlasul nodurilor. - tabel de noduri și legături cu polinoame calculate ale lui Alexander și Conway

Teoria nodurilor și legăturilor
Hiperbolic	Opt (4 1 ) Trei jumătăți de ture (5 2 ) Stocare (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Pereche de Percos (10 161 ) Dantela (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Inele borromee (63 2) L10a140
satelit	Compus ( Bebeluş ) Drept Suma de noduri
toric	Trivial (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentila (5 1 ) Şapte foi (7 1 ) Deconectat (02 1) Hopf (22 1) Solomon (42 1)
Invariante	alternativ Arfa invariant Număr de poduri ( 2-punți ) link brunnian Chiralitate ( reversibilă ) Numărul de filme Numărul de intersecții Vasiliev invariant Volum hiperbolic omologia lui Khovanov Gen Grup de noduri Grup de viteze Raport de transmisie Polinoame ( Alexandre Suport Kauffman HOMFLY Jones Kaufman ) Logodna dantela Nod simplu ( listă ) Numărul de segmente Număr de coloranți tricolori Numărul și sarcina dezlegarii
Notație și operații	Notație Alexander–Briggs Notație Conway Notație Docker Mutaţie Mișcarea Reidemeister Raportul Skene
Alte	teorema lui Alexandru nod Berge teoria împletiturii Sfera Conway Finalizarea nodului Nod dublu torus Nod stratificat Bandă A tăia Suma de noduri ipotezele lui Tate Răsucit Sălbatic Numărul de răsucire Suprafata Seifert